Унитарные преобразования, заданные формулами (3.1.32), (3.1.38), (3.1.44) и (3.1.51), которые приводят к редукции прямого произведения двух представлеңий $U^{1,2} \equiv U^{\rho_{1}, \rho_{1}} \otimes U^{\stackrel{\circ}{p_{2}}, \rho_{2}}$, можно свести в единое преобразование:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{A}_{1,2} \equiv \bigoplus \int_{\Omega\left(\stackrel{\circ}{\left.p_{1}\right) \times \Omega\left(\hat{p}_{2}\right)}\right.} d \omega_{\hat{p}_{1}}\left(p_{1}\right) d \omega_{p_{2}}\left(p_{2}\right)\left(\ddot{A}_{1} \oplus \ddot{A}_{2}\right) \\
\end{array}
\]

с обобщенными коэффициентами Клебша-Гордана
\[
\begin{array}{l}
\times U_{G_{1}}^{\rho_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tau_{1}^{\prime} \tilde{\sigma}, \tau_{1} \sigma_{1}} U_{G_{2}}^{\rho_{i}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tau_{2}^{\prime}, \sigma-\bar{\sigma}, \tau_{2} \sigma_{2}} . \\
\end{array}
\]

Преобразования $A(p)$ и $R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)$ определяются по формулам $(1.1 .9)$, (1.1.8) и (3.1.19), (3.1.18) соответственно; $A(p, q)$ — по формуле (3.1.21), $\left.R\left(p_{i}\right) ; A(p, q)\right)$ — по формулам (3.1.28) и (3.1.23); зависимость векторов $p$ и $q$ от $p_{1}$ и $p_{2}$ дается формулами (3.1.1) и (3.1.5). Согласно (3.1.52) и (3.1.61), множество неприводимых унитарных представлений группы $\tilde{P}$, входящих в представление $U^{1,2}$, определяется областями интегрирования $\Omega_{k}$ и $\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{\rho_{1}, \rho_{2}}$; кратность, с которой представление $U^{\stackrel{\circ}{p} \rho}$ входит в $U^{1,2}$, находится из условия
\[
\begin{array}{c}
d_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}} \equiv \operatorname{dim} \mathfrak{S}_{\rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}, \\
\mathfrak{J}_{\rho}^{\rho_{\mathrm{t}}, \rho_{2}}=\bigoplus \int_{\hat{H} \rho_{1}^{\rho_{1} \rho_{2}}} \sqrt{d \hat{v}(\sigma)} \oplus \int_{\hat{H}_{\sigma}^{\rho_{1} \sigma_{2}}} \sqrt{d \hat{v}(\bar{\sigma})} \oplus \sum_{\tau, \tau_{1}^{\prime}, \tau_{2}^{\prime}} \mathbf{C} .
\end{array}
\]

Индексы $\sigma, \bar{\sigma}, \tau, \tau_{1}^{\prime}, \tau_{2}^{\prime}$ являются параметрами вырождения. В дальнейшем для каждого из случаев I — IX (см. табл. 3.1) мы выпишем неприводимые унитарные представления, входящие в представление $U^{1,2}$, а также их кратности. Согласно формуле (3.2.2), коэффициенты Клебша — Гордана построены из матричных элементов представлений малых групп. Поэтому мы указываем формулы гл. 2, где дан явный вид этих матричных элементов. Будем использовать то обстоятельство, что индексы $x$ для появляющихся эбычно классов эквивалентности $\rho$ и $\sigma$ совпадают, и часто будем писать $\sigma=\mu$ или $\sigma=\lambda$ вместо $\sigma=(x, \mu)$ или $\sigma=(x, \lambda)$.
I. $\stackrel{\circ}{p}_{1}=m_{1} e_{(0)}, \stackrel{\circ}{p}_{2}=m_{2} e_{(0)}$. Согласно табл. 3.1, область $\Omega_{1}$ имеет вид
\[
\Omega_{\mathrm{I}}=\left\{m e_{(0)}: m \geqslant m_{1}+m_{2}\right\} .
\]

Поэтому $G_{1}=G_{2}=G(\stackrel{\circ}{p})=S U(2), G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. При $\rho_{i}=\left(x_{i}, l_{i}\right)$, $i \in\{1,2\}$ имеем
\[
\hat{H}_{1, \rho_{i}}=\left\{\left(x_{i}^{\prime}, \mu_{i}\right): x_{i}^{\prime}=x_{i},-l_{i}-x_{i} \leqslant \mu_{i} \leqslant l_{i}\right\} .
\]

Индексы $\tau$ опущены. Области $\hat{H}_{1}^{0_{1}, \rho_{2}}$ и $\hat{H}_{1, \sigma}^{\rho_{1}} \rho_{2}$, определяемые подстаңовкой (3.1.43), заданы следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}= \\
\quad=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2 \leqslant\right. \\
\left.\quad \leqslant \mu+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{\mu}}^{x_{1} l_{1} x_{2} l_{2}}= \\
\quad=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \max \left(-l_{1}-x_{1} / 2, \mu+x / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right) \leqslant\right. \\
\left.\quad \leqslant \bar{\mu}+x_{1} / 2 \leqslant \min \left(l_{1}+x_{1} / 2, \mu+x / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right)\right\} .
\end{array}
\]

Так как, кроме того,
\[
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{\mathcal{x}, \mu}=\widehat{S U(2)_{x, \mu}}=\left\{\left(x^{\prime}, l\right): x^{\prime}=x, l+x / 2 \geqslant|\mu+x / 2|\right\},
\]

то по формуле (3.1.53) получаем
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{l, x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x\right. \text {, } \\
\max \left(-l-x / 2,-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right) \leqslant \\
\left.\leqslant \mu+x / 2 \leqslant \min \left(l+x / 2, l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right)\right\} . \\
\end{array}
\]
Кратность, с которой входит представление $U^{\circ, x, 1}$ в $U^{1,2}$, согласно формуле (3.1.52), равна
\[
\begin{array}{l}
d_{x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\sum_{\mu=\max \left(-l-x_{1}-l_{1}-l_{2}-x_{2} x_{2}-x\right)}^{\min \left(l_{1} l_{1}+l_{2}+x_{1}, x_{2}\right)}\left[\min \left(l_{1}, \mu+l_{2}+x_{2}-x_{1} x_{2}\right)-\right. \\
\left.\quad-\max \left(-l_{1}-x_{1}, \mu-l_{2}-x_{1} x_{2}\right)+1\right]= \\
=\left\{\begin{array}{c}
(2 l+x)+1 \min \left(2 l_{1}+x_{1}+1,2 l_{2}+x_{2}+1\right) \\
\text { при } l+x / 2 \leqslant\left|l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2\right|, \\
\left(2 l_{1}+x_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+x_{2}+1\right)- \\
-\left(l+x / 2-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right)\left(l+x / 2-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-1\right) \\
\text { при|l- } l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2 \mid \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{2}+x_{2} / 2+l_{1}+x_{1} / 2, \\
\left(2 l_{1}+x_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+x_{2}+1\right) \text { при } l+x / 2 \geqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Коэффициенты Клебша-Гордана имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U(2)}^{\chi_{1} l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\bar{\mu} \mu_{1}} U_{S U(2)}^{x_{2}, l_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]

