Согласно формуле (1.3.8), в базисе $\left\{e_v\right\}$ в пространстве $\mathcal{F}$ имеем
$$(V^{x,l}(C(\phi ))e_v)(\omega )={\chi }^{x,v-x}(\phi )e_v(\omega ).$$

Для унитарных неприводимых представлений $U_{SU}^{x,l,\eta }(1,1)$, получаемых из $V^{x,l}$, отсюда очевидно следует, что представление ${\chi }^{x^{\prime },\mu }$ группы $H_1$ содержится ровно один раз в представлении $U_{SU,(1,1)}^{x,l,\eta }$, если $x^{\prime }=x$ и если вектор $e_{\mu +x}$ содержится в пространстве ${\mathfrak{F}}_{SU}^{x,l,\eta }(1,1)$. Таким образом, $\left\{e_v\right\}$ есть базис, принадлежащий группе $H_1$. Однақо в силу формул (1.3.36) — (1.3.41) элементы базиса $e_v$ имеют различную нормировку в разных гильбертовых пространствах. Эта нормировка может быть записана в виде (кроме единичного представления)
$${⟨e_{v^{\prime }}\mid e_v⟩}_{SU(1,1)}^{x,l,\eta }={\sigma }_{v^{\prime }v}\left|\frac{\mathrm{\Gamma }(v-l-x)}{\mathrm{\Gamma }(v+l+1)}\right|.$$

Поэтому в дальнейшем мы будем использовать ортонормированные базисы в гильбертовых пространствах представлений:
$$\begin{array}{l}{\left|N_{\mu }^{x,l}\right|}^2=\left|\frac{\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)}{\mathrm{\Gamma }(\mu -l)}\right|\},{⟨{\psi }_{{\mu }^{\prime }}^{x,l,\eta }\mid {\psi }_{\mu }^{x,l,\eta }⟩}_{SU(1,1)}^{x,l,\eta }={\delta }_{{\mu }^{\prime }\mu }.\end{array}$$

Нормировочный множитель $N_{\mu }^{\chi ,l}$ можно считать значением функции
$$N_{\mu }^{\chi ,l}\equiv {\left[\frac{\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)}{\mathrm{\Gamma }(\mu -l)}\right]}^{1/2}$$

в комплексной плоскости $l$, взятым в точках, отвечающих унитарным сериям. Функция $\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)/\mathrm{\Gamma }(\mu -l)$ имеет нули в точках $\mu ,\mu +1,\dots$ и полюсы в точках $-\mu -x-1,-\mu -x-2,\dots$. При $\mu ⩽-1$ обе последовательности перекрываются и нули и полюсы, лежащие между $\mu$ и — $-x-1$, компенсируются. На вещественной оси знаменатель положителен при , а числитель положителен при , т. е. в области между нулями и полюсами они имеют разные знаки. В точке $l=-1/2(1+x)$ функция $\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)/\mathrm{\Gamma }(\mu -l)$ принимает значение +1 при $\mu ⩾0$ и $(-1{)}^x$ при $-\mu -x⩾0$. Если принять условие
$${N_{\mu }^{x,l}|}_{l=-(1+x)/2\pm i0}=\{\begin{array}{lll}1& \text{ при }& \mu ⩾0,\\ e^{\pm i\pi (\mu +x/2)}& \text{ при }\mu & lt;0,\end{array}$$

то функция $N_{\mu }^{x,t}$ будет однозначна в комплексной плоскости $l$ с разрезом вдоль интервалов вещественной оси, на которых функция $\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)/\mathrm{\Gamma }(\mu -l)$ отрицательна. Приняв условия вида (2.3.5) для числителя и знаменателя по отдельности,
получим

Функция $N_{\mu }^{\varkappa ,l}$ обладает следующими свойствами симметрии:
$$\begin{array}{l}{\left(N_{\mu }^{\varkappa ,l}\right)}^{\ast }=N_{\mu }^{\chi ,l^{\ast }},N_{\mu }^{\chi ,-l-\chi -1}{N}_{\mu }^{\chi ,l}=1,\\ N_{-\mu -\chi }^{\varkappa ,l}=N_{\mu }^{\chi ,l}{e}^{-i\pi \mathrm{sign}(\mathrm{Im}l)(\mu +x/2)}.\end{array}$$

