Согласно формуле (1.3.8), в базисе $\left\{e_{v}\right\}$ в пространстве $\mathscr{F}$ имеем
\[
\left(V^{x, l}(C(\varphi)) e_{v}\right)(\omega)=\chi^{x, v-x}(\varphi) e_{v}(\omega) .
\]

Для унитарных неприводимых представлений $U_{S U}^{x, l, \eta}(1,1)$, получаемых из $V^{x, l}$, отсюда очевидно следует, что представление $\chi^{x^{\prime}, \mu}$ группы $H_{1}$ содержится ровно один раз в представлении $U_{S U,(1,1)}^{x, l, \eta}$, если $x^{\prime}=x$ и если вектор $e_{\mu+x}$ содержится в пространстве $\mathfrak{F}_{S U}^{x, l, \eta}(1,1)$. Таким образом, $\left\{e_{v}\right\}$ есть базис, принадлежащий группе $H_{1}$. Однақо в силу формул (1.3.36) – (1.3.41) элементы базиса $e_{v}$ имеют различную нормировку в разных гильбертовых пространствах. Эта нормировка может быть записана в виде (кроме единичного представления)
\[
\left\langle e_{v^{\prime}} \mid e_{v}\right\rangle_{S U(1,1)}^{x, l, \eta}=\sigma_{v^{\prime} v}\left|\frac{\Gamma(v-l-x)}{\Gamma(v+l+1)}\right| .
\]

Поэтому в дальнейшем мы будем использовать ортонормированные базисы в гильбертовых пространствах представлений:
\[
\begin{array}{l}
\left.\left|N_{\mu}^{x, l}\right|^{2}=\left|\frac{\Gamma(\mu+l+x+1)}{\Gamma(\mu-l)}\right|\right\},\left\langle\psi_{\mu^{\prime}}^{x, l, \eta} \mid \psi_{\mu}^{x, l, \eta}\right\rangle_{S U(1,1)}^{x, l, \eta}=\delta_{\mu^{\prime} \mu} . \\
\end{array}
\]

Нормировочный множитель $N_{\mu}^{\chi, l}$ можно считать значением функции
\[
N_{\mu}^{\chi, l} \equiv\left[\frac{\Gamma(\mu+l+x+1)}{\Gamma(\mu-l)}\right]^{1 / 2}
\]

в комплексной плоскости $l$, взятым в точках, отвечающих унитарным сериям. Функция $\Gamma(\mu+l+x+1) / \Gamma(\mu-l)$ имеет нули в точках $\mu, \mu+1, \ldots$ и полюсы в точках $-\mu-x-1,-\mu-x-2, \ldots$. При $\mu \leqslant-1$ обе последовательности перекрываются и нули и полюсы, лежащие между $\mu$ и – $-x-1$, компенсируются. На вещественной оси знаменатель положителен при $l<\mu$, а числитель положителен при $l>\mu-x-1$, т. е. в области между нулями и полюсами они имеют разные знаки. В точке $l=-1 / 2(1+x)$ функция $\Gamma(\mu+l+x+1) / \Gamma(\mu-l)$ принимает значение +1 при $\mu \geqslant 0$ и $(-1)^{x}$ при $-\mu-x \geqslant 0$. Если принять условие
\[
\left.N_{\mu}^{x, l}\right|_{l=-(1+x) / 2 \pm i 0}=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & \mu \geqslant 0, \\
e^{ \pm i \pi(\mu+x / 2)} & \text { при } \quad \mu<0,
\end{array}\right.
\]

то функция $N_{\mu}^{x, t}$ будет однозначна в комплексной плоскости $l$ с разрезом вдоль интервалов вещественной оси, на которых функция $\Gamma(\mu+l+x+1) / \Gamma(\mu-l)$ отрицательна. Приняв условия вида (2.3.5) для числителя и знаменателя по отдельности,
получим
\[
\begin{array}{cll}
{[\Gamma(\mu+l+x+1)]^{1 / 2}>0} & \text { при } & l>-\mu-x-1, \\
{[\Gamma(\mu-l)]^{1 / 2}>0} & \text { при } & l<\mu .
\end{array}
\]

Функция $N_{\mu}^{\varkappa, l}$ обладает следующими свойствами симметрии:
\[
\begin{array}{l}
\left(N_{\mu}^{\varkappa, l}\right)^{*}=N_{\mu}^{\chi, l^{*}}, N_{\mu}^{\chi,-l-\chi-1} N_{\mu}^{\chi, l}=1, \\
N_{-\mu-\chi}^{\varkappa, l}=N_{\mu}^{\chi, l} e^{-i \pi \operatorname{sign}(\operatorname{Im} l)(\mu+x / 2)} .
\end{array}
\]