а матричные элементы группы $S U(2)$ выписаны в формуле $(2.2 .4)$.
II. $\stackrel{\circ}{\stackrel{p}{p}_{1}=m_{1} e_{(0)}, \stackrel{\circ}{p_{2}}=e_{(0)}+e_{(3)}}$ Область $\Omega_{\mathrm{II}}$ по табл. 3.1 имеет вид
\[
\Omega_{\mathrm{II}}=\left\{m e_{(0)}: m>m_{1}\right\} .
\]

Поэтому $\quad G_{1}=G(\stackrel{\circ}{p})=S U(2), \quad G_{2}=E(2), G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1} . \quad$ Классу $\rho_{1}=\left(x_{1}, l_{1}\right)$ отвечает
\[
\hat{H}_{1, p_{1}}=\left\{\left(x_{1}^{\prime}, \mu_{1}\right): x_{1}^{\prime}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \mu_{1} \leqslant l_{1}\right\} .
\]

Что касается представлений группы $E(2)$,то мы различаем два случая: а) $\rho_{2}=\left(x_{2}, \mu_{0}\right)$ и $\widehat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}, \mu_{0}\right)\right\}$ для одномерных представлений и
б) $\rho_{2}=\left(x_{2}, \rho\right)$ и $\hat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2},-\infty<\mu_{2}<\infty\right\}$
для бесконечномерных представлений. Подстановкой получаем области
a)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}= \\
=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, \mu_{0}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2 \leqslant\right. \\
\left.\quad \leqslant \mu+x / 2 \leqslant \mu_{0}+x_{2} / 2+l_{1}+x_{1} / 2\right\}, \\
\left.\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\{\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \bar{\mu}=\mu-\mu_{0}-x_{1} x_{2}\right\},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} 0}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} 0}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \bar{\mu} \leqslant l_{1}\right\} .
\end{array}
\]

Так как
\[
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{x, \mu}=S \widehat{U(2)_{x, \mu}}=\left\{\left(x^{\prime}, l\right): x^{\prime}=x, l \geqslant|\mu+x / 2|-x / 2\right\},
\]

то соотношение $(3.1 .53$ ) дает
a)
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left.l \geqslant \max \left(0,\left|\mu_{0}+x_{2} / 2\right|-l_{1}-x_{1} / 2-x / 2\right)\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,\right. \\
\max \left(-l-x / 2, \mu_{0}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2\right) \leqslant \\
\left.\leqslant \mu+x / 2 \leqslant \min \left(l+x / 2, \mu_{0}+x_{2} / 2+l_{1}+x_{1} / 2\right)\right\}, \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right\}: x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\} . \\
\end{array}
\]

Согласно формуле (3.1.52), кратность представления равна
a) $d_{x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=$
\[
=\left\{\begin{array}{l}
2 l+x+1 \text { для } x / 2 \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2-\left|\mu_{0}+x_{2} / 2\right|, \\
l+x / 2+l_{1}+x_{1} / 2-\left|\mu_{0}+x_{2} / 2\right|+1 \text { для } l_{1}+x_{1} / 2- \\
-\left|\mu_{0}+x_{2} / 2\right| \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+\left|\mu_{0}+x_{2} / 2\right|, \\
2 l_{1}+x_{1}+1 \text { для } l+x / 2 \geqslant l_{1}+x_{1} / 2+\left|\mu_{0}+x_{2} / 2\right| ;
\end{array}\right.
\]
б) $d_{x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left(2 l_{1}+x_{1}+1\right)(2 l+x+1)$.
Коэффициенты Клебша — Гордана имеют вид
a)
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu+\mu_{0}-x_{1} x_{2}, \mu_{1}} \times \\
\times U_{E}^{0, x_{2}, \mu_{0}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \text {, } \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tilde{\mu} \mu_{1}} U_{E}^{\rho_{2}, \chi_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\tilde{\mu}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]

причем матричные элементы группы $S U(2)$ даны в формуле (2.2.4), а матричные элементы группы $E(2)$ — в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
III. $\stackrel{\circ}{p_{1}}=m_{1} e_{(0)}, \stackrel{\circ}{p_{2}}=n_{2} e_{(3)}$. Область $\Omega_{\text {III }}$, согласно табл. 3.1, имеет вид
\[
\Omega_{\mathrm{III}}=\left\{m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{n e_{(3)}: n>0\right\} \cup\left\{e_{(0)}+e_{(3)}\right\} .
\]

Напомним, что множества $\left\{ \pm e_{(0)}, \pm e_{(3)}\right\}$ и $\{0\} \subset \Omega_{k}$ в дальнейшем можно не рассматривать, так как в интегральном разложении (3.1.60) пространства $\widehat{\mathfrak{F}}^{1,2}$ они имеют нулевую меру.
III. 1. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{m e_{(0)}: m>0\right\}$. При этсм $G_{1}=G(p) \doteq S U(2), G_{2}=$ $=S U(1,1), G(\stackrel{\circ}{\circ}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Для класса $\rho_{1}=\left(x_{1}, l_{1}\right)$ имеем $\hat{H}_{1, \rho_{1}}=$ $=\left\{\left(x_{1}^{\prime}, \mu_{1}\right): x_{1}^{\prime}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \mu_{1} \leqslant l_{1}\right\}$. Что касается представлений группы $S U(1,1)$, то мы различаем 2 случая:
а) $\rho_{2}=\left(x_{2}, l_{2}, 0\right), \quad \hat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2},-\infty<\mu_{2}<\infty\right\}$

для основной и дополнительной серий и
б) $\rho_{2}=\left(x_{2}, l_{2}, \pm\right)$,
\[
\hat{H}_{1,0_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2}, \pm\left(\mu_{2}+1 / 2 x_{2}\right) \geqslant l_{2}+1 / 2 x_{2}+1\right\}-
\]

для дискретной серии. Подстановкой (3.1.43) получаем области
a)
\[
\begin{array}{ll}
& \hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
& \hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{4} 0}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \bar{\mu} \leqslant l_{1}\right\}, \\
\text { б) } & \hat{H}_{1}^{x_{1}, l_{1}, x_{1} l_{2} \pm}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
& \left. \pm(\mu+x / 2) \geqslant l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1\right\}, \\
& \hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-l_{1}-x_{1} / 2 \leqslant \pm\left(\bar{\mu}+x_{1} / 2\right) \leqslant\right. \\
& \left.\leqslant \min \left(l_{1}+x_{1} / 2, \pm(\mu+x / 2)-l_{2}-x_{2} / 2-1\right)\right\} .
\end{array}
\]
Taк как
\[
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{x, \mu}=S \widehat{U(2)_{x, \mu}}=\left\{\left(x^{\prime}, l\right): x^{\prime}=x, l \geqslant|\mu+x / 2|-x / 20\right\},
\]

то из формулы (3.1.53) получаем
a) $\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}$,
б) $\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{1} l_{2} \pm}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}\right.$,
\[
\left.l \geqslant \max \left(0, l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1\right)\right\},
\]

а область $\hat{H}_{1, \rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ имеет вид
a) $\hat{H}_{1, x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{3} 0}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\}$,
б) $\hat{H}_{1, x l}^{x_{1}, l_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \max (-l-x / 2\right.$,
\[
\left.\left.l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1\right) \leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant l+x / 2\right\} .
\]

