Ядра состоят из протонов $p$ и нейтронов $n$. Обе частицы имеют близкие массы: $m_{p}=1836,10 m_{e}=938,25$ МэВ, $m_{n}=939,55$ МэВ. Протон несет электрический заряд $+e$. Обе частицы имеют спин $1 / 2$. Ядро характеризуется количеством протонов $Z$ и количеством нейтронов $N$, оно обозначается символом $(Z, N)$ и содержит $A=Z+N$ нуклонов. Ядра имеют связанные возбужденные состояния, которые нестабильны. Основное состояние само может оказаться нестабильным, тогда одно ядро будет спонтанно превращаться в другое. При этом оно испытывает один из следующих типов распадов:
a) $\beta^{-}$-распад: $n \rightarrow p^{+}+e^{-}+\vec{v}$ ( $\vec{v}-$ антинейтрино); $(Z, N) \rightarrow$ $\rightarrow(Z+1, N-1)+\mathrm{e}^{-}+\bar{v}$
$\beta^{+}$-распад: $(Z, N) \rightarrow(Z-1, N+1)+e^{+}+v$, конкурирующий с $e^{-}$-захватом $(Z, N)+e^{-} \rightarrow(Z-1, N+1)+v$ (который требует меньшей энергии). Среднее время жизни $\tau$ может меняться от $10^{-3}$ с до $10^{20}$ лет.
б) $\quad\left(\right.$-распад $\left.{ }^{1}\right): \quad(Z, N) \rightarrow(Z-2, N-2)+(2,2)$ для ядер с $A>140$. Время жизни $\tau$ может иметь значение до $10^{20}$ лет. И еще два гораздо более редких распада:
в) излучение нейтрона: $(Z, N) \rightarrow(Z, N-1)+n, \tau$ менее нескольких секунд. Происходит редко.
г) Спонтанное деление на два меньших ядра $(Z, N) \rightarrow$ $\rightarrow\left(Z_{1}, N_{1}\right)+\left(Z_{2}, N_{2}\right)$.

Будем называть ядро стабильным, если период его полураспада $\tau>10^{20}$ лет. Известно 274 стабильных ядра. Это 165 ядер с $Z$ четным и $N$ четным, 4 ядра с $Z$ нечетным и $N$ нечетным $(Z=N=1,3,5,7), 55$ ядер ( $Z$ четное, $N$ нечетное) и 50 ядер ( $Z$ нечетное, $N$ четное).

На фиг. 3.1 приведено количество стабильных ядер при заданном числе $Z$ (изотопы) и при заданном числе $N$ (изотоиы).
1) Та частица, которая была впервые названа $\alpha$-частицей, оказалась не чем иным, как ядром гелия (2.2).
Хорошо видно заметное преобладание ядер с четными $Z$ и четными $N$.

Следует отметить, что ядра с $Z=20$ и $Z=50$ ( $N=82$ ) имеют значительно больше изотопов (или изотонов), чем их

Фиг. 3.1. Зависимость чисел $v_{N}$ и $v_{Z}$ стабильных ядер $(Z, N)$ от $Z$ и $N$. Отметим, что не существует стабильных ядер с $Z=43,61$, > 83; с $N=19,21,35,39,45$, $61,89,115,123,>126$ и с $A=Z+N=5,8,147,>203$. Самым тяжелым стабильным ядром является ${ }_{82}^{126} \mathrm{~Pb} 208$ с $Z=82, N=126$. Удивительной особенностью фиг. 3.1 язляется то, что $v_{Z}$ и $v_{N}$ почти всегда равны единице и лишь иногда принимают значения 2 или 0 (для нечетных $Z$ или $N$ ). Значения этих величин носят менее регулярный характер для четных $Z$ или $N$. При $Z=20=N, Z=50=N, N=82$ и $N=28$ наблюдаются относительные максимумы.

четные соседи. Это справедливо (хотя и не так удивительно) и для $N=20$ и $N=50$ (а также для $N=28$ ). Самое тяжелое стабильное ядро – это $\mathrm{Pb}_{208}$ с $Z=82, N=126$. Другое удивительное свойство распределения стабильных ядер по $Z$ и $N$ заключается в том, что за исключением двух случаев $N-Z \geqslant 0$ и $N-Z$ является медленно растущей функцией $A=N+Z$ :
$N-Z=-1$ для протона $(Z=1)$ и $\operatorname{He}^{3}(Z=2)$;
$N-Z=0$ для 13 ядер;
$N-Z=1$ для 16 ядер;
$N-Z$ в среднем увеличивается с ростом $A$, $(N-Z) \sim 6 \cdot 10^{-3} A^{5 / 3}$.
Ядерные силы – наиболее интенсивные силы в природе. Однако они не могут связать вместе более 208 нуклонов ${ }^{1}$ ). Причина заключается в том, что эти силы имеют малый радиус действия и, кроме того, нуклоны подчиняются статистике Ферми, которая для конденсированного состояния приводит к эффектам, аналогичным отталкиванию.

