Не прошло и двух лет после выхода цитированной выше первой статьи Гейзенберга по квантовой механике, как на этот вопрос был дан ответ в трех следующих друг за другом статьях фон Неймана [21]. На базе этих статей была написана книга „Математические основы квантовой механики “ [22] ${ }^{1}$ ).

Две из первых книг физиков по квантовой механике переизданы, и я настоятельно советую их прочесть. Это книги Дирака „Принципы квантовой механики“ [24] и Паули „Общие принципы волновой механики\» [25] ${ }^{2}$ ).

Если вы их не читали, то еще не поздно это сделать. Сейчас же мы приведем лишь минимум сведений из квантовой механики.
a) Қаждой физической системе соответствует комплексное сепарабельное гильбертово пространство $\mathscr{H}$. При этом физическое состояние представляется вектором $|x\rangle \in \mathscr{G}$, нормированным для удобства на единицу: $\langle x \mid x\rangle=1$.
б) Каждой физической наблюдаемой $a$ (например, энергии, электрическому заряду и т. д.) соответствует самосопряженный оператор $A$ в пространстве $\mathscr{H}$. Спектр $A$ совпадает с множеством возможных значений величины $a$.
в) Қвантовая механика, вообще говоря, не предсказывает определенного значения величины $a$ в состоянии $|x\rangle$. Она дает лишь математическое ожидание этой величины
\[
\langle x|A| x\rangle=\mathrm{Sp} A P_{x}
\]

где $P_{x}$-эрмитов оператор проектирования $\left(P_{x}^{+}=P_{x}\right.$ ) на одномерное пространство, натянутое на вектор $|x\rangle$. Заметим, что единичные собственные векторы оператора $P_{x}$ (с собственным
1) Позднее совместно с Дж. Биркгофом он опубликовал статью „Логика квантовой механики“ [23]. Эта статья до сих пор не утратила своего значения.
2) Имеются также книги математиков: Г. Макки „Лекции по математическим основам квантовой механики“ [26]; Л. Шварц \»Применение обобщенных функций к изучению элементарных частиц в релятнвистской квантовой механике\» [27].
значением 1) отличаются друг от друга лишь скалярным фазовым множителем. Все они приводят к одинаковым физическим предсказаниям и, следовательно, описывают одно и то же состояние.

Операторы $P_{x}$ сами являются наблюдаемыми. В самом деле, величина
\[
\mathrm{Sp} P_{x} P_{y}=|\langle x \mid y\rangle|^{2}
\]

есть вероятность нахождения физической системы в состоянии $|x\rangle$ (или $|y\rangle$ ), если известно, что эта система находится в состоянии $|y\rangle$ (или $|x\rangle$ ). Искусство физика, занимающегося квантовой теорией, и заключается частично в том, чтобы закодировать наблюдаемые им явления векторами гильбертова пространства. При этом всегда приходится использовать „физические приближения\».

В тех случаях, когда состояние можно описать с помощью проектора ранга один (или, что то же самое, с помощью вектора, определенного с точностью до фазового множителя), мы говорим, что имеем чистое состояние и полную информацию о нем.

Обычно же известна лишь частичная информация о состоянии. В простейшем случае мы знаем только набор вероятностей $c_{i}$ нахождения системы в ортогональных друг другу чистых состояниях $P_{i}\left(P_{i} P_{j}=\delta_{i j} P_{j}\right)$, так что математическое ожидание величины $a$ имеет вид
\[
\Sigma c_{i} \mathrm{Sp} A P_{i}=\mathrm{Sp} A R,
\]

где
\[
R=\Sigma c_{i} P_{i}, \quad \operatorname{Sp} R=\Sigma c_{i}=1 .
\]

Самосопряженный оператор $R$ положительно определен, поскольку $c_{i} \geqslant 0$, и называется матрицей плотности ${ }^{1}$ ) смешанного состояния (состояния, не являющегося чистым) системы. При этом множество всех состояний образует выпуклую область, а чистые состояния являются крайними точками этой области.

Естественное обобщение этой конструкции заключается в следующем. Определим банахову алгебру $\mathscr{8}$ с единицей I, генерируемую наблюдаемыми ${ }^{2}$ ) (обычно это — $C^{*}$-алгебра).
1) Матрицу плотности ввел фон Нейман в 1927 г. в статьях, цитированных выше. (Несколько ранее матрица плотности была введена в работе Л. Д. Ландау [28]. — Прим. перев.)
2) Еще на заре развития квантовой механики физики рассмотрели также неассоциативные алгебры, образованные наблюдаемыми, и ввели иордановы алгебры. Первой фундаментальной работой по этим алгебрам является статья П. Иордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера „Об алгебраическом обобщении квантовомеханического формализма“ [29].
Тогда состояние описывается линейным положительным функционалом $\phi$ на $\mathscr{B}$, т. е. $\phi\left(A^{*} A\right) \geqslant 0$. Для системы с конечным числом степеней свободы такое обобщение не очень существенно. Однако оно становится существенным для случая бесконечного числа степеней свободы как в квантовой теории поля, так и в статистической механике. Классическая статистическая механика может быть построена по тому же математическому шаблону, причем в этом случае алгебра является абелевой ${ }^{1}$ ).