Согласно формулам (3.1), (3.4) и (1.1.16), представление $U^{1,2}\equiv U^{0,{\rho }_1}\otimes U^{p,{\rho }_2}$ имеет вид
$$(U^{1,2}(A,a)\psi )(p)=e^{ip\cdot a}{U}_{SL(2,\mathrm{c})}^{{\rho }_1}(A)\otimes U_{G(p)}^{{\rho }_2}(R(p;A))\psi (\mathrm{\Lambda }(A{)}^{-1}p).$$

Далее мы опишем построение, приводящее к редукции представления $U^{1,2}$. Однако задачи редукции для унитарных представлений малых групп, которые при этом появляются, не решены в явном виде. Известная нам литература по этому вопросу будет указана.
Пусть ${\stackrel{\circ }{p}}_{2}eq0$. Тогда унитарным преобразованием
$$\psi \to {\psi }^{\prime }:{\psi }^{\prime }(p)=(U_{SL(2,\mathrm{C})}^{{\rho }_1}(A(p{)}^{-1})\otimes {\mathbf{I}}_{{\tilde{\mathrm{\Phi }}}_{a(\rho )}^{{\rho }_1})})\psi (p)$$

представление $U^{1,2}$ переводится в представление $U^{\prime 1,2}$, где $(U^{\prime 1,2}(A,a){\psi }^{\prime })(p)\equiv {(U^{1,2}(A,a)\psi )}^{\prime }(p)=$
$$=e^{ip\cdot a}{U}_{SL(2,\mathrm{c})}^{{\rho }_1}(R(p;A))\otimes U_{a(p)}^{{\rho }_2}(R(p;A)){\psi }^{\prime }(\mathrm{\Lambda }(A{)}^{-1}p),$$

которое имеет вид представления группы $\tilde{P}$, индуцированного шению проблемы редукции для представления $U^{1,2}$ приводит выполнение следующих этапов.
1. С помощью унитарного преобразования ${\ddot{A}}^{0_1}$ пространство ${\mathfrak{F}}_{SL(2,\text{ с) }}^{{\mathrm{O}}_1}$ отображается на гильбертово пространство
$${\ddot{A}}^{{\rho }_1}{\mathcal{S}}_{SL(2,\mathrm{C})}^{{\rho }_1}=\otimes {\int }_{\hat{G}(\rho )}\sqrt{d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )}{\mathfrak{F}}_{\rho }^{{\rho }_1}\otimes {\mathcal{F}}_{G(\rho )}^{\rho },$$

в котором сужение $U_{SL(\mathrm{\%},c)}^{{\rho }_1}\mid G(\stackrel{\circ }{p})$ разлагается в прямой интеграл от унитарных представлений группы $G(\stackrel{\circ }{p})$, входящих с кратностями, которые определяются размерностью пространства ${\mathfrak{F}}_{\rho }^{{\rho }_1}$.
$${\ddot{A}}^{{\rho }_1}{U}_{SL(2,C)}^{{\rho }_1}\mid G(\stackrel{\circ }{p}){\left[{\ddot{A}}^{{\rho }_1}\right]}^{-1}=\oplus {\int }_{\hat{G}(\rho )}d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )({\mathbf{I}}_{{\tilde{\phi }}_{\rho }^{{\rho }_1}}\otimes U_{G(\rho )}^{\rho }).$$

Мера ${\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}$ на множестве $\hat{G}(\stackrel{\circ }{p})$ классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы $G(\stackrel{\circ }{p})$ единственна с точностью до преобразования эквивалентности. Далее гильбертово пространство
$${\ddot{A}}^{{\rho }_1}{\mathfrak{F}}_{SL(2,\mathrm{c})}^{{\mathrm{O}}_1}\otimes {\mathfrak{F}}_{G(\rho )}^{{\rho }_2}=[\oplus {\int }_{\hat{G}(\rho )}\sqrt{d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )}({\tilde{F}}_{\rho }^{{\rho }_1}\otimes {\mathfrak{F}}_{G(\rho )}^0)]\otimes {\mathfrak{F}}_{G(\rho )}^{{\rho }_2}$$