Матричные элементы унитарных серий представлений группы $S U(1,1)$ в базисе (2.3.3) имеют общий вид:
\[
\begin{array}{c}
U_{S U(1,1)}^{\chi, l, \eta}(A)_{\mu^{\prime} \mu} \equiv\left\langle\psi_{\mu^{\prime}}^{\chi, l, \eta} \mid U_{S U(1,1)}^{\chi, l, \eta}(A) \psi_{\mu}^{\chi, l, \eta}\right\rangle_{S U(1,1)}^{\chi, l, \eta}= \\
=N_{\mu}^{\chi, l}\left(N_{\mu^{\prime}}^{\chi, l}\right)^{-1} V_{\mu^{\prime}, \mu}^{\chi, l}(A), \\
V_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi, l}(A) \equiv\left|N_{\mu^{\prime}}^{\chi, l}\right|^{2}\left\langle e_{\mu^{\prime}+\varkappa} \mid V^{\chi, l}(A) e_{\mu+\chi}\right\rangle_{S U(1,1)}^{\chi, l, \eta}= \\
=\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{d \omega}{\omega} e_{\mu^{\prime}+\varkappa}(\omega)^{*}\left|\omega A_{12}+A_{22}\right|^{-2 l-x-2} \times \\
\quad \times\left(\frac{\omega A_{12}+A_{22}}{\left|\omega A_{12}+A_{22}\right|}\right)^{\varkappa} e_{\mu+\chi}(\omega \bar{A}) .
\end{array}
\]

Здесь матричные элементы $V_{\mu}^{, \prime}(A)$ существуют для любого $l \in \mathbf{C}$, так как в силу неравенства
\[
0<\left|A_{22}\right|-\left|A_{12}\right| \leqslant\left|\omega A_{12}+A_{22}\right| \leqslant\left|A_{22}\right|+\left|A_{12}\right|,
\]
!праведлива оценка
\[
\begin{aligned}
\left.\left|V_{\mu^{\prime} \mu}^{x, l}(A)\right| \leqslant \frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{d \omega}{\omega} \right\rvert\, \omega A_{12} & +\left.A_{22}\right|^{2 \operatorname{Re} l-x-2} \leqslant \\
& \leqslant\left(\left|A_{22}\right|+\left|A_{12}\right|\right)^{|2 \operatorname{Re}(l+x+1)|} .
\end{aligned}
\]

Поэтому мы вычисляем матричные элементы при любом комплексном $l$. Для этого следует продолжить аналитически функцию $\left|\omega A_{12}+A_{22}\right|^{-2 l-2 x-2}$ в обе стороны от единичного круга $\{\omega \in \mathbf{C}:|\omega|=1\}$ в кольцо $\left\{\omega \in \mathbf{C}:\left|A_{21} / A_{11}\right|<|\omega|<\left|A_{22} / A_{12}\right|\right\}$. Перепишем эту функцию в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\omega A_{12}+A_{22}\right)^{-l-x-1}\left(\omega^{-1} A_{21}+A_{11}\right)^{-l-x-1} \equiv \\
\equiv \exp \left[-(l+\chi+1) \ln \left(\omega A_{12}+A_{22}\right)\right] \exp \left[-(l+\chi+1) \ln \left(\omega^{-1} A_{21}+A_{11}\right)\right]
\end{array}
\]
где $\ln$ – главное значение логарифма. Тогда матричный элемент $V_{\mu}^{x, \mu}(A)$ принимает вид
\[
V_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi, l}(A)=\frac{1}{2 \pi i} \oint \frac{d \omega}{\omega} \omega^{\mu-\mu^{\prime}}\left(\omega A_{12}+A_{22}\right)^{-l-x-1-\mu}\left(\omega^{-1} A_{21}+A_{11}\right)^{-l-1+\mu} .
\]

Подынтегральная функция однозначна в комплексной плоскости $\omega$ с разрезами от 0 до $-A_{21} / A_{11}$ и от $-A_{22} / A_{12}$ до $\infty$, если на луче $\left\{\omega=r A_{21} / A_{11}\right\}$ фиксировать фазы условием
\[
\arg \left(\omega A_{12}+A_{22}\right)=\arg A_{22}, \quad \arg \left(\omega^{-1} A_{21}+A_{11}\right)=\arg A_{11} .
\]

Контур интегрирования охватывает первый разрез. Подставляя
\[
t=-A_{12}^{-1}\left(\omega A_{11}+A_{21}\right)^{-1},
\]

