Обозначим элементы группы $E(2)$ следующим образом:
\[
E(2) Э\left(e^{i \varphi / 2}, z\right)=A, \quad e^{i \varphi / 2} \equiv A_{11}=A_{22}^{*}, \quad z=A_{11} A_{12} .
\]
Одновременно это задает параметризацию группы $E(2)$, причем
\[
0 \leqslant \varphi<4 \pi, \quad z \in \mathbf{C} .
\]
Закон композиции в группе $E(2)$ имеет вид
\[
\left(e^{i \varphi / 2}, z\right)\left(e^{i \varphi^{\prime} / 2}, z^{\prime}\right)=\left(e^{i\left(\varphi+\varphi^{\prime} / 2\right.}, z+e^{i \varphi} z^{\prime}\right),
\]
так что группа $E(2)$ изоморфна полупрямому произведению группы вращений плоскости $S O(2)$ на аддитивную группу комплексных чисел $\mathbf{C}, S O(2)$ (s), с $d$-операцией: $S O(2) \rightarrow$ Aut $\mathbf{C}$, $d_{\varphi}(z) \equiv e^{i \varphi} z$. Поэтому все неприводимые унитарные представления группы $E(2)$ можно получить тем же методом, который был описан в разд. 1.1 для самой группы Пуанкаре.
I. Характеры абелевой инвариантной подгруппы $(1, \mathbf{C}) \subset E(2)$ равны
\[
(1, z) \rightarrow \chi^{\zeta}(z)=e^{i \operatorname{Re}\left(\varepsilon^{*} z\right)}, \quad \zeta \in \mathbf{C},
\]
т. е. группа характеров совпадает с аддитивной группой $\mathbf{C}$.
II. Орбиты группы $S O(2)$ в группе характеров С являются окружностями с центром в начале координат, $\omega(\zeta)=S O(2) \zeta$, так как $\chi^{\zeta}\left(e^{-i \varphi} z\right)=\chi^{\zeta} \exp (i \varphi)(z)$.
III. Разбиение группы $\mathbf{C}$ на орбиты характеризуется следующим множеством представителей:
\[
\mathbf{C}=\bigcup_{\rho \in \omega} \omega(\rho), \quad \omega=\omega^{+} U \omega^{0}, \quad \omega^{+}=\{\rho: \rho>0\}, \quad \omega^{0}=\{0\}
\]
IV. Малая группа $G(\rho)$ (где $\rho \in \omega$ ) определяется из условия $\chi^{\rho}\left(e^{-i \varphi} z\right)=\chi^{\rho}(z)$ для любых $e^{1 / 2 t \varphi} \in G(\rho)$ и $z \in$. В результате
\[
\begin{array}{c}
\rho \in \omega^{+}: G(\rho)=\mathbf{Z}_{2} \equiv\{1,-1\}, \\
\rho \in \omega^{0}: G(\rho)=G(0)=S O(2) .
\end{array}
\]
V. Левые классы смежности, $S O(2) / G(\rho)$, отвечающие $\zeta \in \omega(\rho)$, $\rho>0$, представляются величиной $\exp \left(i \varphi_{\zeta} / 2\right)$, где $\varphi_{\zeta} \equiv \arg \xi$, $0 \leqslant \varphi_{\zeta}<2 \pi$, так как очевидно $d_{\varphi_{\zeta}}(\rho)=\xi$. Случай $\rho=0$ тривиален.
VI. Неприводимые унитарные представления группы $\mathbf{Z}_{2}$ имеют вид
\[
\mathbf{Z}_{2}
i \varepsilon \rightarrow U_{Z_{2}}^{\varkappa}(\varepsilon)=\varepsilon^{x}, \quad x=0,1 .