Согласно формуле (3.1.52), кратность представления равна
a) $d_{x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left(2 l_{1}+x_{1}+1\right)(2 l+x+1)$
б)
\[
d_{x l}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\begin{array}{c}
(2 l+x+1)\left(l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right) \text { для } \\
x / 2 \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-1, \\
\frac{1}{2}\left(l+x / 2+l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right) \times \\
\times\left(l+x / 2+l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2+1\right) \\
\text { для } l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-1 \leqslant l+x / 2 \leqslant \\
\left(2 l_{1}+x_{1}+1\right)\left(l+x / 2-x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+1,\right. \\
l+x / 2 \geqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+1 .
\end{array}\right.
\]

В обоих случаях коэффициенты Клебша-Гордана имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p} x l \\
p \mu^{\prime}
\end{array} \mu \bar{\mu}\right| \begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p_{1} x_{1} l_{1}} ; \begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p}_{2} x_{2} l_{2} \eta_{2} \\
p_{1} \mu_{1}
\end{array} p_{2} \mu_{2}
\end{array}= \\
=U_{S U(2)}^{\chi_{1} l}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\bar{\mu} \mu_{1}} \times \\
\quad \times U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}},
\end{array}
\]

причем матричные элементы даңы в формуле (2.2.4) для группы $S U(2)$ и в формуле (2.3.15) — для группы $S U(1,1)$.
III. 2. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{n e_{(3)}: n>0\right\} . \quad$ Здесь $\quad G_{1}=S U(2), \quad G_{2}=G(\stackrel{\circ}{p})=$ $=S U(1,1), G(\stackrel{\circ}{q} q)=H_{1}$. Для класса $\rho_{1}=\left(\chi_{1}, l_{1}\right)$ получаем
\[
\hat{H}_{1, \rho_{1}}=\left\{\left(x_{1}^{\prime}, \mu_{1}\right): x_{1}^{\prime}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \mu_{1} \leqslant l_{1}\right\} .
\]

Для представлений группы $S U(1,1)$ снова имеем два случая:
а) $\quad \rho_{2}=\left(x_{2}, l_{2}, 0\right) ; \hat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2},-\infty<\mu_{2}<\infty\right\}$

для главной и дополнительной серий и
\[
\begin{aligned}
\rho_{2}= & \left(x_{2}, l_{2}, \pm\right) ; \hat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x,\right. \\
& \left. \pm\left(\mu_{2}+\frac{1}{2} x_{2}\right) \geqslant l_{2}+\frac{1}{2} x_{2}+1\right\}
\end{aligned}
\]

для дискретной серии. Подстановка (3.1.43) дает
a)
\[
\widehat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\},
\]
\[
\hat{H}_{1, x_{\mu}}^{x_{1}, l_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{(\bar{\chi}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \bar{\mu} \leqslant l_{1}\right\},
\]
б)
\[
\begin{aligned}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \pm} & =\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
& \left. \pm(\mu+x / 2) \geqslant l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1\right\},
\end{aligned}
\]
$\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{1} l_{2} \pm}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-l_{1}-x_{1} / 2 \leqslant\right.$
\[
\left.\leqslant \pm\left(\bar{\mu}+x_{1} / 2\right) \leqslant \min \left(l_{1}+x_{1} / 2, \pm(\mu+x / 2)-l_{2}-x_{2} / 2-1\right)\right\} .
\]

Так как
\[
\begin{aligned}
\left.\widehat{G}(p)_{x, \mu}=S \widehat{U(1}, 1\right)_{x, \mu}= \\
=\left\{\left(x^{\prime}, l, 0\right): x^{\prime}=x, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{\left(x^{\prime}, l, \eta\right): x^{\prime}=x, 0 \leqslant l \leqslant|\mu+x / 2|-x / 2-1,\right. \\
\quad \eta=\operatorname{sign}(\mu+x / 2)\},
\end{aligned}
\]

то из формулы (3.1.53) получаем в обоих случаях
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}= \\
\quad=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
\left.\quad U\{x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} U \\
\quad U\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} .
\end{array}
\]

Здесь дополнительная серия опущена, так как она имеет нулевую меру Планшереля на группе $S U(1,1)$. Область $\widehat{H}_{1, \rho}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$
имеет вид
a)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1, x l \eta}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} 0}= \\
=\left\{\begin{array}{l}
\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-\infty<\mu<\infty\right\} \quad \text { при } \quad \eta=0, \\
\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \eta(\mu+x / 2) \geqslant l+x / 2+1\right\} \text { при } \eta= \pm,
\end{array}\right.
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \pm} \\
=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant\right. \\
\left.\geqslant \max \left(l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1, l+x / 2+1\right)\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \mp}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, l_{2}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2+1 \leqslant\right. \\
\leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant-l-x / 2-1\} .
\end{array}
\]

Согласно формуле (3.1.52), кратности представлений равны
a)
\[
d_{x l \eta}^{x_{1} l_{1}} x_{2} l_{2} 0=\mathbf{N}_{0},
\]
\[
\begin{array}{r}
=\frac{1}{2}\left(l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-l-x / 2-1\right)\left(l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-\right. \\
-l-x / 2) \text { для } x / 2 \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-2 .
\end{array}
\]

В обоих случаях коэффициенты Клебша-Гордана имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\bar{\mu} \mu_{1}} U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Матричные элементы группы $S U(2)$ даны в формуле (2.2.4), а элементы группы $S U(1,1)$ — в формуле (2.3.15).
IV. $\stackrel{\circ}{p_{1}}=m_{1} e_{(0)}, \stackrel{\circ}{p_{2}}=-e_{(0)}-e_{(3)}$. В этом случае, согласно табл. 3.1, имеем область
\[
\Omega_{\mathrm{IV}}=\left\{m e_{(0)}: 0<m<m_{1}\right\} \cup\left\{n e_{(3)}: n>0\right\} \cup\left\{e_{(0)}+e_{(3)}\right\} .
\]

\vdots$
IV. 1. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{m e_{(0)}: 0<m<m_{1}\right\}$. При этом $G_{1}=G(\stackrel{\circ}{p})=S U(2)$, и мы можем использовать приведенные там результаты.
IV.2. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{n e_{(3)}: n>0\right\}$. Здесь $G_{1}=S U(2), G_{2}=E(2), G(p)=$ $=S U(1,1), G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Для класса $\rho_{1}=\left(x_{1}, l_{1}\right)$ имеем $\hat{H}_{\rho_{1}}=$ $=\left\{\left(x_{1}^{\prime}, \mu_{1}\right): x_{1}^{\prime}=x_{1}, \quad-l_{1}-x_{1} \leqslant \mu_{1} \leqslant l_{1}\right\}$. Для представлениї группы $E(2)$ различаем два случая: а) $\rho_{2}=\left(\kappa_{2}, \mu_{0}\right) ; \hat{H}_{1, \rho_{2}}=$ $=\left\{\left(x_{2}, \mu_{0}\right)\right\}$ для одномерных представлений и б) $\rho_{2}=\left(x_{2}, \rho\right)$;
\[
\hat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{1}^{\prime}=x_{2}, \quad-\infty \leqslant \mu_{2} \leqslant \infty\right\}
\]