получаем вместо интеграла (2.3.10) следующее выражение:
\[
\begin{array}{l}
V_{\mu^{\prime} \mu}^{x_{1} l}(A)=A_{11}^{\mu^{\prime}+\mu+\chi} A_{12}^{\mu^{\prime}-\mu} \times \\
\times \frac{-1}{2 \pi i} \int_{\left(1^{+}, 0^{+}\right)} d t(-t)^{l+\chi+\mu^{\prime}}(1-t)^{-l-\chi-1-\mu}\left(1+A_{21} A_{12} t\right)^{l-\mu^{\prime}},
\end{array}
\]

где разрезы в плоскости $t$ проведены от $\left(-A_{12} A_{21}\right)^{-1}$ до $-\infty$ и от 1 до 0 . Контур интегрирования $\left(1^{+}, 0^{+}\right.$) охватывает второй разрез в положительном направлении. Для фаз принимаем
\[
\begin{array}{c}
\arg (-t)=\arg (1-t)=\arg \left(1+A_{12} A_{21} t\right)=0 \\
\text { при } \quad\left(-A_{12} A_{21}\right)^{-1}<t<0 .
\end{array}
\]

Теперь можно показать, что следующий иңтеграл по двойной петле:
\[
\frac{A_{11}^{\mu+\mu^{\prime}+x} A_{12}^{\mu^{\prime}-\mu}}{4 \pi \sin \pi\left(\mu^{\prime}+l+x+1\right)} \int_{\left(1^{+}, 0^{+}, 1^{-}, 0^{-}\right)} d t t^{l+x+\mu^{\prime}}(1-t)^{-l-x-1-\mu}\left(1+A_{12} A_{21} t\right)^{l-\mu^{\prime}},
\]

где подынтегральная функция однозначна в плоскости $t$ с разрезами от 0 до $\left(-A_{12} A_{21}\right)^{-1}$ и от 1 до $\infty$ и при выборе фаз
\[
\arg t=\arg (1-t)=\arg \left(1+A_{12} A_{21} t\right)=0 \quad \text { при } \quad 0<t<1,
\]

совпадает с интегралом (2.3.12), так как сумма показателей при $t$ и ( $1-t$ ) в подынтегральной функции равна целому числу. Выражение (2.3.13) имеет вид интегрального представления Похгаммера для гипергеометрической функции $F={ }_{2} F_{1}$ (см., например, книгу Бейтмена и Эрдейи [23]). Итак, окончательно
получаем
\[
\begin{aligned}
V_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi, l}(A) & =A_{11}^{\mu^{\prime}+\mu+\varkappa}\left(-A_{12}\right)^{\mu^{\prime}-\mu} \frac{\Gamma\left(\mu^{\prime}+l+x+1\right)}{\Gamma(\mu+l+x+1)} \times \\
& \times \frac{F\left(\mu^{\prime}-l, \mu^{\prime}+l+x+1 ; \mu^{\prime}-\mu+1 ;-A_{12} A_{21}\right)}{\Gamma\left(\mu^{\prime}-\mu+1\right)} .
\end{aligned}
\]

В силу (2.3.7) для матричных элементов унитарных представлений имеем
\[
\begin{array}{l}
U_{S U^{\prime}(1,1)}^{\chi, \eta}(A)_{\mu^{\prime} \mu}= \\
=\left(A_{11} /\left|A_{11}\right|\right)^{\mu^{\prime}+\mu+x}\left(A_{12} /\left|A_{12}\right|\right)^{\mu^{\prime}-\mu} \hat{a}_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi, l}\left(-\left|A_{12}\right|^{2}\right)= \\
=\left(A_{11} / A_{22}\right)^{\left(\mu^{\prime}+\mu+\kappa\right) / 2}\left(A_{12} / A_{21}\right)^{\left(\mu^{\prime}-\mu\right) / 2} \hat{a}_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi, l}\left(-A_{12} A_{21}\right), \quad(2.3 .15) \\
=\left[\frac{\Gamma\left(\mu^{\prime}-l\right) \Gamma\left(\mu^{\prime}+l+x+1\right)}{\Gamma(\mu-l) \Gamma(\mu+l+x+1)}\right]^{1 / 2}(-1)^{\mu^{\prime}-\mu}(-x)^{\left(\mu^{\prime}-\mu\right) / 2}(1-x)^{\left(\mu^{\prime}+\mu+x\right) / 2} \times \\
\times \frac{F\left(\mu^{\prime}-l, \mu^{\prime}+l+x+1 ; \mu^{\prime}-\mu+1 ; x\right)}{\Gamma\left(\mu^{\prime}-\mu+1\right)},-\infty<x \leqslant 0 .
\end{array}
\]

