Пересечением групп $G\left(e_{(0)}\right)=S U(2), \quad G\left(e_{(0)}+e_{(3)}\right)=E(2)$ и $G\left(e_{(3)}\right)=S U(1,1)$ является группа
\[
H_{1} \equiv\left\{C(\varphi) \equiv\left(\begin{array}{cc}
e^{i \varphi i^{2}} & 0 \\
0 & e^{-i \varphi / 2}
\end{array}\right): 0 \leqslant \varphi<4 \pi\right\} .
\]

Очевидно, она изоморфна группе вращений эвклидовой плоскости $S O(2)$. Ее неприводимые унитарные представления имеют вид
\[
\begin{array}{c}
C(\varphi) \rightarrow U^{\varkappa, \mu}(C(\varphi)) \equiv \chi^{\varkappa, \mu}(\varphi)=e^{i(\mu+\varkappa / 2) \varphi}, \\
x=0,1 ; \quad \mu=0, \pm 1, \pm 2, \ldots .
\end{array}
\]

Они удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{4 \pi} \frac{d \varphi}{4 \pi} \chi^{\chi^{\prime}, \mu^{\prime}}(-\varphi) \chi^{\chi, \mu}(\varphi)=\delta_{\chi^{\prime} \chi} \delta_{\mu^{\prime} \mu}, \\
\sum_{\chi=0,1} \sum_{\mu=-\infty}^{+\infty} \chi^{\chi, \mu}(\varphi) \chi^{\chi, \mu}\left(-\varphi^{\prime}\right)=4 \pi \delta\left(\varphi-\varphi^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Группы $G\left(e_{(2)}\right)=S L(2, \mathbf{R})$ и $G\left(e_{(3)}\right)=S U(1,1)$ пересекаютєя на группе $H_{2}$ :
\[
H_{2} \equiv\left\{D(\varepsilon, \xi) \equiv \varepsilon\left(\begin{array}{cc}
\operatorname{ch} \xi / 2 & \operatorname{sh} \xi / 2 \\
\operatorname{sh} \xi / 2 & \operatorname{ch} \xi / 2
\end{array}\right): \varepsilon= \pm 1,-\infty<\xi<\infty\right\} .
\]

В силу закона композиции
\[
D\left(\varepsilon^{\prime}, \xi^{\prime}\right) D(\varepsilon, \xi)=D\left(\varepsilon^{\prime} \varepsilon, \xi^{\prime}+\xi\right)
\]
группа $\mathrm{H}_{2}$ изоморфна прямому произведению циклической группы второго порядка $\boldsymbol{Z}_{2}$ на аддитивную группу вещественных чисел $\mathbf{R}: \mathbf{Z}_{2} \otimes \mathbf{R}$. Неприводимые унитарные представления группы $H_{2}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
D(\varepsilon, \xi) \rightarrow U^{\varkappa, \lambda}(D(\varepsilon, \xi)) \equiv \chi^{\chi, \lambda}(\varepsilon, \xi)=\varepsilon^{\varkappa} e^{i \lambda \xi}, \\
x=0,1 ;-\infty<\lambda<\infty .
\end{array}
\]

Они удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sum_{\varepsilon= \pm} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d \xi}{2 \pi} \chi^{\chi^{\prime}, \lambda^{\prime}}(\varepsilon,-\xi) \chi^{\chi, \lambda}(\varepsilon, \xi)=\delta_{\mathcal{x}^{\prime} \chi} \delta\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) \\
\frac{1}{2} \sum_{\chi=0,1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d \lambda}{2 \pi} \chi^{\chi, \lambda}(\varepsilon, \xi) \chi^{\chi, \lambda}\left(\varepsilon^{\prime},-\xi^{\prime}\right)=\delta_{\varepsilon^{\prime} \varepsilon} \delta\left(\xi^{\prime}-\xi\right) .
\end{array}
\]