Пересечением групп $G\left(e_{(0)}\right)=SU(2),G(e_{(0)}+e_{(3)})=E(2)$ и $G\left(e_{(3)}\right)=SU(1,1)$ является группа

Очевидно, она изоморфна группе вращений эвклидовой плоскости $SO(2)$. Ее неприводимые унитарные представления имеют вид
$$\begin{array}{c}C(\phi )\to U^{\varkappa ,\mu }(C(\phi ))\equiv {\chi }^{\varkappa ,\mu }(\phi )=e^{i(\mu +\varkappa /2)\phi },\\ x=0,1;\mu =0,\pm 1,\pm 2,\dots .\end{array}$$

Они удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:
$$\begin{array}{c}{\int }_0^{4\pi }\frac{d\phi }{4\pi }{\chi }^{{\chi }^{\prime },{\mu }^{\prime }}(-\phi ){\chi }^{\chi ,\mu }(\phi )={\delta }_{{\chi }^{\prime }\chi }{\delta }_{{\mu }^{\prime }\mu },\\ \sum _{\chi =0,1}\sum _{\mu =-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\chi }^{\chi ,\mu }(\phi ){\chi }^{\chi ,\mu }(-{\phi }^{\prime })=4\pi \delta (\phi -{\phi }^{\prime }).\end{array}$$

Группы $G\left(e_{(2)}\right)=SL(2,\mathbf{R})$ и $G\left(e_{(3)}\right)=SU(1,1)$ пересекаютєя на группе $H_2$ :

В силу закона композиции
$$D({\epsilon }^{\prime },{\xi }^{\prime })D(\epsilon ,\xi )=D({\epsilon }^{\prime }\epsilon ,{\xi }^{\prime }+\xi )$$
группа ${\mathrm{H}}_2$ изоморфна прямому произведению циклической группы второго порядка ${\mathit{Z}}_2$ на аддитивную группу вещественных чисел $\mathbf{R}:{\mathbf{Z}}_2\otimes \mathbf{R}$. Неприводимые унитарные представления группы $H_2$ имеют вид
$$\begin{array}{c}D(\epsilon ,\xi )\to U^{\varkappa ,\lambda }(D(\epsilon ,\xi ))\equiv {\chi }^{\chi ,\lambda }(\epsilon ,\xi )={\epsilon }^{\varkappa }{e}^{i\lambda \xi },\\ x=0,1;-\mathrm{\infty }& lt;\lambda & lt;\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Они удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:
$$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sum _{\epsilon =\pm }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{d\xi }{2\pi }{\chi }^{{\chi }^{\prime },{\lambda }^{\prime }}(\epsilon ,-\xi ){\chi }^{\chi ,\lambda }(\epsilon ,\xi )={\delta }_{{\mathcal{x}}^{\prime }\chi }\delta ({\lambda }^{\prime }-\lambda )\\ \frac{1}{2}\sum _{\chi =0,1}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{d\lambda }{2\pi }{\chi }^{\chi ,\lambda }(\epsilon ,\xi ){\chi }^{\chi ,\lambda }({\epsilon }^{\prime },-{\xi }^{\prime })={\delta }_{{\epsilon }^{\prime }\epsilon }\delta ({\xi }^{\prime }-\xi ).\end{array}$$