5.3.а. Электромагнитное взаимодействие
Қак следует из уравнения (5.21), оператор $Q$ электрического заряда есть генератор группы $U(2) \subset S U(3)$, так что он в свою очередь является генератором группы $S U(3)$ и, как мы уже видели,
\[
Q=\frac{2}{\sqrt{3}} F(-q),
\]

где $q$, как и раньше, есть псевдокорень. В литературе $S U_{q}(2)$ называется группой $U$-спина. Таким образом, мы можем говорить об $U$-спиновых мультиплетах, имеющих один и тот же электрический заряд $u=1 / 2, p^{+}, \Sigma^{+}$, а также $\Xi^{-}, \Sigma^{-} ; u=1, n$, $\Xi^{0}, 1 / 2 \Sigma^{0}+\sqrt{3} / 2 \Lambda^{0} ; u=0, \sqrt{3} / 2 \Sigma^{0}-1 / 2 \Lambda^{0}$. Электрический заряд есть интеграл от временно́й компонеңты электромагнитного тока
\[
Q=e \int j^{0}(\mathbf{x}) d \mathbf{x}
\]

а $\partial^{\mu} j^{\mu}(x)=0$, следовательно, $Q$ есть сохраняющийся (в более общем случае $\mathscr{P}$-инвариантный) оператор. Конечно, $j^{0}(x)$ может иметь любую ковариантность относительно группы $S U(3)$ при условии, что интеграл неоктетной части исчезает. Самая простая гипотеза заключается в предположении, что электромагнитный ток $j^{\mu}(x)$ есть образ октетно-тензорного оператора в направлении ( $-q$ ):
\[
e \frac{2}{\sqrt{3}} j^{\mu}(x ;-q)
\]
1) Множители $2 / \sqrt{3}$ находятся из условия, что спектры $Q$ и $Y$ состоят из целых чисел. Уравнение (5.21) предполагает, что $q$ и $y$ – нормированные псевдокорни, имеющие противоположный знак. Выбор знака $(+y),(-q)$ в этом случае условен и соответствует фиг. 5.2.
[ср. с уравнением (5.26)]. Это позволяет сделать многие выводы. Магнитный момент частицы мультиплета дается средним значением октетно-тензорного оператора в направлении ( $-q$ ). Он зависит только от двух констант для октета (и от одной для декуплета), и частицы одного и того же $u$-спинового мультиплета имеют один и тот же магнитный момент. Например, предсказывается равенство $\mu_{\Sigma^{+}}=\mu_{p}+$, которое хорошо подтверждается. Сейчас осуществляются измерения $\mu_{\Lambda^{0}}, \mu_{\Sigma^{-}}$и $\mu_{z^{-}}$ и вероятности распада $\Sigma^{0} \rightarrow \Lambda^{0}+\gamma$, которая определяется (поскольку это „магнитный дипольный“ переход) значениями $\mu$ в этом октете. Можно предсказать отношение вероятностей электромагнитного распада, например:
$\frac{\text { Вероятность } \pi^{0} \rightarrow 2 \gamma}{\text { Вероятность } \eta^{0} \rightarrow 2 \gamma}=\frac{\left(t_{3}, q\right)^{2}}{(y, q)^{2}} \times$ отношение фазовых объемов $=$ $=3 \times$ отношение фазовых объемов
[при этом используется уравнение (5.26) и равенство $\left(y, t_{3}\right)=0$ ]. Наблюдаемое соотношение распадов $\phi \rightarrow \mu^{+}+\mu^{-}, \omega \rightarrow \mu^{+}+\mu^{-}$ служит хорошим подтверждением величины угла смешивания. Таким же образом можно успешно предсказать отношение сечений фоторождения.