посредством преобразования унитарно отображается на гильбертово пространство
$${\tilde{\mathcal{H}}}^{1,2}\equiv ⨁{\int }_{\hat{G}(\rho )}\sqrt{d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )}({\mathfrak{F}}_{\rho }^{{\rho }_1}\otimes {\mathfrak{S}}_{G(\rho )}^{\rho }\otimes {\mathcal{F}}_{G(\rho )}^{{\rho }_2})$$
(см. в связи с этим книгу Диксмийе [30]). При этом представление $U^{1,2}$, заданное формулой (3.3.3), переходит в представление
$$\begin{array}{l}({\tilde{U}}^{1,2}(A,a)\tilde{\psi })(p)\equiv {(U^{1,2}(A;a)\psi )}^{\sim }(p)=\\ =e^{ip\cdot a}\oplus {\int }_{\hat{\sigma }(\rho )}d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )[{\mathbf{I}}_{{\varsigma }_{\rho }^{{\rho }_1}}\otimes U_{G(p)}^{\mathrm{p}}(R(p;A))\otimes \\ \otimes U_{G(p)}^{{\rho }_2}(R(p;A))]\tilde{\psi }(\mathrm{\Lambda }(A{)}^{-1}p).\end{array}$$
2. Посредством унитарного преобразования ${\ddot{A}}^{\rho {\rho }_2}$ произведение ${\mathfrak{Y}}_{G(p)}^{\rho }\otimes {\mathfrak{F}}_{G(\rho )}^{{\rho }_l}$ отображается на гильбертово пространство

в котором произведение представлений $U_{G(p)}^{\rho }\otimes U_{G(p)}^{{\rho }_2}$ разлагается в прямой интеграл неприводимых унитарных представлений $U_{G(\rho )}^{{\rho }^{\prime }}$ группы $G(\stackrel{\circ }{p})$, каждое из которых входит с кратностью, заданной размерностью пространства ${\mathfrak{J}}_{{\rho }^{\prime }}^{\rho {\rho }_2}$ :
$$\oplus {\int }_{\hat{G}(p)}d{\tilde{\mu }}_{\rho {\rho }_2}\left({\rho }^{\prime }\right)({\mathbf{I}}_{{\mathfrak{\Phi }}_{{\rho }^{\prime }}^{\rho {\rho }_2}}\otimes U_{G(p)}^{{\rho }^{\prime }}).$$

Мера ${\tilde{\mathit{\mu }}}_{\rho {\rho }_2}$ на множестве $\hat{G}(\stackrel{\circ }{p})$ вновь определена однозначно с точностью до эквивалентности. Поэтому с помощью преобразования
$$\oplus {\int }_{G(\rho )}d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_i}(\rho )({\mathbf{I}}_{{\mathfrak{s}}_{\rho }}{\rho }_i\otimes {\ddot{A}}^{\rho {\rho }_2})$$

гильбертово пространство ${\tilde{\mathcal{I}}}^{1,2}$ в формуле (3.3.8) унитарно отображается на гильбертово пространство вида
$${\hat{J}}^{1,2}=\otimes {\int }_{\hat{\sigma }(\rho )}\sqrt{d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )}\oplus {\int }_{\hat{\sigma }(\rho )}d{\hat{\mu }}_{\rho {\rho }_2}\left({\rho }^{\prime }\right)({\mathcal{F}}_{\rho }^{{\rho }_1}\otimes {\mathcal{F}}_{{\rho }^{\prime }}^{\rho {\rho }_2}\otimes {\mathcal{F}}_{O(\rho )}^{{\rho }^{\prime }}).$$
Переводя представление $U^{1,2}$ в формуле (3.3.9) в пространство ${\hat{\mathcal{S}}}^{1,2}$, получаем
$$\begin{array}{l}({\hat{U}}^{1,2}(A,a)\hat{\psi })(p)\equiv {(U^{1,2}(A,a)\psi )}^{\mathrm{\Lambda }}(p)=\\ =e^{ip\cdot a}\oplus {\int }_{\hat{\sigma }(\stackrel{\circ }{\circ })}d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )\oplus {\int }_{\hat{\sigma }(\stackrel{\circ }{p})}d{\tilde{\mu }}_{\rho {\rho }_{\mathbf{s}}}\left({\rho }^{\prime }\right)\times \\ \times [{\mathbf{I}}_{{\mathfrak{F}}_{\rho }^{{\rho }_1}\otimes {\mathfrak{\Phi }}_{{\rho }^{\prime }}^{\rho {\rho }_2}}\otimes U_{G(\rho )}^{{\rho }^{\prime }}(R(p;A))]\hat{\psi }(\mathrm{\Lambda }(A{)}^{-1}p)=\\ =\oplus {\int }_{\hat{\sigma }(\rho )}d{\tilde{\mu }}_{{\rho }_1}(\rho )\oplus {\int }_{a(\stackrel{\circ }{p})}d{\tilde{\mu }}_{\rho {\rho }_2}\left({\rho }^{\prime }\right)\times \\ X\left[({\mathbf{I}}_{{\mathfrak{q}}_{\rho }{\rho }_1}\otimes {\mathfrak{F}}_{{\rho }^{\prime }}^{\rho {\rho }_2}\otimes U^{\stackrel{\circ }{p}{\rho }^{\prime }}(A,a))\hat{\psi }\right](p).\end{array}$$