Матричные элементы унитарных серий представлений группы $SU(1,1)$ в базисе (2.3.3) имеют общий вид:
$$\begin{array}{c}{U}_{SU(1,1)}^{\chi ,l,\eta }(A{)}_{{\mu }^{\prime }\mu }\equiv {⟨{\psi }_{{\mu }^{\prime }}^{\chi ,l,\eta }\mid U_{SU(1,1)}^{\chi ,l,\eta }(A){\psi }_{\mu }^{\chi ,l,\eta }⟩}_{SU(1,1)}^{\chi ,l,\eta }=\\ =N_{\mu }^{\chi ,l}{\left(N_{{\mu }^{\prime }}^{\chi ,l}\right)}^{-1}{V}_{{\mu }^{\prime },\mu }^{\chi ,l}(A),\\ V_{{\mu }^{\prime }\mu }^{\chi ,l}(A)\equiv {\left|N_{{\mu }^{\prime }}^{\chi ,l}\right|}^2{⟨e_{{\mu }^{\prime }+\varkappa }\mid V^{\chi ,l}(A)e_{\mu +\chi }⟩}_{SU(1,1)}^{\chi ,l,\eta }=\\ =\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{d\omega }{\omega }{e}_{{\mu }^{\prime }+\varkappa }(\omega {)}^{\ast }{|\omega A_{12}+A_{22}|}^{-2l-x-2}\times \\ \times {\left(\frac{\omega A_{12}+A_{22}}{|\omega A_{12}+A_{22}|}\right)}^{\varkappa }{e}_{\mu +\chi }(\omega \overline{A}).\end{array}$$

Здесь матричные элементы $V_{\mu }^{,\prime }(A)$ существуют для любого $l\in \mathbf{C}$, так как в силу неравенства

!праведлива оценка
$$\begin{array}{rl}|V_{{\mu }^{\prime }\mu }^{x,l}(A)|⩽\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{d\omega }{\omega }|\omega A_{12}& +{A_{22}|}^{2\mathrm{Re}l-x-2}⩽\\ & ⩽{(\left|A_{22}\right|+\left|A_{12}\right|)}^{|2\mathrm{Re}(l+x+1)|}.\end{array}$$

Поэтому мы вычисляем матричные элементы при любом комплексном $l$. Для этого следует продолжить аналитически функцию ${|\omega A_{12}+A_{22}|}^{-2l-2x-2}$ в обе стороны от единичного круга $\{\omega \in \mathbf{C}:|\omega |=1\}$ в кольцо . Перепишем эту функцию в виде
$$\begin{array}{l}{(\omega A_{12}+A_{22})}^{-l-x-1}{({\omega }^{-1}{A}_{21}+A_{11})}^{-l-x-1}\equiv \\ \equiv \exp [-(l+\chi +1)\ln (\omega A_{12}+A_{22})]\exp [-(l+\chi +1)\ln ({\omega }^{-1}{A}_{21}+A_{11})]\end{array}$$
где $\ln$ — главное значение логарифма. Тогда матричный элемент $V_{\mu }^{x,\mu }(A)$ принимает вид
$$V_{{\mu }^{\prime }\mu }^{\chi ,l}(A)=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{d\omega }{\omega }{\omega }^{\mu -{\mu }^{\prime }}{(\omega A_{12}+A_{22})}^{-l-x-1-\mu }{({\omega }^{-1}{A}_{21}+A_{11})}^{-l-1+\mu }.$$

Подынтегральная функция однозначна в комплексной плоскости $\omega$ с разрезами от 0 до $-A_{21}/A_{11}$ и от $-A_{22}/A_{12}$ до $\mathrm{\infty }$, если на луче $\{\omega =r{A}_{21}/A_{11}\}$ фиксировать фазы условием
$$\arg (\omega A_{12}+A_{22})=\arg A_{22},\arg ({\omega }^{-1}{A}_{21}+A_{11})=\arg A_{11}.$$

Контур интегрирования охватывает первый разрез. Подставляя
$$t=-A_{12}^{-1}{(\omega A_{11}+A_{21})}^{-1},$$

получаем вместо интеграла (2.3.10) следующее выражение:
$$\begin{array}{l}{V}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{x_{1}l}(A)=A_{11}^{{\mu }^{\prime }+\mu +\chi }{A}_{12}^{{\mu }^{\prime }-\mu }\times \\ \times \frac{-1}{2\pi i}{\int }_{(1^{+},0^{+})}dt(-t{)}^{l+\chi +{\mu }^{\prime }}(1-t{)}^{-l-\chi -1-\mu }{(1+A_{21}{A}_{12}t)}^{l-{\mu }^{\prime }},\end{array}$$