\]
Группа $G(0) \equiv S O(2)$ имеет представления
\[
\begin{array}{c}
S O(2) \equiv e^{i \varphi / 2} \rightarrow U_{S O}^{\chi, \mu}\left(e^{i \varphi / 2}\right)=e^{i(\mu+x / 2) \varphi}, \\
x=0,1 ; \quad \mu=0, \pm 1, \ldots
\end{array}
\]
VII. Таким образом, для группы $\check{G}(\rho) \equiv G(\rho)(\mathbf{C} \subset E(2)$ мы получаем представления
\[
\begin{array}{c}
\rho \in \omega^{+}: \breve{G}(\rho)
i(\varepsilon, z) \rightarrow U_{\breve{G}(\rho)}^{0, x}(\varepsilon, z)=\varepsilon^{x} \chi^{0}(z), \quad x=0,1, \\
\rho \in \omega^{0}: \breve{G}(0)
i\left(e^{i \varphi / 2}, z\right) \rightarrow U_{\breve{G}(0)}^{0, x, \mu}\left(e^{i \varphi / 2}, z\right)=e^{i(\mu+x / 2) \varphi}, \\
x=0,1 ; \quad \mu=0, \pm 1, \ldots .
\end{array}
\]
VIII. При $\rho>0$ вводим гильбертово пространство
\[
\mathfrak{Y}_{E(2)}^{\rho, x} \equiv \oplus \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\frac{d \varphi}{2 \pi}} \mathfrak{y}_{G(\rho)}^{\chi}\left(\rho e^{i \varphi}\right)
\]
как прямой интеграл одномерных гильбертовых пространств $\mathfrak{g}_{\sigma}^{\chi}(\rho)(\zeta) \equiv$ С. Скалярное произведение в этом пространстве есть
\[
\langle f \mid g\rangle_{E(2)}^{\rho, x} \equiv \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \varphi}{2 \pi} f\left(\rho e^{i \varphi}\right)^{*} g\left(\rho e^{i \varphi}\right) .
\]
При $\rho=0$ интеграл отсутствует, так как $\omega(0)$ состоит из одной точки.
IX. Для $\rho>0$ индуцированные представления группы $E(2)$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left(\bar{U}_{E(2)}^{\rho, x}\left(e^{i \varphi / 2}, z\right) f\right)(\zeta)=\varepsilon(\zeta, \varphi)^{\boldsymbol{x}} e^{i \operatorname{Re}\left(\zeta^{*} z\right)} f\left(e^{-i \varphi} \zeta\right), \\
x=0,1 ;|\zeta|=\rho ; \\
\varepsilon(\zeta, \varphi)=\left\{\begin{array}{l}
+1, \text { при } 0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi_{\zeta} \text { и } 2 \pi+\varphi_{\zeta}<\varphi<4 \pi, \\
-1, \text { при } \varphi_{\zeta}<\varphi \leqslant \varphi_{\zeta}+2 \pi,
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]
а при $\rho=0$
\[
U_{E(2)}^{0, x, \mu}\left(e^{i \varphi / 2}, z\right)=e^{i(\mu+x / 2) \varphi}, \quad x=0,1 ; \mu=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]
Для описания безмассовых частиц обычно используют одномерные представления второго типа. При этом представление абелевой инвариантной подгруппы $(1, \mathbf{C}) \subset E(2)$ тривиально.
Не очень удобная форма представления $\bar{U}_{E(2)}^{\rho, x}$ в формуле (1.4.12) может быть исправлена с помощью унитарного преобразования
\[
\tau^{\chi}: f \rightarrow \tau^{\chi} f, \quad\left(\tau^{\chi} f\right)(\zeta) \equiv e^{i x \varphi_{\zeta} / 2} f(\zeta)
\]
в гильбертовом пространстве $\mathfrak{F}_{E}^{0, x)}$. Представление
\[
U_{E(2)}^{\rho, x} \equiv \tau^{x} \bar{U}_{E(2)}^{\rho, x} \tau^{x+},
\]
эквивалентное представлению $\bar{U}_{E(2)}^{\rho, x}$, имеет явный вид
\[
\begin{array}{c}
\left(U_{E(2)}^{\rho, x}\left(e^{i \varphi / 2}, z\right) f\right)(\zeta)=\exp \left[\frac{i x \varphi}{2}+i \operatorname{Re}\left(\zeta^{*} z\right)\right] f\left(e^{-i \varphi \zeta}\right), \\
x=0,1 ; \quad|\zeta|=\rho .
\end{array}
\]