Известно более тысячи различных нестабильных ядер. Те из них, которые имеют время жизни $\tau>0,1$ возраста Вселенной, были обнаружены в природе, другие еще только возникают в настоящее время ( $\left.\mathrm{C}^{14}\right)$. Все остальные созданы человеком, причем более половины из них имеют четные $Z$ и $N$. Существует полуэмпирическая формула (формула Вейцзекера), дающая зависимость энергии связи основного состояния стабильных или нестабильных ядер от $Z, N$ и $A=Z+N$ :
\[
\begin{aligned}
B(Z, N) & =Z m_{\rho}+N m_{n}-m(Z, N)=U_{v} A-U_{c} Z(Z-1) A^{-1 / 3}- \\
& -U_{s} A^{2 / 3}-U_{t} \frac{(Z-N)^{2}}{A}+U_{p} \frac{(-1)^{Z}+(-1)^{N}}{2} A^{-3 / 4}
\end{aligned}
\]
(значения постоянных $U$ даны в $M_{
i} \mathrm{B}$ ),
$U_{t}=84,2 \mathrm{M} \mathrm{B}, \quad U_{p}^{c}=34 \mathrm{M}_{
i} \mathrm{B}$.
Постоянная $U_{v}$ соответствует максимальной средней энергии связи нуклона. Член $U_{c}$ учитывает кулоновское отталкивание $Z$ протонов, равномерно распределенных в сфере, радиус которой пропорционален $A^{1 / 3}$. Член $U_{s}$ относится к поверхностному эффекту, связанному с короткодействующим характером ядерных сил; $U_{t}$ уменьшает величину $|Z-N|$, в то время как $U_{p}$ соответствует эффекту спаривания тождественных нуклонов. Қак видно, ядра с четными $Z$ и $N$ стабильнее и многочисленнее, чем ядра с нечетными $Z$ и (или) нечетными $N$. Как
1) Было постулировано существование нейтронных звезд с радиусом от 10 до $100 \mathrm{км,} \mathrm{содержащих} \sim 10^{57}$ нейтронов. Эти звезды, по-видимому, и наблюдаются сейчас в виде „пульсаров“. Они действительно представляют собой гигантские ядра, но их энергия связи обусловлена как ядерными, так и гравитационными силами.
правило, спин (момент количества движения) всех без исключения известных ядер с четными $Z$ и $N$ равен нулю.

Распределение ядерного спина для ядер с нечетным $A$ рассматривается в разд. 3.4.
3.2. ИзОСПиН
Вскоре после открытия нейтрона (1932 г.) Гейзенберг создал формальный язык для изучения ядра. Нейтроны и протоны рассматривались им как одни и те же частицы – нуклоны, имеющие пять степеней свободы: три меняющиеся непрерывно в пространстве (x), одну спиновую ( $\sigma$ ), принимающую два значения, и еще одну новую степень свободы. Эту новую величину Гейзенберг просто назвал пятой степенью свободы $\tau$ и различал с ее помощью нейтроны и протоны [63]. Поскольку, подобно спину, она может принимать два значения, то теперь она называется изоспином ${ }^{1}$ ).

Эти условные обозначения Гейзенберга оказались более чем полезными. Действительно, вскоре было установлено, что между протонами и нейтронами действуют одинаковые ядерные силы. Их различие (разные электрические заряды и магнитные моменты, небольшая разница в массах) приписывалось главным образом электромагнитным эффектам. В разумных пределах их действием можно пренебречь.

Обозначим гильбертово пространство состояний нашего нуклона через
\[
\mathscr{H}^{(1)}=\mathscr{L}_{2}(\mathbf{x}, t) \otimes \mathscr{K}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\tau},
\]

тогда для $A$ нуклонов оно будет иметь вид
\[
\mathscr{H}^{(A)}=\mathscr{H}_{[1 A]}^{(1)}=P_{[1]]} \otimes_{\lambda}^{\otimes}\left(\left(\mathscr{L}_{2} \otimes \mathscr{K}_{\sigma}\right)_{[\lambda]}^{(A)} \otimes \mathscr{K}_{\tau\{\lambda]}^{(A)}\right),
\]

где $\left.P_{[1} A\right]$ – проектор на $\mathscr{H}_{[1}^{(1)}$.
Для изучения ядра из $A$ нуклонов удобно аппроксимировать сумму взаимодействий двух частиц средним потенциалом (равным сумме гамильтонианов отдельных частиц) и остаточным двухчастичным потенциалом, который еще является потенциалом
1) Хотя эта величина носит название изотопического спина с 1936 г., для нее более подходило бы название „изобарический спин“. Благодаря естественной эволюции языка это слово сократилось и превратилось в изоспин.
притяжения. Аналогия с изучением атомов ${ }^{1}$ ) позволяет сделать некоторые качественные выводы.

