В заголовке этого раздела собраны слова, ставшие за последние годы ключевыми в статьях, посвященных физике элементарных частиц ${ }^{I}$ ). Этот последний раздел главы – не заклю-
1) За последний год появились еще слова „венециано“ и „дуальность“. Увлечение причудливыми словами в физике элементарных частиц является уже социологическим фактом.
чение, а незаконченное описание очень быстро меняющейся физической картины адронного мира.
$\boldsymbol{S U}(6)$-симметрия. $S U(6)$-симметрия была введена ${ }^{1}$ ) независимо Гюрши и Радикати [86] и Сакита [87] (только для мезонов). Было обращено внимание на тот факт, что разности масс между $S U(3)$-мультиплетами не больше, чем разности масс внутри мультиплетов.
$\Phi$ иг. 5.4. 56-плет барионов $[(8 \times 2)+(10 \times 4)]$ и 35 -плет мезонов $[(8 \times 1)+$ $+(9 \times 3)]$ в схеме $S U(6)$ классификации адронов.
Обе группы авторов, вдохңовленные вигнеровской теорией супермультиплетов для ядер $S U(4)$-симметрией (см. разд. 3.3), распространили ее на область элементарных частиц, увеличив группу изоспина $S U(2)$ до группы $S U(3)$. Таким образом, при нерелятивистской трактовке пространство одночастичных состояний адронов является тензорным произведением
\[
\mathscr{H}^{(1)}=\mathscr{L}_{2}\left(R^{3}, t\right) \otimes \mathscr{K}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\lambda},
\]

где $\mathscr{K}_{\sigma}$ и $\mathscr{K}_{\lambda}$-двух- и трехмерные гильбертовы пространства соответственно. Действие центрального расширения $\bar{G}$ группы Галилея и группы $S U(6)$ в пространстве $\mathscr{H}^{(1)}$ имеет вид [при
1) Фактически Гелл-Манн [88] впервые ввел группу $S U(6)$ в физику элементарных частиц, но в то время он не указал для нее физических приложений.
$\bar{G} \xrightarrow{\Phi} S U(2)$ см. разд. 2.9 и уравнения (2.57) и (2.58)] ${ }^{1}$ )
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}^{(1)}=\mathscr{L}_{2}\left(R^{3}, t\right) \otimes \mathscr{K}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\lambda}, \\
\bar{g} \in \bar{G} \rightarrow \pi(\bar{g}) \otimes \psi(\bar{g}) \otimes I, \\
u \in S U(6) \rightarrow I \otimes u .
\end{array}
\]

Два самых нижних мультиплета группы $S U$ (6) приведены на фиг. 5.4. Для барионов они принадлежат к НП ш размерности 56 , для мезонов – к НП , т. е. к 35-мерному присоединенному НП группы $S U(6)$. Частица $X^{0}$ (не открытая еще в 1964 г.) является синглетом. Ниже приведеңо разложение этих НП на НП группы $S U_{2} \times S U_{3}$

Массовая формула для произвольного $S U$ (6)-мультиплета имеет вид
\[
\begin{aligned}
m=m_{0}+m_{1} y+m_{2}\left(t(t+1)-\frac{1}{4} y^{2}\right) & +m_{3} j(j+1)+ \\
& +m_{4} q+m_{5}\left(u(u+1)-\frac{1}{4} q^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Если пренебречь электромагнитной разностью масс ( $m_{4}=m_{5}=0$ ), то формула с оставшимися четырьмя параметрами хорошо предсказывает массы восьми самых нижних $U(2)$-мультиплетов барионов. Магнитный момент барионов зависит только от одного параметра $\mu_{p}$, так что мы имеем соотношение
\[
\mu_{n}=-\frac{2}{3} \mu_{p},
\]

которое подтверждается с точностью до $3 \%$ (это даже слишком хорошо!).
${ }^{1}$ Д Для более подробного объяснения см. статью Мищеля [89].
Как применить $S U(6)$-инвариантность к реакциям между частицами? Надо ввести некоторые физические и эмпирические правила (например, так называемую $S U(6)_{w}$-симметрию), и симметрия может еще оказаться полезной.

Большие затруднения, однако, возникают при попытке согласования $S U$ (6)-симметрии с релятивистской инвариантностью ${ }^{1}$ ).

Қварки. В науке суцествует естественная тенденция – пытаться объяснить Вселенную с помощью наименьшего количества разных типов „строительных блоков“. Такими „строительными блоками“ были четыре элемента древних греков, превратившихся к коңцу 19 в. в целую систему, состоящую почти пз 90 химических элементов. В период с 1910 по 1929 г. когда был измерен спин и определена статистика ядра $\mathrm{N}^{14}$, см. разд. 2.10) были известңы только три частицы $p^{+}, e^{-}, \gamma$, необх̀одимые для построения Вселенной. Но в 1931 г. к ним добавляется частица $v$, в 1932 г. $n$ и $e^{+}$и т. д., так что теперь мы имеем уже целую спектроскопию адронов (см. табл. 3.2).