для бесконечномерных представлений. Из подстановки следует
a)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, \mu_{0}+x_{2} / 2-l_{1}-\right. \\
\left.-x_{1} / 2 \leqslant \mu+x / 2 \leqslant \mu_{0}+x_{2} / 2+l_{1}+x_{1} / 2\right\}, \\
\hat{H}_{1, \gamma \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\left\{\left(x_{1}, \mu-\mu_{0}-x_{1} x_{2}\right)\right\},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, \times \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-l_{1}-x_{1} \leqslant \bar{\mu} \leqslant l_{1}\right\} ;
\end{array}
\]

Так как
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{x, \mu}=S \widehat{U(1,1)_{x, \mu}=} \\
\quad=\left\{\left(x^{\prime}, l, 0\right): x^{\prime}=x, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
\quad U\left\{\left(x^{\prime}, l, \eta\right): x^{\prime}=x, 0 \leqslant l \leqslant|\mu+x / 2|-x / 2-1,\right. \\
\eta=\operatorname{sign}(\mu+x / 2)\},
\end{array}
\]

то из формулы (3.1.53) получаем
a)
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(p))^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}= \\
=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p,\right. \\
p \geqslant 0\} \cup\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, x / 2 \leqslant l+x / 2 \leqslant\right. \\
\left.\leqslant l_{1}+x_{1} / 2+\mu_{0}+x_{2} / 2\right\} \cup\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left.x / 2 \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2-\mu_{0}-x_{2} / 2\right\},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \mu_{0}+x_{2} / 2-l_{1}-x_{1} / 2 \leqslant\right. \\
\left.\leqslant \mu+x / 2 \leqslant \mu_{0}+x_{2} / 2+l_{1}+x_{1} / 2\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{n}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \max (l+x / 2+1,\right. \\
\left. \pm\left(\mu_{0}+x_{2} / 2\right)-l_{1}-x_{1} / 2\right) \leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant \\
\left.\leqslant \pm\left(\mu_{0}+x_{2} / 2\right)+l_{1}+x_{2} / 2\right\},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(p)^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}= \\
=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
\cup\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} \cup\{(x, l,-): x= \\
\left.=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l+x / 2+1\right\} .
\end{array}
\]

Кратности представлений, согласно формуле (3.1.52), равны
a)
\[
\begin{array}{c}
d_{x l_{0}}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=2 l_{1}+x_{1}+1, \\
d_{x l \pm}^{x_{1} l_{1}, x_{2} \mu_{0}}=\left\{\begin{array}{c}
2 l_{1}+x_{1}+1 \text { для } x / 2 \leqslant l+x / 2 \leqslant-l_{1}-x_{1} / 2 \pm\left(\mu_{0}+x_{2} / 2\right)-1, \\
\pm\left(\mu_{0}+x_{2} / 2\right)+l_{1}+x_{1} / 2-l-x / 2 \text { для } \\
\pm\left(\mu_{0}+x_{2} / 2\right)-l_{1}-x_{1} / 2-1 \leqslant l+x / 2 \leqslant \\
\leqslant \pm\left(\mu_{0}+x_{2} / 2\right)+l_{1}+x_{1} / 2-1 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
б) $d_{x \ln }^{x_{1} l_{1}, x_{2} \rho}=\mathbf{N}_{0}$.

Коэффициенты Клебша — Гордана имеют вид
a)
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l_{1},}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\mu_{0}-\chi_{1} x_{2}, \mu_{1}} \times \\
\times U_{E(2)}^{0, \chi_{2}, \mu_{0}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right), \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U}^{\chi_{1}, l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tilde{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{E(2)}^{\rho, \varkappa_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\tilde{\mu}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]
Матричные элемеңты для группы $S U(1,1)$ даны в формуле (2.3.15), для группы $S U(2)$ — в формуле (2.2.4) и для группы $E(2)$ — в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
V. $\stackrel{\circ}{p_{1}}=m_{1} e_{(0)}, \stackrel{\circ}{p_{2}}=-m_{2} e_{(0)}$. Область $\Omega_{V}$, согласно табл. 3.1, имеет вид
V. 1. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{m e_{(0)}: 0<m<m_{1}-m_{2}\right\}$. Здесь $G_{1}=G_{2}=G(\stackrel{\circ}{p})=$ $=S U(2), G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$, и можно использовать результаты для случая I.
\[
\text { V.2. } \stackrel{\circ}{p} \in\left\{n e_{3}: n>0\right\} . \text { Здесь } G_{1}=G_{2}=S U(2), G(\stackrel{\circ}{p})=S U(1,1) \text {, }
\]
$G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Для класса $\rho_{i}=\left(x_{i}, l_{i}\right), i \in(1,2)$, имеем
\[
\hat{H}_{1, \rho_{i}}=\left\{\left(x_{i}^{\prime}, \mu_{i}\right): x_{i}^{\prime}=x_{i},-l_{i}-x_{i} \leqslant \mu_{i} \leqslant l_{i}\right\} .
\]

Подстановка (3.1.43) дает
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left.\quad-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2 \leqslant \mu+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{\mu}}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},\right. \\
\quad \max \left(-l_{1}-x_{1} / 2, \mu+x / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right) \leqslant \\
\left.\quad \leqslant \bar{\mu}+x_{1} / 2 \leqslant \min \left(l_{1}+x_{1} / 2, \mu+x / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right)\right\} .
\end{array}
\]

Теперь мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{x, \mu}= S \widehat{U(1,1)_{x, \mu}}= \\
=\left\{\left(x^{\prime}, l, 0\right): x^{\prime}=x, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{\left(x^{\prime}, l, \eta\right): x^{\prime}=x, 0 \leqslant l \leqslant|\mu+x / 2|-x / 2-1,\right. \\
\eta=\operatorname{sign}(\mu+x / 2)\},
\end{array}
\]
и потому, согласно формуле (3.1.53),
\[
\begin{array}{c}
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\} \cup\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left.0 \leqslant l \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2-x / 2-1\right\} \cup \\
\cup\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left.0 \leqslant l \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2-x / 2-1\right\},
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=\right. & x,-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2 \leqslant \\
& \left.\leqslant \mu+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right\},
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, l+x / 2\right. & +1 \leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant \\
& \left.\leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2\right\} .
\end{aligned}
\]

Для кратностей из формулы (3.1.52) имеем
\[
\begin{array}{l}
d_{x l 0}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}=\left(2 l_{1}+x_{1}+1\right)\left(2 l_{2}+x_{2}+1\right), \\
d_{x l \pm}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2}}= \\
=\left\{\begin{array}{l}
\left(2 l_{0}+x_{0}+1\right)\left(l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2-l-x / 2-l_{0}-x_{0} / 2\right), \\
2 l_{0}+x_{0} \equiv \min \left(2 l_{1}+x_{1}, 2 l_{2}+x_{2}\right) \\
\text { для } 0 \leqslant l \leqslant\left|l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right|-x / 2, \\
\frac{1}{2}\left(l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2-l-x / 2\right)\left(l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2-l-x / 2+1\right) \\
\text { для }\left|l_{1}+x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right| \leqslant l+x / 2 \leqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2-1 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Коэффициенты Клебша — Гордана равны
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(1,1)}^{x_{1} l^{\prime}, \eta}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\bar{\mu} \mu} \times \\
\times U_{S U(2)}^{\varkappa_{2} l_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]