где разрезы в плоскости $t$ проведены от ${(-A_{12}{A}_{21})}^{-1}$ до $-\mathrm{\infty }$ и от 1 до 0 . Контур интегрирования $(1^{+},0^{+}$) охватывает второй разрез в положительном направлении. Для фаз принимаем
$$\begin{array}{c}\arg (-t)=\arg (1-t)=\arg (1+A_{12}{A}_{21}t)=0\\ \text{ при }{(-A_{12}{A}_{21})}^{-1}& lt;t& lt;0.\end{array}$$

Теперь можно показать, что следующий иңтеграл по двойной петле:
$$\frac{A_{11}^{\mu +{\mu }^{\prime }+x}{A}_{12}^{{\mu }^{\prime }-\mu }}{4\pi \sin \pi ({\mu }^{\prime }+l+x+1)}{\int }_{(1^{+},0^{+},1^{-},0^{-})}dt{t}^{l+x+{\mu }^{\prime }}(1-t{)}^{-l-x-1-\mu }{(1+A_{12}{A}_{21}t)}^{l-{\mu }^{\prime }},$$

где подынтегральная функция однозначна в плоскости $t$ с разрезами от 0 до ${(-A_{12}{A}_{21})}^{-1}$ и от 1 до $\mathrm{\infty }$ и при выборе фаз

совпадает с интегралом (2.3.12), так как сумма показателей при $t$ и ( $1-t$ ) в подынтегральной функции равна целому числу. Выражение (2.3.13) имеет вид интегрального представления Похгаммера для гипергеометрической функции $F={}_2{F}_1$ (см., например, книгу Бейтмена и Эрдейи [23]). Итак, окончательно
получаем
$$\begin{array}{rl}{V}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{\chi ,l}(A)& =A_{11}^{{\mu }^{\prime }+\mu +\varkappa }{(-A_{12})}^{{\mu }^{\prime }-\mu }\frac{\mathrm{\Gamma }({\mu }^{\prime }+l+x+1)}{\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)}\times \\ & \times \frac{F({\mu }^{\prime }-l,{\mu }^{\prime }+l+x+1;{\mu }^{\prime }-\mu +1;-A_{12}{A}_{21})}{\mathrm{\Gamma }({\mu }^{\prime }-\mu +1)}.\end{array}$$

В силу (2.3.7) для матричных элементов унитарных представлений имеем
$$\begin{array}{l}{U}_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{\chi ,\eta }(A{)}_{{\mu }^{\prime }\mu }=\\ ={\left(A_{11}/\left|A_{11}\right|\right)}^{{\mu }^{\prime }+\mu +x}{\left(A_{12}/\left|A_{12}\right|\right)}^{{\mu }^{\prime }-\mu }{\hat{a}}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{\chi ,l}(-{\left|A_{12}\right|}^2)=\\ ={\left(A_{11}/A_{22}\right)}^{({\mu }^{\prime }+\mu +\kappa )/2}{\left(A_{12}/A_{21}\right)}^{({\mu }^{\prime }-\mu )/2}{\hat{a}}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{\chi ,l}(-A_{12}{A}_{21}),(2.3.15)\\ ={\left[\frac{\mathrm{\Gamma }({\mu }^{\prime }-l)\mathrm{\Gamma }({\mu }^{\prime }+l+x+1)}{\mathrm{\Gamma }(\mu -l)\mathrm{\Gamma }(\mu +l+x+1)}\right]}^{1/2}(-1{)}^{{\mu }^{\prime }-\mu }(-x{)}^{({\mu }^{\prime }-\mu )/2}(1-x{)}^{({\mu }^{\prime }+\mu +x)/2}\times \\ \times \frac{F({\mu }^{\prime }-l,{\mu }^{\prime }+l+x+1;{\mu }^{\prime }-\mu +1;x)}{\mathrm{\Gamma }({\mu }^{\prime }-\mu +1)},-\mathrm{\infty }& lt;x⩽0.\end{array}$$

