Неприводимые унитарные представления группы $S L(2$, C) были впервые установлены Гельфандом и Наймарком [17]. Кратко опишем теорию представлений группы $S L(2, \mathbf{C})$; детали можно найти в монографии Наймарка [18].

Определим преобразование из группы $S L(2, \mathbf{C})$ в замкнутой комплексной плоскости $\overline{\mathbf{C}}$ следующим образом:
\[
S L(2, \mathbf{C}) \equiv A: z \rightarrow z \bar{A} \equiv \frac{z A_{11}+A_{21}}{z A_{12}+A_{22}}, z \in \overline{\mathbf{C}} .
\]

Квазиинвариантная мера в пространстве $\overline{\mathbf{C}}$ имеет вид (с точностью до эквивалентности)
\[
d \mu(z) \equiv \pi^{-1}\left(1+|z|^{2}\right)^{-2} d x d y, \quad z=x+i y,
\]
и производная Радона – Никодима равна
\[
\frac{d \mu(z \bar{A})}{d \mu(z)}=\left|z A_{12}+A_{22}\right|^{-4}\left(\frac{1+|z|^{2}}{1+|z \bar{A}|^{2}}\right)^{2} .
\]

Неприводимые унитарные представления группы $S L(2$, C) могут быть реализованы в пространстве комплексных функций на $\overline{\mathbf{C}}$ (см. [18]). Они имеют вид
\[
\left(U_{S L}^{\left.x, \lambda_{2},{ }_{\mathrm{C}}\right)}(A) f\right)(z)=\sqrt{d \mu(z \bar{A}) / d \mu(z)}^{1+i \lambda}\left(\frac{z A_{12}+A_{22}}{\left|z A_{12}+A_{22}\right|}\right)^{2 \mu+\varkappa} f(z \bar{A}),
\]
\[
x \in\{0,1\} ; \mu \in\{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\} ; \lambda \in \mathbf{R} \cup\{-i t ; 0<t<1\} .
\]

Существуют следующие серии представлений:
1. Основная серия. Она состоит из представлений $U_{S L}^{x, \lambda, \mu}, \mathbf{c}$ с $\lambda \in \mathbf{R}$, реализуемых в гильбертовом пространстве $\mathfrak{S}_{S L}^{x, \lambda, \mu}(2, \mathrm{c}) \mathfrak{J}$ со скалярным произведением
\[
\langle f \mid g\rangle_{S L(2, \mathrm{C})}^{x_{1} \lambda, \mu} \equiv \int_{\overrightarrow{\mathrm{C}}} d \mu(z) f(z)^{*} g(z) .
\]
2. Дополнительная серия. Она состоит из представлений $U_{S L(2, \text { с) }}^{0, \lambda, 0}$ с $\lambda=-i t, 0<t<1$, реализуемых в гильбертовых пространствах $\mathfrak{F}_{S L}^{0, l, 0}$, с) со скалярными произведениями
\[
\begin{array}{c}
\langle f \mid g\rangle_{S L(2, \mathrm{c})}^{0, \lambda, 0} \equiv \iint_{\overline{\mathrm{C}} \times \overline{\mathrm{c}}} d \mu\left(z^{\prime}\right) d \mu(z) f\left(z^{\prime}\right)^{*} K_{\lambda}\left(z^{\prime}, z\right) g(z), \\
\Gamma(i \lambda) K_{\lambda}\left(z^{\prime}, z\right) \Longrightarrow\left(\frac{\left|z^{\prime}-z\right|^{2}}{\left(1+\left|z^{\prime}\right|^{2}\right)\left(1+|z|^{2}\right)}\right)^{-1+i \lambda} .
\end{array}
\]

Представления $U_{S L(2, \mathrm{C})}^{\chi^{\prime}, \lambda^{\prime}, \mu^{\prime}} U_{S L(2, \mathrm{C})}^{\alpha_{1}, \lambda, ~ э к в и в а л е н т н ы ~ т о г д а ~ и ~ т о л ь к о ~}$ тогда, когда $\left(x^{\prime}, \lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)=(x, \lambda, \mu)$ или $\left(x^{\prime}, \lambda^{\prime}, \mu^{\prime}\right)=(x,-\lambda$, $-\mu-x)$.

Известные конечномерные неунитарные представления группы $S L(2$, C) могут быть реализованы в линейных пространствах
\[
\begin{array}{l}
L^{j_{1}, j_{2}} \equiv\left\{f: \overline{\mathbf{C}} \rightarrow \mathbf{C}: f(z)=\left(1+|z|^{2}\right)^{-j_{1}-j_{2}} \sum_{n=0}^{2 j_{1}} \times\right. \\
\left.\times \sum_{n=0}^{2 j_{2}} a_{n^{\prime} n} z^{n^{\prime} z^{*}}, a_{n^{\prime} n} \in \mathbf{C}\right\}, \quad j_{1}, j_{2}=0,1 / 2,1,3 / 2, \ldots .
\end{array}
\]

Они имеют вид, указанный в формуле (1.5.4) при $\lambda$ $=i\left(1+j_{1}+j_{2}\right)$ и $\mu+1 / 2 \chi=j_{1}-j_{2}$.