Возможно ли вообще возвращение к „простоте“? Гелл-Манн надеялся, что такими „строительными блоками“ станут частицы, которые он назвал кварками. Три кварка со спином $1 / 2$ образуют мультиплет 3 (фундаментальное НП $\square$ ) группы $S U(3)$ и мультиплет 6 (НП $\square$ ) группы $S U(6)$. Имеются также 3 антикварка, принадлежащих к контраградиентному НП

Мезоны в табл. 3.2 состоят из одного кварка $q$ и одного антикварка $\bar{q}$. Самые нижние связные состояния системы $q+\bar{q}$ дают все ожидаемые состояния мезона. Барионы, представленные в той же таблице, состоят из трех кварков, которые для самых нижних состояний описываются схемой Юнга шᄆ для группы $S U(6)$ и поэтому для выполнения статистики Ферми должны обладать пространственной симметрией В. Такой способ классификации, использованный нами в гл. 2 и 3, вероятно, неприемлем для сил притяжения. И, кроме того, как объяснить насыцение при числе 3 ; почему бы не быть также стабильными состояниям с 2, 4 или 5 кварками? ${ }^{2}$ )
1) Этим вопросом будет заниматься О’Райферти [37] при изучении двух верхйх линий на диатрамме фиг. 5.3.
2) Эти трудности можно преодолеть несколькими способами. Наиболее эффективным мне кажется путь, по которому идут О. Гринберг и его коллеги. Qнй ввели три типа кварков и получили замечательный адронный спектр.
Можно забыть об этих трудностях и заняться поиском кварков (они должны быть очень тяжелыми, стабильными и иметь дробные квантовые числа $b=1 / 3$, и $q=2 / 3$ или – $1 / 3$ ) или использовать их для расчетов (хорошие предсказания „кварковой модели“ дали, например, Далиц и Липкин). Пока кварки не найдены экспериментально, их можно рассматривать просто как физические названия для векторов ортонормированного базиса $\square$ – фундаментального НП группы $S U(6)$, базиса, которым мы пользовались в своих вычислениях.

Алгебра токов. Пусть $\tilde{a} \rightarrow D(\tilde{a})$ – присоединенное НП алгебры Ли группы $S U(3) \times S U(3)$, действующее в пространстве $\mathscr{E}_{16}$. Любая $\mathscr{E}$-тензорно-операторная функция пространства времени $f(\mathbf{y}, m)$ будет удовлетворять уравнению (1.9) в любой фиксированный момент времени
\[
[F(\tilde{a}), f(\mathbf{y}, \underset{\sim}{m})]=i f(\mathbf{y}, D(\tilde{a}) \underset{\sim}{m}),
\]

где $m \in \mathscr{E}$. Уравнение (5.57) является частным случаем этого уравнения при $f(\mathbf{x}, m)=h^{\mu}(\mathbf{x}, \tilde{b})$.

Заменим $F(\tilde{a})$ выражением (5.55). После перестановки символов $\left[\right.$ и $\int$ уравнение (5.63) принимает вид
\[
\int d^{3} \bar{x}\left[h^{0}(\mathbf{x}, \tilde{a}), f(\mathbf{y}, \underset{\sim}{m})\right]=i \int d^{3} \bar{x} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}) f(\bar{y}, D(\tilde{a}) \underset{\sim}{m})
\]

для любой тензорно-операторной функции $\bar{x}$. Очень соблазнительно приравнять подынтегральные выражения
\[
\left[h^{0}(\mathbf{x}, \tilde{a}), f(\mathbf{y}, \underset{\sim}{m})\right]=i \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}) f(\mathbf{x}, D(\tilde{a}) \underset{\sim}{m}) .
\]

Перепишем уравнение (5.56) в таком локальном виде
\[
\left[h^{0}(\mathbf{x}, \tilde{a}), h^{\mu}(\bar{y}, \tilde{b})\right]=i \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}) h^{\mu}(\mathbf{x}, \tilde{a} \wedge \tilde{b}) .
\]

Это и называется в литературе алгеброй токов. В случае временно́й компоненты $\mu=0$ говорят об алгебре токов зарядов. В случае пространственной компоненты ко второму члену нужно добавить член с $\delta$-функцией, обычно называемый швингеровским членом (см. лекции О’Райферти [37]).

Очень немногие физические результаты требуют для своего объяснения локального вида алгебры токов и не могут быть выведены из уравнения (5.63). Однако физики все же предпочитают считать алгебру токов гипотезой. Им нравится аналогия с квантовой механикой, которая выражается алгеброй операторов $p$ и $q$ в данный момент времени (т. е. алгеброй Ли группы
Гейзенберга). Отметим также, что в рамках этой алгебры Ли [90] придал некий смысл симметрии относительно группы $S U(6)$. Существует целая антология по физике алгебры токов [91].

Бутстрэп. Когда появляется много частиц, все спешат выделить из них элементарные. Бутстрэп – это физическая концепция, которая рассматривает частицы на более демократической основе. Бутстрэп выражается нелинейными (просто квадратичными) уравнениями, инвариантными относительно группы симметрии адронов $G$ [эта группа не больше, чем использованная нами группа $S U(3)]$. Такие уравнения обладают решениями, которые нарушают симме грию относительно группы $G$. В самом деле, с абстрактной точки зрения на групповую инвариантность эти уравнения имеют вид
\[
a \vee a=\lambda a,
\]

а ранее мы уже показали, что это приводит к выбору таких направлений в природе, которые нарушают симметрию группы $S U(3) \times S U(3)$.