Разности масс внутри мультиплета $U_{y}(2)$, по-видимому, имеют электромагнитную природу. Они квадратично зависят от $j^{\mu}(x ;-q)$, но в хорошем приближении можно считать, что важны только скалярная и октетная части, так что в этом случае массовый оператор (5.5) можно переписать, складывая электромагнитные эффекты:
\[
M=M_{0}+M_{1} \frac{2}{\sqrt{3}} F(y)+M_{2} D(y)+M_{3} \frac{2}{\sqrt{3}} F(-q)+M_{4} D(-q),
\]

а внутри $S U(3)$-мультиплета значения масс даются выражением
\[
m=m_{0}^{\prime}+m_{1}^{\prime} y+m_{2}^{\prime}\left(t(t+1)-\frac{1}{4} y^{2}\right)+m_{3}^{\prime} \dot{q}+m_{4}^{\prime}\left(u(u+1)-\frac{1}{4} q^{2}\right),
\]

которое для барионов хорошо подтверждается.
5.3.б. Слабое взаимодействие
Кабиббо обобщил на случай группы $S U(3)$ гипотезу ГеллМанна и Фейнмана относительно связи векторной части слабого тока $v_{\mu}^{ \pm}(x)$ с током лептонов $l^{\mp \mu}(x)$ (см. разд. 3.6) в предположении, что $v_{\mu}^{ \pm}(x)$ и $j_{\mu}(x)$ являются образами одного $и$ того же октетно-тензорного оператора [обозначим его $v_{\mu}(x)$ ] для трех различных направлений: $-q, c_{ \pm}$. В явном виде
электромагнитный ток $=\frac{2}{\sqrt{3}} e v_{\mu}(x,-q)$,
\[
\text { слабый ток }=\frac{G}{\sqrt{2}} v_{\mu}\left(x ; c_{ \pm}\right)
\]
(где $G$-константа Ферми). Второе предположение Кабиббо заключается в том, что аксиально-векторные части слабого тока $a_{\mu}^{ \pm}(x)$ являются образами другого октетно-тензорного оnератора для того же направления $c_{ \pm}$. Таким образом, полный слабый ток
\[
h_{\mu}^{ \pm}\left(x ; c_{ \pm}\right)=v_{\mu}^{ \pm}\left(x ; c_{ \pm}\right)-a_{\mu}^{ \pm}\left(x ; c_{ \pm}\right)
\]

является также образом октетно-тензорного оператора. Следствия из этих предположений можно найти в оригинальной статье Кабиббо в антологии „Восьмеричный путь“ [81], стр. 207. Знак ( $\pm$ ) соответствует здесь электрическому заряду тока, т. е.
\[
\left[Q, h_{\mu}^{ \pm}(x)\right]= \pm h_{\mu}^{ \pm}(x) .
\]

Пользуясь тем, что $Q$ есть генератор группы $S U(3), Q=$ $=2 / \sqrt{3} F(-q)$, можно переписать это уравнение в виде (1.9):
\[
-\frac{2}{\sqrt{3}}\left[F(q), h_{\mu}\left(x, c^{ \pm}\right)\right]=-\frac{2}{\sqrt{3}} h_{\mu}\left(x, q \wedge c^{ \pm}\right)= \pm h_{\mu}\left(x, c_{ \pm}\right) \text {. }
\]

Из (5.34) получаем уравнение
\[
q \wedge c_{ \pm}=\mp \frac{\sqrt{3}}{2} c_{ \pm},
\]

которое означает, что $c_{ \pm}$являются собственными векторами оператора $F(q)$. Записав в уравнении (5.34а) $c_{ \pm}=1 / \sqrt{2}\left(c_{1} \pm i c_{2}\right)$, находим, что $c_{1}$ и $c_{2}$-это единичные векторы, принадлежащие $U_{q}(2)$, так что, как видно уже из уравнения (5.21), они являются корневыми векторами. Уравнение (5.34а) эквивалентно уравнениям $q \wedge c_{1}=c_{2}, q \wedge c_{2}=-c_{1}$, откуда в свою очередь следует

где
\[
\sqrt{3} c_{1} \vee c_{1}=\sqrt{3} c_{2} \vee c_{2}=\sqrt{3} c_{3} \vee c_{3}=c,
\]
\[
c_{3}=c_{1} \wedge c_{2} \text {. }
\]

