Использование симметрии физической задачи позволяет уменьшить число независимых матричных элементов наблюдаемых. Классическим примером такой редукции является теорема Вигнера – Эккарта, применимая к наблюдаемым, которые преобразуются как тензоры при пространственных вращениях. В $S$-матричной теории элементарных частиц принцип инвариантности оператора рассеяния относительно преобразований из группы Пуанкаре приводит к разложению элементов $S$-матрицы, обобщающему разложение по парциальным волнам (см. работу [1]). При этом требуется разложить произведение представлений группы Пуанкаре $\widetilde{P}$ на неприводимые и найти соответствующие коэффициенты Клебша-Гордана. Вначале эта задача была решена для так называемых физических представлений группы $\tilde{P}$, т. е. для частиц, четырехмерные импульсы которых лежат внутри [1] или на границе [2] светового конуса. Однако в последние годы все возрастающее значение в $S$-матричной теории элементарных частиц приобретают так.называемые нефизические представления, отвечающие светоподобным, пространственно-подобным или нулевым импульсам. Например, в связи с постулатами аналитичности и перекрестной симметрии возрос интерес к так называемым перекрестным парциальным разложениям амплитуд двухчастичного рассеяния, в которых входящая частица связывается с выходящей [3,4]. При этом роль полного импульса играет переданный импульс, который в большинстве случаев является пространственно-подобным, что приводит к „нефизическим“ представлениям группы
i) Sektion Physik der Universität Münchẹn.
Пуанкаре с мнимой массой. Ноос [5] особо отмечал выявляющуюся при этом связь между теорией полюсов Редже и теорией групп. С другой точки зрения интерес к „нефизическим“ представлениям группы возник в связи с предположением Фейнберга [6] о существовании „тахионов“, движущихся быстрее света. Поэтому в настоящее время привлекла внимание также и проблема приведения для произведения „нефизических“ представлений группы $\tilde{P}$.

Мы называем группой Пуанкаре $\tilde{P}$ квантовомеханическую неоднородную группу Лоренца; она является универсальной накрывающей группой для группы преобразований пространства-времени, которая, согласно Баргману [7], может быть получена как векторное представление группы $\widetilde{P}^{1}$ ). Всюду в этой статье рассматривается только связная часть группы Пуанкаре, так что мы можем опустить точное определение „собственная ортохронная“. Теория представлений группы $\tilde{P}$ в основном была построена Вигнером в его знаменитой статье 1939 г. [8]. Общая математическая теория, теория индуцированных представлений локально-компактных групп, была развита позднее Макки [9] (см. также его обзорную статью [10]). Работа Вигнера воспринимается теперь как естественное приложение этой теории.

До сих пор теория представлений группы Пуанкаре рассматривается в учебниках по квантовой теории поля лишь в весьма ограниченном объеме, между тем имеется несколько конспектов лекций и оригинальных статей (см., например, работы Эмха [11], Гийо и Пти [12]), в которых она выводится из теории Макки. Поэтому в гл. 1 мы приводим обзор построения неприводимых унитарных представлений группы $\tilde{P}$ лишь в виде ряда рецептов. Несколько более подробно мы рассмотрим представления с пространственно-подобными импульсами, так как.они обычно недостаточно аккуратно излагаются в физической литературе. Теория представлений соответствующей малой группы $S U(1,1)$ [или ее изоморфного образа $S L(2, \mathbf{R})]$ была построена Баргманом [13]. Эта теория изложена в гл. 1 методом, основанным на результатах Гельфанда, Граева и Виленкина [14].

В гл. 2 вычислены матричные элементы представлений малых групп в различных базисах в пространствах представлений, для которых представления малой группы при сужении
1) В этой статье рассматриваются только непрерывные представления.

на некоторую ее подгруппу становятся диагональными. Эти матричные элементы как функции на данной малой группе являются в некотором обобщенном смысле базисом в гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на малой группе или на некотором пространстве классов сопряженных элементов этой малой группы. Соответствующие теоремы разложения также выведены в гл. 2. Некоторые аналитические свойства матричных элементов малых групп, установленные при этом, также могут представлять интерес при рассмотрении аналитических свойств элементов $S$-матрицы. Теоремы разложения необходимы при решении проблемы приведения для произведения любых двух неприводимых унитарных представлений группы $\tilde{P}$ с ненулевыми импульсами. Метод приведения с помощью спин-орбитальной связи, использованный Иоосом [1], приспособлен, по существу, для произведения представлений с импульсами, лежащими внутри светового конуса. Между тем Мусса и Стора [2], исходя из теории Макки, пришли к методу приведения, использующему так называемую связь спиральностей, который применим ко всем случаям, исключая произведение двух представлений с пространственноподобными или нулевыми импульсами. Наш метод, пригодный также и в этих случаях, построен в духе подхода Мусса и Стора, но в несколько большей степени использует геометрические идеи.

Задача приведения для произведения двух неприводимых унитарных представлений группы $\tilde{P}$, по крайней мере одно из которых отвечает нулевому импульсу, сводится к задачам приведения для некоторых унитарных представлений малых групп, решения которых в большинстве случаев имеются в литературе.