где матричные элементы для группы $S U(1,1)$ даны в формуле (2.3.15), а для группы $S U(2)$ — в формуле (2.2.4).
VI. $\stackrel{\circ}{p_{1}}=e_{(0)}+e_{(3)}, \quad p_{2}=e_{(0)}+e_{(3)}$. Согласно табл. 3.1, область $\Omega_{\mathrm{VI}}$ имеет вид
\[
\Omega_{\mathrm{VI}}=\left\{m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{e_{(0)}+e_{(3)}\right\}
\]
Поэтому $G_{1}=G_{2}=E(2), G(\stackrel{\circ}{p})=S U(2), G(\stackrel{\mathrm{c}}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Различаем три случая: а) $\rho_{i}=\left(x_{i}, \mu_{i}\right) ; \hat{H}_{1, \rho_{i}}=\left\{\left(x_{i}, \mu_{i}\right)\right\}, i \in\{1,2\}$, для двух одномерных представлений;
\[
\begin{array}{c}
\rho_{1}=\left(x_{1}, \mu_{1}\right), \quad \rho_{2}=\left(x_{2}, \rho_{2}\right) ; \quad \hat{H}_{1, \rho_{1}}=\left\{\left(x_{1}, \mu_{1}\right)\right\}, \\
\hat{H}_{1, \rho_{2}}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2}, \quad-\infty<\mu_{2}<\infty\right\},
\end{array}
\]

для произведения одномерного и бесконечномерного представлений;
в) $\rho_{i}=\left(x_{i}, \rho_{i}\right): \hat{H}_{1, \rho_{i}}=\left\{\left(x_{i}^{\prime}, \mu_{i}\right): x_{i}^{\prime}=x_{i},-\infty<\mu_{i}<\infty\right\}$, $i \in\{1,2\}$,

для двух бесконечномерных представлеңий группы $E(2)$. Из подстановки (3.1.43) следует
a) $\hat{H}_{1}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}=$
\[
\begin{array}{l}
=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, \mu=\mu_{1}+\mu_{2}+x_{1} x_{2}\right\}, \\
\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \bar{\mu}=\mu_{1}\right\},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{\mu}}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \bar{\mu}=\mu_{1}\right\},
\end{array}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x, \mu}^{x_{1}, x_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-\infty<\bar{\mu}<\infty\right\} .
\end{array}
\]

Так как очевидно, что
\[
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{x, \mu}=S \widehat{U(2)_{x, \mu}}=\left\{\left(x^{\prime}, l\right): x^{\prime}=x, l \geqslant|\mu+x / 2|-x / 2\right\},
\]

то, согласно формуле (3.1.53), имеем
a)
\[
\begin{aligned}
\hat{G}(p)^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}=\{(x, l): & x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, \\
& \left.l+x / 2 \geqslant\left|\mu_{1}+x_{1} / 2+\mu_{2}+x_{2} / 2\right|\right\},
\end{aligned}
\]
\[
\hat{H}_{1, \varkappa i}^{x_{1} \mu_{1}, x_{1} \mu_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \mu+x / 2=\mu_{1}+x_{1} / 2+\mu_{2}+x_{2} / 2\right\},
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(p)^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x i}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\} .
\end{array}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{ })^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{1} l}^{x_{1} \rho_{2} \alpha_{2} \rho_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\} .
\end{array}
\]
По формуле (3.1.52) кратности равны
a)
\[
\begin{array}{l}
d_{x l}^{\chi_{1} \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}=1, \\
d_{x l}^{\chi_{1} \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=2 l+x+1, \\
d_{x l}^{\chi_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\mathbf{s}_{0} .
\end{array}
\]
B)

Коэффициенты Клебша — Гордана имеют вид
а) $\left\langle\begin{array}{l}\stackrel{\circ}{p} x l \\ p \mu\end{array} \left\lvert\, \begin{array}{l}\stackrel{\circ}{p_{1}} x_{1} \mu_{1} \\ p_{1}\end{array}\right. ; \begin{array}{l}\stackrel{\circ}{p_{2}} x_{2} \mu_{2} \\ p_{2}\end{array}\right\rangle=$
\[
=U_{S U(2)}^{\chi, l}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu_{,} \mu_{1}+\mu_{2}+x_{1} x_{2}} \times
\]
\[
\times U_{E(2)}^{0, \chi_{1}, \mu_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) U_{E(2)}^{0, \chi_{2}, \mu_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \text {, }
\]
$=U_{S U(2)}^{\chi, l_{1}}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E(2)}^{0, \chi_{1}, \mu_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \times$
$\times U_{E(2)}^{\rho_{2}, \mathcal{R}_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\mu_{1}, \mu_{2}}$,
\[
\begin{aligned}
=U_{S U(2)}^{x_{1} l}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E}^{\left.\rho_{1}, x_{1}\right)}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\bar{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{E}^{\left.\rho_{2}, x_{2}\right)}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}},
\end{aligned}
\]

причем матричные элементы группы $S U(2)$ даны в формуле (2.2.4), а элементы группы $E(2)$ — в формулах (1.4.3) и (2.4.4).
VII. $p_{1}=e_{(0)}+e_{(3)}, \quad \stackrel{\circ}{p_{2}}=n_{2} e_{(3)}$. Этот случай, согласно табл. 3.1, характеризуется областью
\[
\Omega_{\mathrm{VII}}=\left\{m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{n e_{(3)}: n>0\right\} \cup\left\{e_{(0)}+e_{(3)}\right\} .
\]
VII. 1. $\stackrel{\circ}{p}_{1} \in\left\{m e_{(0)}: m>0\right\}$. Здесь $G_{1}=E(2), G_{2}=S U(1,1)$, $G(\stackrel{\circ}{p})=S U(2), G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Различаем два случая: а) $\rho_{1}=\left(x_{1}, \mu_{1}\right)$; $\hat{H}_{1, \rho_{1}}=\left\{\left(x_{1}, \mu_{1}\right)\right\}$ для одномерного представлеңия группы $E(2)$ и
б) $\quad \rho_{1}=\left(x_{1}, \rho_{1}\right) ; \quad \hat{H}_{1 \rho_{1}}=\left\{\left(x_{1}^{\prime}, \mu_{1}\right): x_{1}^{\prime}=x_{1},-\infty<\mu_{1}<\infty\right\}$

для бесконечномерных представлений. Для $\rho_{2}=\left(x_{2}, l_{2}, \eta_{2}\right)$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\hat{H}_{1, x_{2} l_{2} 0}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2},-\infty<\mu_{2}<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x_{2}^{\prime}, \mu_{2}\right): x_{2}^{\prime}=x_{2}, \pm\left(\mu_{2}+x_{2} / 2\right) \geqslant l_{2}+x_{2} / 2+1\right\},
\end{array}
\]

