Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В этом случае можно ограничиться бесконечномерными представлениями группы $E$ (2) вида (1.4.16), так как в силу формул (1.4.13) остальные представления совпадают с неприводимыми унитарными представлениями группы $H_{1}$.
Ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $\oint_{E}^{\rho}{ }_{(2)}^{x}$, согласно формуле (1.4.11), имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{\psi_{\mu}^{\rho, x}, \mu=0, \pm 1, \pm 2, \ldots: \psi_{\mu}^{\rho, x}(\xi)=(\xi / i \rho)^{-\mu}\right\}, \\
\left\langle\psi_{\mu^{\prime}}^{\rho, x} \mid \psi_{\mu}^{\rho, x}\right\rangle_{E(2)}^{\rho, x}=\delta_{\mu^{\prime} \mu} .
\end{array}
\]
Ив формулы (1.4.16) следует
\[
\left(U_{E}^{\rho, \chi)}\left(e^{i \varphi / 2}, 0\right) \psi_{\mu}^{\rho, x}\right)(\zeta)=\chi^{\chi, \mu}(\varphi) \psi_{\mu}^{\rho, x}(\zeta) .
\]
Поэтому базис $\left\{\psi_{\mu}^{\rho, x}\right\}$ связан с подгруппой $H_{1}$. Неприводимое представление $\chi^{\chi^{\prime} \mu}$ группы $H_{1}$ содержится в представлении $U_{E}^{0, \text { (2), }}$, $\rho>0$, ровно один раз, если $x^{\prime}=x$.
Матричные элементы
\[
U_{E}^{0, x)}(A)_{\mu^{\prime} \mu} \equiv\left\langle\psi_{\mu^{\prime}}^{0, x} \mid U_{E}^{0, x)}(A) \psi_{\mu}^{0, x}\right\rangle_{E(2)}^{0, x}
\]
легко могут быть представлены в виде интеграла, приводящего к функциям Бесселя
\[
\begin{array}{c}
U_{E(2)}^{\rho, \chi}(A)_{\mu^{\prime} \mu}=\left(A_{11} /\left|A_{11}\right|\right)^{\mu^{\prime}+\mu+\chi}\left(A_{12} /\left|A_{12}\right|\right)^{\mu^{\prime}-\mu} u_{\mu^{\prime} \mu}^{\rho, \chi}\left(\left|A_{12}\right|^{2}\right), \\
u_{\mu^{\prime} \mu}^{\rho, x}(z) \equiv J_{\mu^{\prime}-\mu}(\rho \sqrt{z}), \quad 0 \leqslant z<\infty .
\end{array}
\]
Соотношение симметрии
\[
(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} u_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-x}^{0, x}(z)=u_{\mu^{\prime} \mu}^{0, x}(z)=u_{-\mu-\chi,-\mu^{\prime}-x}^{0, x}(z)
\]
непосредственно следует из соотношения для функций Бесселя $J_{-n}=(-1)^{n} J_{n}$. Поэтому для матричных элементов $U_{E(2)}^{0, x}(A)_{\mu^{\prime} \mu}$ получаем
\[
\begin{aligned}
(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} U_{E(2)}^{0, \chi}\left(A^{*}\right)_{\mu^{\prime} \mu}= & U_{E(2)}^{0, \chi \chi}(A)_{-\mu^{\prime}-\varkappa,-\mu-\chi}= \\
& =(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} U_{E(2)}^{0, \chi}\left(A^{-1}\right)_{\mu \mu^{\prime}} .
\end{aligned}
\]