Это означает, что $c, c_{1}, c_{2}, c_{3}$ образуют базис в $U_{c}(2)$. Отметим также, что $c, c_{3} \in U_{q}(2)$. Псевдокорень $c$ называется „слабым гиперзарядом“, или „гиперзарядом Қабиббо“. Для слабых взаимодействий он сохраняется. Он коммутирует $c q, c \wedge q=0$, следовательно, $(c, q)=-\frac{1}{2}$. Однако с оператором $y$ он не коммутирует. В самом деле, существуют слабые переходы, нарушающие закон сохранения гиперзаряда. Эта некоммутативность приводит к тому, что значение $(y, c)$ не равно $(-1 / 2)$, а именно
\[
(y, c)=1-\frac{3}{2} \sin ^{2} \theta,
\]

где $\theta$-угол Кабиббо. Қак мы уже видели в разд. (3.6), его экспериментальное значение равно $15^{\circ}$. Довольно хорошо подтверждается также, что $v_{\mu}^{ \pm}$и $a_{\mu}^{ \pm}$определяют одно и то же направление $c$ слабого гиперзаряда ${ }^{1}$ ). Значение этого угла дается эмпирической формулой $\operatorname{tg} \theta=m \pi / m_{k}$. Теория Кабиббо объяснила не только относительно меньшую вероятность ${ }^{2}$ ) (множитель $\operatorname{tg}^{2} \theta$ !) слабых переходов с несохранением гиперзаряда $y$, но и то, почему сверхразрешенный ядерный $\beta$-распад с $\Delta T=0$ происходит медленнее (множитель $\cos ^{2} \theta$ ), чем распад $\mu \rightarrow e+v+\bar{v}$.
„Вычисление“ этого угла $\theta$ представляет собой одну из ответственнейших проблем сегодняшней физики. Стоит отметить чисто алгебраическое соотношение, дающее зависимость $q$ от $y$ и $c$. Пусть имеются два некоммутирующих (положительных и нормированных) псевдокорня $y$ и $c$, тогда всегда существует один-единственный псевдокорень, который коммутирует с ними обоими, это
\[
\lambda q=\sqrt{3} y \vee c+\frac{1}{2}(y+c),
\]

где
\[
\lambda=-[1-(y, c)] .
\]

Обычно наиболее часто используется следующая форма записи нелептонного слабого взаимодействия:
\[
H_{\text {нелепт }}=\frac{G}{\sqrt{2}} \sum_{\varepsilon= \pm 1} \int h^{\mu}\left(x, c_{\varepsilon}\right) h_{\mu}\left(x, c_{-\varepsilon}\right) d^{3} \mathbf{x} .
\]
1) Точнее, угол $c_{v}$ и $c_{a}$ с $y$ остается одним и тем же, но $c_{v}$ и $c_{a}$ могли бы составлять небольшой угол друг с другом. Это можно использовать как возможное объяснение нарушения $C P$-инвариантности.
${ }^{2}$ ) Точнее, это не просто вероятность, а относительная вероятность перехода, равная отношению вероятности перехода к объему фазового пространства. Фазовые пространства, которые должны быть в точности равны в $S U$ (3)-симметрии, фактически не равны друг другу.:
Недостатком этой формы является то, что $H_{\text {нелепт }}$ есть образ приводимого тензорного оператора, содержащего в качестве некоторой компоненты НП „27“ группы $S U(3)$. Из выполнения правила $\Delta T=1 / 2$ для слабых переходов с $|\Delta Y|=1$ следует, что этой 27 компонентой можно пренебречь по сравнению с компонентой октета. Предложеңие Радикати [83]
\[
H_{\text {нелепт }}=\frac{G}{\sqrt{2}} \int\left(h^{\mu}(x) \vee h_{\mu}(x)\right)(\mathrm{c}) d^{3} \mathbf{x}
\]

делает $H_{\text {нелепт }}$ компонентой неприводимого октетно-тензорного оператора, направленной вдоль слабого гиперзаряда $c$. Это не противоречит известным экспериментальным данным.