Воспользуемся тем же аргументом, что и в разд. 2.6 для атомов, но с учетом того, что остаточное взаимодействие имеет противоположный знак. Мы знаем, что в этом случае для быть как можно более симметрична, а $[\lambda]^{c}$ – антисимметрична, с одной оговоркой, что она имеет только две строки. Отсюда следует, что обе строки, насколько это возможно, равны друг другу:
\[
\lambda_{i} \geqslant 0 ; \quad[\lambda]^{c}=\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}\right], \quad 0 \leqslant \lambda_{1}-\lambda_{2}=\lambda_{\text {MнН }}, \quad \lambda_{1}+\lambda_{2}=A .
\]

Если ядро имеет $Z$ протонов и $N$ нейтронов $(Z+N=A$ ), его состояния полностью симметричны по $\sup \{Z, N\}$ частицам, так что
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{1} \geqslant \sup \{Z, N\} \\
|Z-N| \leqslant \lambda_{1}-\lambda_{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, уравнение (3.4) можно интерпретировать следующим образом: для наиболее стабильных ядер величина $|Z-N|$ принимает наименьшее возможное значение. Как мы уже видели, это хорошо подтверждается для легких ядер, у которых электромагнитное отталкивание протонов пренебрежимо мало. Если это отталкивание приходится учитывать, то $N-Z>0$ становится медленно растущей функцией от $A=N+Z$. В приближении, когда $n$ и $p$ считаются тождественными, изобары (ядра с одним и тем же числом нуклонов $A=Z+N$ ) тоже должны быть тождественными. Рассмотрим фиг. 3.2. На ней представлен энергетический спектр известных состояний для $A=15$, приведены известные значения спина и четности этих состояний. Поражает сходство спектров (по крайней мере, в нижней части схемы) для $1 / 2|Z-N|=1 / 2$ (т. е. для ядер $\mathrm{N}^{15}$ и $\mathrm{O}^{15}$ ). Существенным отличием является скачок вверх по энергии примерно на 3 МэВ для ядра $\mathrm{O}^{15}$, имеющего на один протон больше, чем ядро $\mathrm{N}^{15}$. Па́ры соответствующих состояний называются „дублетами“ состояний с изоспином $1 / 2$.

Объясним подробно эту точку зрения, опирающуюся на соотношения между группами перестановок $S(n)$ и унитарными
1) Существует и различие. Атомы, обладающие $n$ электронами, состоят из $(n+1)$ частиц. При этом, как мы уже видели, легко исключить движение центра масс. Для этого за начало координат выбирают ядро, а все электроны рассматривают относительно него на равных основаниях. Метод исключения движения центра масс в ядерной физике более сложен.
группами $U(k)$, которые упоминались в разд. 1.4 и использовались в разд. 2.9.
состояния
Фиг. 3.2. Спектр состояний изобар с $A=15$.
Состояния $\mathrm{C}^{15}$ имеют изоспин $\geqslant 3 / 2$. Для другого условного обозначения ядра используется химический символ соответствующего атома (это дает просто число 2 ) с числом нуклонов $A=Z+N$ в качестве индекса в правом верхием углу.
Ядерное взаимодействие не делает различия между протонами и нейтронами. Для ядра отсюда следует свойство инвариантности относительно перестановки $[€ S(A)]$ его нуклонов. Это свойство можно интерпретировать следующим образом:
все наблюдаемые $O$ ядерной физики, действующие в пространстве $\mathscr{H}^{(1)}$ (пространство одночастичных состояний нуклона), из уравнения (3.3) выражаются в форме уравнения (3.7), где
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}^{(1)} & =\mathscr{L}_{2}(\mathbf{x}, t) \otimes \mathscr{K}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\tau}, \\
O & =\mathscr{P} \otimes I, \\
U(2) & =I \otimes U(2),
\end{aligned}
\]
т. е. они соответствуют тривиальному действию в пространстве $\mathscr{K}_{\tau}$, являющемся множителем в этом тензорном произведении и соответствующем гейзенберговой пятой степени свободы системы „протон – нейтрон“.

Действие группы $U(2)$ на $\mathscr{H}^{(1)}$, определенное уравнением (3.8), коммутирует с каждой наблюдаемой: $U(2) \subset\{\}^{\prime}$ – коммутант алгебры „одночастичных наблюдаемых“. Действие этой группы $U(2)$ можно распространить на любое гильбертово пространство состояний $A$ частиц $\mathscr{H}^{(A)}(A \geqslant 0)$. Следовательно, когда в ядерной физике пренебрегают неядерными взаимодействиями, эта группа $U(2)$ является подгруппой группы инвариантности. Пространство $\mathscr{C}^{(A)}$ имеет одно и то же разложение на пространства факториальных представлений как для $S(A)$, так и для $U(2)$. Поэтому для соответствующих представлений мы используем одни и те же обозначения (схемы Юнга).

Поскольку кулоновским отталкиванием протонов можно пренебречь только для легких ядер, то ожидалось, что сохранение изоспина окажется неинтересным для более тяжелых ядер. Однако прогресс ядерной физики за последние пять лет показал, что для ядер с $A \leqslant 100$ понятие изоспина действительно является полезным. Обзор по этому вопросу, не содержащий технических деталей, дан в статье Кокера и Мура [64].