Теория представлений группы $S U(2)$, универсальной накрывающей для группы вращений трехмерного пространства, была известна физикам уже вскоре после возникновения кван-
1) Выбор представителей $A(p)$ в формулах (1.1.8) и (1.1.9) приводит здесь к так называемым спиральным представлениям. Если $A=$ $=\exp \left(\frac{i}{2} \alpha \frac{\mathrm{p} \sigma}{|p|}\right)$ – поворот вокруг оси импульса, то $R(p ; A)=\exp \left(\frac{i}{2} \alpha \sigma_{3}\right)-$ поворот вокруг оси $e_{3}$. Поэтому если, как обычно, выбрать базис представлений малых групп, в котором диагональны вращения вокруг оси $e_{(3)}$, то в индуцированном представлении группы $\widetilde{P}$ будут диагональными вращения вокруг оси импульса. При этом спиральность является проекцией углового момента на эту ось.
товой механики. Поэтому здесь мы будем кратки, используя ссылку на обзорную статью Баргмана [15].

Унитарное представление группы $S U(2)$ определяется в гильбертовом пространстве $\mathfrak{g}$ целых аналитических функций двух комплексных переменных со скалярным произведением
\[
\begin{array}{c}
\langle f \mid g\rangle \equiv \int_{\mathrm{c}^{2}} d \mu\left(z_{1}, z_{2}\right) f\left(z_{1}, z_{2}\right)^{*} g\left(z_{1}, z_{2}\right), \\
d \mu\left(z_{1}, z_{2}\right) \equiv \frac{1}{\pi^{2}} e^{-\left|z_{1}\right|^{2}-\left|z_{2}\right|^{2}} d x_{1} d y_{1} d x_{2} d y_{2}, \\
\left(z_{1}, z_{2}\right)=\left(x_{1}+i y_{1}, x_{2}+i y_{2}\right) \in \mathbf{C}^{2}
\end{array}
\]

следующим образом:
$S U(2)
i A \rightarrow U(A):(U(A) f)\left(z_{1}, z_{2}\right)=$
\[
=f\left(z_{1} A_{11}+z_{2} A_{21}, z_{1} A_{12}+z_{2} A_{22}\right) \text {. }
\]

Разложим пространство $\mathfrak{g}$ в прямую сумму конечномерных подпространств всех однородных полиномов степени $2 l+x$, $\mathfrak{5}_{S U(2)}^{x . l}$
\[
\mathfrak{Y}=\underset{\substack{x=0,1 \\ l=0,1}}{\oplus} \mathfrak{S}_{S U(2)}^{x, l} ; \mathfrak{S}_{S U(2)}^{x, l} \equiv\left\{f \in \mathfrak{F}: f\left(a z_{1}, a z_{2}\right)=a^{2 l+x} f\left(z_{1}, z_{2}\right)\right\} \text {. }
\]

Представление $U$ разлагается в прямую сумму неприводимых представлений
\[
S U(2)
i A \rightarrow U_{S U(2)}^{\chi, l}(A) \equiv U(A) \mid \mathfrak{F}_{S U(2)}^{x, l}, x=0,1 ; l=0,1,2, \ldots .
\]

Қаждое неприводимое унитарное представление группы $S U(2)$ эквивалентно одному из представлений $U_{S U(2)}^{\chi, l}$. При этом $U_{S U(2)}^{\chi, l}$ и $U_{S U(2)}^{\chi^{\prime}, l^{\prime}}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда $x=x^{\prime}$ и $l=l^{\prime}$.

Обычно вместо пары $(x, l)$ используют квантовое число углового момента $j=l+1 / 2 x$, принимающее целые и полуцелые значения. Мы предпочитаем указанңые обозначения, так как они позволяют явно разделить целые ( $x=0$ ) и полуцелые $(x=1)$ спиңы.