и поэтому подстановка (3.1.43) дает
a)
\[
\begin{aligned}
\hat{H}_{1}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} 0}= & \left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} \pm}= & \left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
& \left. \pm(\mu+x / 2) \geqslant l_{2}+x_{2} / 2 \pm\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)+1\right\}, \\
\hat{H}_{1, \varkappa \mu}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}= & \left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \bar{\mu}=\mu_{1}\right\},
\end{aligned}
\]
б)
\[
\begin{aligned}
\hat{H}_{1}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}} & =\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{1}}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} 0} & =\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-\infty<\bar{\mu}<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} \pm} & =\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},\right. \\
-\infty & \left.< \pm\left(\bar{\mu}+x_{1} / 2\right) \leqslant \pm(\mu+x / 2)-l_{2}-x_{2} / 2-1\right\} .
\end{aligned}
\]

Легко видеть, что
\[
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})_{x, \mu}=S \widehat{U(2)_{x, \mu}}=\left\{(x, l): x^{\prime}=x, l \geqslant|\mu+x / 2|-x / 2\right\}
\]

и потому, согласно формуле (3.1.53), имеем
a)
\[
\begin{array}{r}
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{\left(x^{\prime}, l\right): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\}, \\
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left.l \geqslant \max \left(0, l_{2}+x_{2} / 2 \pm\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)-x / 2+1\right)\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \max \left(-l-x / 2, l_{2}+x_{2} / 2 \pm\right.\right. \\
\left.\left. \pm\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)+1\right) \leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant l+x / 2\right\},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{c}
\hat{G}(\dot{p})^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\} .
\end{array}
\]
Из формулы (3.1.52) находим кратности
a)
\[
d_{x l}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{i} l_{i} 0}=2 l+x+1,
\]
\[
\begin{array}{l}
d_{x l}^{\chi_{1} \mu_{1}, x_{l} l_{2} \pm}= \\
=\left\{\begin{array}{c}
2 l+x+1 \\
\text { для } 0 \leqslant l \leqslant-l_{2}-x_{2} / 2 \mp\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)-x / 2-1, \\
l+x / 2-l_{2}-x_{2} / 2 \mp\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right) \\
\text { для } l+x / 2 \geqslant-l_{2}-x_{2} / 2 \mp\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)-1,
\end{array}\right.
\end{array}
\]
\[
d_{x l}^{\chi_{1} p_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\mathbf{s}_{0} .
\]

Қоэффициенты Клебша — Гордана равны
\[
\begin{array}{r}
=U_{S U(2)}^{\alpha, l}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E}^{0, \chi_{1}, \mu_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\alpha_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\mu_{1}, \mu_{2}},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p} x l \\
p \mu^{\prime}
\end{array} ; \mu \bar{\mu} \left\lvert\, \begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p_{1} x_{1} \rho_{1}} \\
p_{1} \mu_{1}
\end{array}\right. ; \begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{2}_{2} \chi_{2} l_{2} \eta_{2} \\
p_{2} \mu_{2}
\end{array}\right\rangle= \\
=U_{S U(2)}^{\chi, l}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E(2)}^{\sigma_{1}, \chi_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tilde{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, L_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\tilde{\mu}, \mu_{2}} . \\
\end{array}
\]

Матричные элементы группы $S U(2)$ даны в формуле (2.2.4), группы $E(2)$ — в формулах (1.4.13) и (2.4.4), группы $S U(1,1)$ в формуле (2.3.15).
VII.2. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{\right.$ ne $\left._{(3)}: n>0\right\}$. Здесь $G_{1}=E(2), G_{2}=G(\stackrel{\circ}{p})=S U(1,1)$, $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Множества $\hat{H}_{1}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ и $\hat{H}_{1, \varkappa, \mu}^{\rho_{1}, \rho_{1}}$ те же, что в случае VII. 1 [см. формулы (3.2.48)]. Однако
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(p)_{x, \mu}=S \widehat{U}(1,1)_{x, \mu}= \\
=\left\{\left(x^{\prime}, l, 0\right): x^{\prime}=x, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{\left(x^{\prime}, l, \eta\right): x^{\prime}=x, \quad 0 \leqslant l \leqslant|\mu+x / 2|-x / 2-1,\right. \\
\eta=\operatorname{sign}(\mu+x / 2)\},
\end{array}
\]

так что из формулы (3.1.53) следует
a)
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} 0}= \\
=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{(x, l,+): x=x_{1}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\widehat{G}(p)^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} \pm}= \\
=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} \cup \\
U\left\{(x, l, \pm): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} U \\
\mathrm{U}\left\{(x, l, \mp): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, 0 \leqslant l \leqslant-l_{2}-x_{2} / 2 \mp\right. \\
\left.\mp\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)-2\right\} \text {, } \\
\hat{H}_{1, x, 0}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \quad-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l_{2}+x_{2} / 2 \pm\right. \\
\left. \pm\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)+1\right\} \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l+x / 2+1\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} \mu_{l}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant \max (l+x / 2+1 \text {, }\right. \\
\left.\left.l_{2}+x_{2} / 2+1 \pm\left(\mu_{1}+x_{2} / 2\right)\right)\right\} \text {, } \\
\hat{H}_{1, x l
eq}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, l_{2}+x_{2} / 2+1 \pm\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right) \leqslant\right. \\
\leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant-l-x / 2-1\}, \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G} .(p)^{x_{i} p_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\} U \\
U\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1, x 0_{2}}^{x_{1}, \rho_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \quad-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l+x / 2+1\right\} .
\end{array}
\]

Согласно формуле (3.1.52), кратности равны
a)
\[
\begin{array}{l}
d_{\varkappa i \eta}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}= \\
=\left\{\begin{array}{l}
-l-x / 2-l_{2}-x_{2} / 2 \mp\left(\mu_{1}+x_{1} / 2\right)-1 \text { для } \eta_{2}=-\eta= \pm, \\
\aleph_{0} \quad \text { в других случаях, } \\
d_{x l \eta}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\aleph_{0} .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
б)
Коэффициенты Клебша — Гордана имеют вид
a)
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(1,1)}^{\chi, l, \eta}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E(2)}^{0, x_{1}, \mu_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\mu_{1}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(1,1)}^{\chi, l, \eta}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E(2)}^{\rho_{1}, x_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tilde{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\chi_{3}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\tilde{\mu}, \mu_{1}} . \\
\end{array}
\]

Матричные элементы группы $S U(1,1)$ даны в формуле (2.3.15), группы $E(2)$ — в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
VIII. $\stackrel{\circ}{p_{1}}=e_{(0)}+e_{(3)}, \stackrel{\circ}{p_{2}}=-e_{(0)}-e_{(3)}$. Согласно табл. 3.1, область $\Omega_{\mathrm{VIII}}$ имеет вид
\[
\Omega_{\mathrm{VIII}}=\left\{n e_{(3)}: n>0\right\} \cup\{0\} .
\]

