Атом гелия имеет ядро с зарядом $Z e=2 e$ (и массой $\sim 4 m_{p}$ ) и два электрона. Выделив движение центра масс, получим для гамильтониана, соответствующего внутренней энергии,
\[
H=H_{1}+H_{2}+\frac{e^{2}}{R_{12}},
\]

где $H_{i}=P_{i}^{2} / 2 m-Z e^{2} / R_{i}$ – гамильтониан атома водорода, а оператор $R_{12}$ соответствует величине $r_{12}=\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|$ – расстоянию между двумя электронами. Если мы пренебрегаем членом $e^{2} / R_{12}$ (точность этого приближения больше $10 \%$ ), то нашу проблему можно считать решенной. Мы будем рассматривать только связанные состояния. Пусть $\mathscr{H}^{(I)}$ есть гильбертово пространство связанных состояний атома водорода. Для нашего упрощенного атома гелия гильбертово пространство есть $\mathscr{H}^{(1)} \otimes \mathscr{H}^{(1)}$ с гамильтонианом $H_{0} \otimes I+I \otimes H_{0}$, где $H_{0}$ – гамильтониан атома водорода. Таким образом, энергия связи равна – $(Z \alpha)^{2}\left(1 / n_{1}^{2}+1 / n_{2}^{2}\right) / 2$, т. е. равна сумме энергий связи двух электронов.

Будем считать член $e^{2} / R_{12}$ возмущением. Этот член нарушает $S O(4)$-инвариантность, так что электронные уровни с различными значениями $l$ и одним и тем же $n$ уже не обладают одной и той же энергией. (Как мы увидим в разд. 2.6, для заданного $n$ величина $E$ увеличивается с ростом $l$.) Однако момент количества движения и четность по-прежнему сохраняются:
\[
[\mathbf{L}, H]=0, \quad[\Pi, H]=0,
\]

и два электрона остаютсฺя неразличимыми:
\[
\left[S_{12}, H\right]=0,
\]

где $S_{12}$-оператор перестановки двух электронов:
\[
S_{12}^{2}=I, \quad S_{12}(A \otimes B) S_{12}=B \otimes A \in \mathscr{L}\left(\mathscr{H}^{(1)} \otimes \mathscr{H}^{(1)}\right) .
\]

Разложение тензорного произведения $\mathscr{H}^{(1)} \otimes \mathscr{H}^{(1)}$ в прямую сумму симметрического и антисимметрического тензорных пространств
\[
\mathscr{H}^{(1)} \otimes \mathscr{H}^{(1)}=\mathscr{H}^{(1)} \vee \mathscr{H}^{(1)} \oplus \mathscr{H}^{(1)} \wedge \mathscr{G}^{(1)},
\]

которое можно переписать также в виде
\[
\mathscr{H}^{(2)}=\mathscr{H}_{[2]} \oplus \mathscr{H}_{\left[1^{2}\right]},
\]

дает разложение на пространства собственных векторов оператора $S_{12}$. Пусть $x$ и $y$-состояния атома водорода. Возникает вопрос, какому из этих состояний, $x \vee y=1 / \sqrt{2}(x \otimes y+$ $+y \otimes x)$ или $x \wedge y=1 / \sqrt{2}(x \otimes y-y \otimes x)$, соответствует меньшее среднее значение положительного оператора $e^{2} / R_{12}$. Очевидно, мы должны взять состояние $x \wedge y$, поскольку волновая функция двух электронов в этом случае обращается в нуль при $R_{12}=0$, когда $e^{2} / R_{12} \rightarrow \infty$ (тогда как функция $x \vee y$ обычно имеет максимум при $R_{12}=0$ ). Эта симметрия приводит также к новому правилу отбора для дипольного излучения. Матричный элемент оператора дипольного перехода пропорционален выражению
\[
\left\langle\psi\left|\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}\right| \psi^{\prime}\right\rangle .
\]

Поскольку вектор $\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}$ симметричен относительно перестановки индексов 1 и 2 , то функции $\psi$ и $\psi^{\prime}$ должны иметь один и тот же характер симметрии $\varepsilon=\varepsilon^{\prime}\left(\varepsilon^{2}=1\right)$ :
$\left\langle\psi\left|\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}\right| \psi^{\prime}\right\rangle=\left\langle\psi\left|S_{12}\left(\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}\right) S_{12}\right| \psi^{\prime}\right\rangle=$
\[
=\varepsilon \varepsilon^{\prime}\left\langle\psi\left|\mathbf{R}_{1}+\mathbf{R}_{2}\right| \psi^{\prime}\right\rangle .
\]

Қак мы уже отмечали в разд. 2.1, отсюда следует, что уровни энергии атома гелия в соответствии с их характером симметрии делятся на две группы и электрические дипольные переходы происходят только внутри каждой группы. Напомним, что гелий получил свое название потому, что наблюдался на Солнце еще до того, как был обнаружен на Земле. Спектр его состоит как бы из двух спектров: из спектра ортогелия $(\varepsilon=+1)$ и спектра парагелия $(\varepsilon=-1)$. До появления квантовой механики это казалось совершенно непостижимым. Объяснение этого явления было дано Гейзенбергом в 1926 г. [56]. Получил объяснение также тот факт, что ортогелий имеет большее число уровней: это уровни типа $x \otimes x$, такие, как, например, самый нижний уровень ( $n=1, l=0$ для каждого электрона). Наблюдения показывают, что соответствующее излучение парагелия [например, переходы $(1,0) \vee(n, l) \rightarrow(1,0) \vee\left(n^{\prime}, l^{\prime}\right)$ и $(1,0) \wedge(n, l) \rightarrow(1,0) \wedge\left(n^{\prime}, l^{\prime}\right)$ с $\left.n^{\prime}
eq 1, l^{\prime}
eq 0\right]$ почти в три раза интенсивнее, чем соответствующее излучение ортогелия. Чтобы объяснить это, следует принять во внимание спин электрона (см. также разд. 2.9).