С целью вывода соотношений симметрии для матричных элементов (2.3.15) рассмотрим линейный оператор $T_{x}$ и антилинейный оператор $K_{\varkappa}$, определенные в пространстве $\mathscr{F}$ формулами
\[
\begin{array}{c}
\left(T_{\chi} f\right)(\omega) \equiv \omega^{x} f\left(-\omega^{-1}\right), \quad\left(K_{\chi} f\right)(\omega) \equiv \omega^{x} f(-\omega)^{*}, \\
T_{x} e_{v}=(-1)^{x} e_{\chi-v}=K_{x} e_{v} .
\end{array}
\]

Они удовлетворяют условиям
\[
T_{x}^{2}=(-1)^{x} \mathbf{I}_{\mathscr{F}}=K_{x}^{2} .
\]

Для представлений $V^{x, l}$ группы $S U(1,1)$ в пространстве $\mathscr{F}$ получаем
\[
T_{x} V^{\chi, l}(A) T_{x}^{-1}=V^{\chi, l}\left(A^{-1 T}\right), K_{x} V^{\chi, l}(A) K_{x}^{-1}=V^{\chi, l^{*}}\left(A^{-1+}\right),
\]

откуда с помощью формулы (1.3.32) имеем для матричных элементов
\[
V_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-x}^{x, l}\left(A^{-1 T}\right)=(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} V_{\mu^{\prime} \mu}^{x^{\prime},}(A)=V_{-\mu-x_{1}-\mu^{\prime}-x}^{x,-l-x-1}\left(A^{+}\right) .
\]

Из формул (2.3.7), (2.3.6) и соотношения эквивалентности (1.3.33) между представлениями $V^{x, l}$ и $V^{x,-l-x-1}$ получаем сначала
только для основной и дополнительной серий свойства симметрии
\[
\begin{array}{c}
U_{S U^{\prime}(1,1)}^{x, 0}\left(A^{-1 T}\right)_{\mu^{\prime} \mu}=U_{S U^{\prime}(1,1)}^{x, l}(A)_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-x}=U_{S U^{\prime}(1,1)}^{x,{ }^{\prime}, 0}\left(A^{+}\right)_{\mu \mu^{\prime}} \\
(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} \hat{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{x, l}(x)=a_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-x}^{x, l}(x)=\hat{a}_{\mu \mu^{\prime}}^{x, l}(x) .
\end{array}
\]

Для вывода аналогичных соотношений для дискретной серии следует вначале сузить операторы $T_{x}$ и $K_{x}$ на подпространства $\mathscr{F}$. Согласно формуле (2.3.16), подпространства $\mathscr{F}_{+}^{\varkappa, n}$ и $\mathscr{F}^{x, n}$ переводятся операторами $T_{x}$ и $K_{x}$ друг в друга, так что вместо формул (2.3.18) мы имеем соотношения
\[
\begin{aligned}
\hat{T}_{ \pm, x} V_{ \pm}^{\chi, l}(A) \hat{T}_{ \pm, x}^{-1} & =V_{\mp}^{\chi_{1} l}\left(A^{-1 T}\right), \\
\hat{K}_{ \pm, x} V_{ \pm}^{\chi, l}(A) \hat{K}_{ \pm, x}^{-1} & =V_{\mp}^{\chi, l^{*}}\left(A^{-1+}\right),
\end{aligned}
\]

где операторы $\widehat{T}_{ \pm, x}$ и $\widehat{K}_{ \pm, x}$ получаются при сужении операторов $T_{x}$ и $K_{x}$ на пространства представлений $V_{ \pm}^{x, t}$. Итак, обобщение формул $(2.3 .20)$ дает при $\eta=0, \pm$ :
\[
\begin{array}{c}
U_{S U^{\prime}(1,1)}^{x_{1}, \eta^{\prime}}\left(A^{-1 T}\right)_{\mu^{\prime} \mu}=U_{S U^{\prime}(1,1)}^{\chi, l}(A)_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-x}=U_{S U^{\prime}(1,1)}^{x, l, \eta}\left(A^{+}\right)_{\mu \mu^{\prime \prime}} \\
\cdot(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} \hat{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{x, l}(x)=\hat{a}_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-x}^{x_{1},}(x)=\hat{a}_{\mu \mu^{\prime}}^{x, l}(x) .
\end{array}
\]