При этом $G_{1}=G_{2}=E(2), \quad G(\stackrel{\circ}{p})=S U(1,1), \quad C(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Мы можем воспользоваться классификацией вариантов „а“, „б“ лах (3.2.42). Используя формулу (3.2.53), получаем из формулы (3.1.53)
a)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}\left({ }^{\circ}\right)^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}= \\
=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{(x, l, \eta): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, 0 \leqslant l \leqslant\right. \\
\leqslant\left|\mu_{1}+x_{1} / 2+\mu_{2}+x_{2} / 2\right|-x / 2-1 \text {, } \\
\left.\eta=\operatorname{sign}\left(\mu_{1}+x_{1} / 2+\mu_{2}+x_{2} / 2\right)\right\} \text {, } \\
\hat{H}_{1, x, \eta}^{x_{1}, \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \mu+x / 2=\mu_{1}+x_{1} / 2+\mu_{2}+x_{2} / 2\right\}, \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}= \\
=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
\mathrm{U}\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} \mathrm{U} \\
U\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\hat{H}_{1, x / 0}^{\chi_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l \pm}^{\chi_{1} \mu_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\hat{H}_{1, x l \pm}^{\chi_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}= \\
=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l+x / 2+1\right\} . \\
\end{array}
\]
Согласно формуле (3.1.52), кратности равны
a)
\[
\begin{array}{l}
d_{\chi l \eta}^{\chi_{1} \mu_{1}, x_{2} \mu_{2}}=1, \\
d_{x l \eta}^{\chi_{1} \mu_{1}, x_{1} \rho_{2}}=\mathbf{N}_{0}, \\
d_{\chi \eta \eta}^{x_{1} \rho_{1}, x_{2} \rho_{2}}=\mathbf{N}_{0} .
\end{array}
\]
B)

Коэффициенты Клебша-Гордана равны
a)
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(1,1)}^{x_{1}, \ldots}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu, \mu_{1}+\mu_{2}+x_{1} x_{2}} \times \\
\times U_{E(2)}^{0, \chi_{1}, \mu_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \times \\
\times U_{E(2)}^{0, \mu_{2}, \mu_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right), \\
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(1,1)}^{\chi_{i} l, \eta}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E(2)}^{0, x_{1}, \mu_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right) \times \\
\times U_{E(2)}^{\rho_{2}, \chi_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\mu_{1}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p} x l \eta \\
p \mu^{\prime}
\end{array} ; \bar{\mu} \left\lvert\, \begin{array}{ll}
\stackrel{\circ}{p_{1} x_{1} \rho_{1}} \\
p_{1} \mu_{1}
\end{array}\right. ; \begin{array}{l}
p_{2} x_{2} \rho_{2} \\
p_{2} \mu_{2}
\end{array}\right\rangle= \\
=U_{S U(1,1)}^{\alpha_{l},{ }^{2}{ }_{1}}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{E(2)}^{\rho_{1}, \chi_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tilde{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{E(2)}^{0_{2}, \boldsymbol{x}_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\tilde{\mu}, \mu_{2}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Матричные элементы группы $S U(1,1)$ даны в формуле (2.3.15), группы $E(2)$ — в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
IX. $\stackrel{\circ}{p_{1}}=n_{1} e_{(3)}, \stackrel{\circ}{p_{2}}=n_{2} e_{(3)}$. Согласно табл. 3.1, область $\Omega_{\mathrm{IX}}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\Omega_{\mathrm{IX}}=\left\{m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{-m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{n e_{(3)}: n>0\right\} \cup \\
\cup \cup\left\{e_{(0)}+e_{3}\right\} \cup\left\{-e_{(0)}-e_{(3)}\right\} \cup\left\{\begin{array}{ccc}
\varnothing & \text { при } & n_{1}
eq n_{2}, \\
\{0\} & \text { при } & n_{1}=n_{2} .
\end{array}\right. \\
\text { Тогда }
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
G_{i}=S U(1,1), \quad \rho_{i}=\left(x_{i}, l_{i}, \eta_{i}\right), \\
\hat{H}_{1, x_{i} l_{i} 0}=\left\{\left(x_{i}^{\prime}, \mu_{i}\right): x_{i}^{\prime}=x_{i},-\infty<\mu_{i}<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x_{i} l_{i} \pm}=\left\{\left(x_{i}^{\prime}, \mu_{i}\right): x_{i}^{\prime}=x_{i}, \pm\left(\mu_{i}+x_{i} / 2\right) \geqslant l_{i}+x_{i} / 2+1\right\}, \\
i \in\{1,2\} .
\end{array}
\]
IX. 1. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{-m e_{(0)}: m>0\right\}$. Здесь $G(\stackrel{\circ}{p})=$ $=S U(2), G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{1}$. Мы различаем четыре случая:
a) $\eta_{1}=0=\eta_{2}$,
б) $\eta_{1}=0, \eta_{2}= \pm$,
в) $\eta_{1}= \pm=\eta_{2}$
и г) $\eta_{1}= \pm=-\eta_{2}$.

Подстановка (3.1.43) дает области
a)
\[
\begin{array}{c}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1}, x_{1} l_{2} 0}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1} l_{1}, x_{2} l_{2} 0}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1},-\infty<\bar{\mu}<\infty\right\},
\end{array}
\]
б)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1} 0, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x \mu}^{x_{1}, l_{0}, x_{2} l_{2} \pm}= \\
=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \pm\left(\bar{\mu}+x_{1} / 2\right) \leqslant \pm(\mu+x / 2)-l_{2}-x_{2} / 2-1\right\},
\end{array}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{\alpha_{1} l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(x, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
\left. \pm(\mu+x / 2) \geqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+2\right\} \text {, } \\
\hat{H}_{1, \alpha \mu}^{x_{1}, l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, l_{1}+x_{1} / 2+1 \leqslant\right. \\
\left.\leqslant \pm\left(\bar{\mu}+x_{1} / 2\right) \leqslant \pm(\mu+x / 2)-l_{2}-x_{2} / 2-1\right\}, \\
\end{array}
\]
г)
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1}^{x_{1} l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \mp}=\left\{(\chi, \mu): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1}^{x_{1}, l_{1} \pm,}, x_{2} l_{2} \mp=\left\{(\bar{x}, \bar{\mu}): \bar{x}=x_{1}, \pm\left(\bar{\mu}+x_{1} / 2\right) \geqslant\right. \\
\left.\quad \geqslant \max \left(l_{1}+x_{1} / 2+1, \pm(\mu+x / 2)+l_{2}+x_{2} / 2+1\right)\right\} .
\end{array}
\]

Так как во всех случаях
\[
\widehat{G}(p)_{x, \mu}=S \widehat{U(2)_{x, \mu}}=\left\{\left(x^{\prime}, l\right): x^{\prime}=x, \quad l \geqslant|(\mu+x) / 2|-x / 2\right\},
\]

то из формулы (3.1.53) следует
\[
\begin{aligned}
\hat{G}(p)^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}} & =\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{2} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}} & =\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-l-x \leqslant \mu \leqslant l\right\},
\end{aligned}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(p)^{x_{1} l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(x, l): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l+x / 2 \geqslant\right. \\
\left.\quad \geqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+2\right\}, \\
\hat{H}_{1, x l}^{x_{1} l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+2 \leqslant\right. \\
\quad \leqslant \pm(\mu+x / 2) \leqslant l+x / 2\} .
\end{array}
\]
Согласно формуле (3.1.52), кратности равны
$\left.\begin{array}{l}\text { а) } \\ \text { г) }\end{array}\right\} \quad d_{x l}^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\mathbf{N}_{0}$,
B)
\[
\begin{array}{l}
d_{x l}^{x_{1} l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\frac{1}{2}\left(l+x / 2-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2-1\right) \times \\
\times\left(l+x / 2-l_{1}-x_{1} / 2-l_{2}-x_{2} / 2\right) .
\end{array}
\]