С целью вывода соотношений симметрии для матричных элементов (2.3.15) рассмотрим линейный оператор $T_x$ и антилинейный оператор $K_{\varkappa }$, определенные в пространстве $\mathcal{F}$ формулами
$$\begin{array}{c}\left(T_{\chi }f\right)(\omega )\equiv {\omega }^{x}f(-{\omega }^{-1}),\left(K_{\chi }f\right)(\omega )\equiv {\omega }^{x}f(-\omega {)}^{\ast },\\ T_x{e}_v=(-1{)}^x{e}_{\chi -v}=K_x{e}_v.\end{array}$$

Они удовлетворяют условиям
$$T_x^2=(-1{)}^x{\mathbf{I}}_{\mathcal{F}}=K_x^2.$$

Для представлений $V^{x,l}$ группы $SU(1,1)$ в пространстве $\mathcal{F}$ получаем
$$T_x{V}^{\chi ,l}(A)T_x^{-1}=V^{\chi ,l}\left(A^{-1T}\right),K_x{V}^{\chi ,l}(A)K_x^{-1}=V^{\chi ,l^{\ast }}\left(A^{-1+}\right),$$

откуда с помощью формулы (1.3.32) имеем для матричных элементов
$$V_{-{\mu }^{\prime }-x,-\mu -x}^{x,l}\left(A^{-1T}\right)=(-1{)}^{{\mu }^{\prime }-\mu }{V}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{x^{\prime },}(A)=V_{-\mu -x_1-{\mu }^{\prime }-x}^{x,-l-x-1}\left(A^{+}\right).$$

Из формул (2.3.7), (2.3.6) и соотношения эквивалентности (1.3.33) между представлениями $V^{x,l}$ и $V^{x,-l-x-1}$ получаем сначала
только для основной и дополнительной серий свойства симметрии
$$\begin{array}{c}{U}_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{x,0}{\left(A^{-1T}\right)}_{{\mu }^{\prime }\mu }=U_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{x,l}(A{)}_{-{\mu }^{\prime }-x,-\mu -x}=U_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{x,{}^{\prime },0}{\left(A^{+}\right)}_{\mu {\mu }^{\prime }}\\ (-1{)}^{{\mu }^{\prime }-\mu }{\hat{u}}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{x,l}(x)=a_{-{\mu }^{\prime }-x,-\mu -x}^{x,l}(x)={\hat{a}}_{\mu {\mu }^{\prime }}^{x,l}(x).\end{array}$$

Для вывода аналогичных соотношений для дискретной серии следует вначале сузить операторы $T_x$ и $K_x$ на подпространства $\mathcal{F}$. Согласно формуле (2.3.16), подпространства ${\mathcal{F}}_{+}^{\varkappa ,n}$ и ${\mathcal{F}}^{x,n}$ переводятся операторами $T_x$ и $K_x$ друг в друга, так что вместо формул (2.3.18) мы имеем соотношения
$$\begin{array}{rl}{\hat{T}}_{\pm ,x}{V}_{\pm }^{\chi ,l}(A){\hat{T}}_{\pm ,x}^{-1}& =V_{\mp }^{{\chi }_{1}l}\left(A^{-1T}\right),\\ {\hat{K}}_{\pm ,x}{V}_{\pm }^{\chi ,l}(A){\hat{K}}_{\pm ,x}^{-1}& =V_{\mp }^{\chi ,l^{\ast }}\left(A^{-1+}\right),\end{array}$$

где операторы ${\hat{T}}_{\pm ,x}$ и ${\hat{K}}_{\pm ,x}$ получаются при сужении операторов $T_x$ и $K_x$ на пространства представлений $V_{\pm }^{x,t}$. Итак, обобщение формул $(2.3.20)$ дает при $\eta =0,\pm$ :
$$\begin{array}{c}{U}_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{x_1,{\eta }^{\prime }}{\left(A^{-1T}\right)}_{{\mu }^{\prime }\mu }=U_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{\chi ,l}(A{)}_{-{\mu }^{\prime }-x,-\mu -x}=U_{S{U}^{\prime }(1,1)}^{x,l,\eta }{\left(A^{+}\right)}_{\mu {\mu }^{\prime \prime }}\\ \cdot (-1{)}^{{\mu }^{\prime }-\mu }{\hat{u}}_{{\mu }^{\prime }\mu }^{x,l}(x)={\hat{a}}_{-{\mu }^{\prime }-x,-\mu -x}^{x_1,}(x)={\hat{a}}_{\mu {\mu }^{\prime }}^{x,l}(x).\end{array}$$