Коэффициенты Клебша — Гордана имеют вид
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(2)}^{\chi_{1}, l}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{S U(1,1)}^{\chi_{1}, l_{1}, \eta_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\bar{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}}, \\
\end{array}
\]

где матричные элементы группы $S U$ (2) даны в формуле (2.2.4), а группы $S U(1,1)$ — в формуле (2.3.15).
IX. 2. $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{n e_{(3)}: n>0\right\}$. Здесь $G(\stackrel{\circ}{p})=S U(1,1) ;$ этот случай в свою очередь делится на два.
IX. $2_{1}, \stackrel{\circ}{q} \in\left\{m e_{(0)}: m>0\right\} \cup\left\{-m e_{(3)}: m>0\right\}$. Тогда $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=$ $=H_{1}$. Здесь справедлива классификация по четырем вариантам, данная в случае IX. 1 ; множества $\widehat{H}_{1}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ и $\widehat{H}_{1, \text { жи }}^{\rho_{1}, \rho_{2}}$ указаны в формулах (3.2.62). Так как в любом случае
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}\left(\stackrel{\circ}{p_{x, \mu}}=S \widehat{U(1,1)_{x, \mu}=}\right. \\
=\left\{\left(x^{\prime}, l, 0\right): x^{\prime}=x, l=-(1+x) / 2=i p, p \geqslant 0\right\} U \\
U\left\{\left(x^{\prime}, l, \eta\right): x^{\prime}=x, 0 \leqslant l \leqslant|\mu+x / 2|-x / 2-1,\right. \\
\eta=\operatorname{sign}(\mu+x / 2)\},
\end{array}
\]

то из формулы (3.1.53) следует
а)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2}, \eta_{2}}=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1}, x_{2},\right. \\
l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\} \cup \\
\cup\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} \cup \\
\cup\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\},
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{1, x l 0}^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x,-\infty<\mu<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{1, x}^{x_{1} l_{1} n_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant l+x / 2+1\right\} .
\end{array}
\]
в)
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})^{x_{1} l_{1} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2},\right. \\
l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\} U \\
U\left\{(x, l, \pm): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{1, x \pm 0}^{x_{1} l_{l} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant\right. \\
\left.\quad \geqslant l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+2\right\}, \\
\hat{H}_{1, x}^{x_{1} l_{l} \pm, x_{2} l_{2} \pm}=\left\{\left(x^{\prime}, \mu\right): x^{\prime}=x, \pm(\mu+x / 2) \geqslant\right. \\
\left.\quad \geqslant \max \left(l+x / 2+1, l_{1}+x_{1} / 2+l_{2}+x_{2} / 2+2\right)\right\} .
\end{array}
\]

В любом случае кратность, согласно формуле (3.1.52), равна
\[
d_{x l \eta}^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\mathbf{N}_{0} .
\]

Коэффициенты Клебша-Гордана имеют вид
\[
\begin{array}{l}
=U_{S U(1,1)}^{\chi_{l}, \eta_{1}, 1}\left(R\left(\Lambda(p)^{-1} q\right)\right)_{\mu^{\prime} \mu} U_{S U(1,1)}^{\chi_{1}, l_{1}, \eta_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tilde{\mu} \mu_{1}} \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\mu-\bar{\mu}, \mu_{2}} . \\
\end{array}
\]

Матричные элементы группы $S U(1,1)$ даны в формуле (2.3.15) IX. $2_{2} . \stackrel{\circ}{q} \in\left\{n e_{(2)}: n>0\right\}$. Здесь $G(\stackrel{\circ}{p}, \stackrel{\circ}{q})=H_{2}$. Для класса $\rho_{i}=\left(x_{i}, l_{i}, \eta_{i}\right)$ имеем
\[
\hat{H}_{2, x_{i} l_{i} \eta_{l}}=\left\{\left(x_{i}^{\prime}, \lambda_{i}\right): x_{i}^{\prime}=x_{i}, \lambda_{i} \in \mathbf{R}\right\}, \quad i \in\{1,2\} .
\]

Индексы $\tau$ принимают значения $\pm$. Подстановка (3.1.43) дает
\[
\begin{array}{l}
\hat{H}_{2}^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2}^{\prime} \eta_{2}}=\left\{(x, \lambda): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} \mu_{2},-\infty<\lambda<\infty\right\}, \\
\hat{H}_{2, x \lambda}^{x_{1} l_{1} n_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{(\bar{x}, \bar{\lambda}): \bar{x}=x_{1},-\infty<\bar{\lambda}<\infty\right\} .
\end{array}
\]

Очевидно, что
\[
\begin{array}{l}
\widehat{G}\left(\stackrel{\circ}{)_{x, \lambda}}=S \widehat{U}(1,1)_{x, \lambda}=\right. \\
\quad=\left\{\left(x^{\prime}, l, 0\right): x^{\prime}=x, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} \cup \\
\quad \cup\left\{\left(x^{\prime}, l,+\right): x^{\prime}=x, l \geqslant 0\right\} \cup\left\{\left(x^{\prime}, l,-\right): x^{\prime}=x, l \geqslant 0\right\}
\end{array}
\]
и потому, согласно формуле (3.1.53),
\[
\begin{array}{l}
\hat{G}(p)^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}= \\
\quad=\left\{(x, l, 0): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l=-(1+x) / 2+i p, p \geqslant 0\right\} U \\
\quad \cup\left\{(x, l,+): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\} U \\
\quad U\left\{(x, l,-): x=x_{1}+x_{2}-2 x_{1} x_{2}, l \geqslant 0\right\}, \\
\hat{H}_{2, x l \eta}^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\left\{\left(x^{\prime} \lambda\right): x^{\prime}=x,-\infty<\lambda<\infty\right\} .
\end{array}
\]

Кратность представления $U_{S U}^{x, l, \eta}(1,1)$ определяется, согласно формуле (3.1.52), счетной бесконечной размерностью гильбертова пространства $\mathfrak{H}_{x l \eta}^{x_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{3} l_{2} \eta_{2}}$ :
\[
d_{x l \eta}^{\varkappa_{1} l_{1} \eta_{1}, x_{2} l_{2} \eta_{2}}=\mathbf{N}_{0} .
\]

Коэффициенты Клебша — Гордана равны
\[
\begin{array}{l}
\times U_{S U(1,1)}^{x_{1}, l_{1}, \eta_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tau_{1}^{\prime} \tilde{\lambda}, \tau_{1} \lambda_{1}} \times \\
\times U_{S U(1,1)}^{\chi_{2}, l_{2}, \eta_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A(p, q)\right)^{-1}\right)_{\tau_{2}^{\prime}, \lambda-\bar{\lambda}, \tau_{2} \lambda_{2}} . \\
\end{array}
\]

Здесь матричные элементы группы $S U(1,1)$ в базисе, связанном с подгруппой $H_{2}$, определяются формулами (2.5.74) и (2.5.62), а также условиями симметрии (2.5.66) и (2.5.72).