Иными словами, в пространстве ${\widehat{ू}}^{1,2}$ представление $U^{1,2}$ группы $\tilde{P}$ разлагается в прямой интеграл от неприводимых унитарных представлений $U^{p,{\rho }^{\prime }}$ этой группы.

Указанные выше преобразования эквивалентности: ${\ddot{A}}^{{\rho }_1}$ для сужения унитарных представлений группы $SL(2,\mathbf{C})$ на подгруппу $G(\stackrel{\circ }{p})$ и ${\ddot{A}}^{{\rho }_2}$ для произведения представлений группы $G(p)$, частично можно найти в литературе. Для импульсов $\stackrel{\circ }{p}\in$ , таких, что $G(p)=SU(2)$, редукция сужения $U_{SU(2,\mathrm{c})}^{{\rho }_1}\mid SU(2)$ проделана в книге Наймарка [18], а редукция произведения представлений группы $SU(2)$ приводит к общеизвестным рядам Клебша — Гордана для этой группы (см., например, статью Баргмана [15]). Для случая , т. е. $G(p)=SU(1,1)$, редукция сужения $U_{SL(2,\mathrm{c})}^{{\rho }_1}\mid SU(1,1)$ произведена в работах Рюля [31], Шарино, Толлера [32] и Мукунда [33]. Коэффициенты Клебша — Гордана для группы $SU(1,1)$ вычислены в работе Хольмана и Биденхарна [34]. Для случая $\stackrel{\circ }{p}\in \{\pm (e_{(0)}+e_{(3)})\}$, т. е. $G(\stackrel{\circ }{p})=E(2)$, эта проблема решена Шаафом [37].
В случае $\stackrel{\circ }{p}=0$ представление (3.3.1) имеет вид
$$U^{1,2}(A,a)\psi =U_{SL(2,\mathrm{c})}^{{\rho }_1}(A)\otimes U_{SL(2,\mathrm{c})}^{{\rho }_2}(A)\psi .$$

Таким образом, задача сводится к редукции произведения представлений группы $SL(2,\mathbf{C})$. Решение этой задачи дано в серии статей Наймарка [35].
Приложение А. Ортонормированный базис в пространстве ${\mathcal{L}}^2(R)$

Покажем, что для заданных $x\in (0,1),l\in \{0,1,2,\dots \}$ ортонормированный базис в пространстве ${\mathcal{L}}^2(\mathbf{R})$ определяется следующим образом:
$$\begin{array}{c}{K}_{\mu }^{\alpha ,l}(\lambda )\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(1+l+x/2-i\lambda )}{\sqrt{2\pi }}{2}^{1+l+x/2}{\left[\frac{(\mu +l+x)!}{(\mu -l-1)!}\right]}^{1/2}\frac{1}{(2l+x+1)!}\times \\ \times F(1+l-\mu ,1+l+x/2+i\lambda ;2l+x+2;2),\\ \mu =l+1,l+2,\dots .\text{ (A.1) }\end{array}$$

В силу рекурсивных формул Гаусса для гипергеометрических функций (Бейтмен и Эрдейи [23], стр. 111) для функций $K_{\mu }^{\chi ,l}$ выполняются следующие соотношения:
$$\begin{array}{l}2i\lambda K_{\mu }^{\chi ,l}(\lambda )=\sqrt{(\mu -l-1)(\mu +l+x)}{K}_{\mu -1}^{\alpha ,l}(\lambda )-\\ -\sqrt{(\mu -l)(\mu +l+x+1)}{K}_{\mu +1}^{x,l}(\lambda ),\\ K_{l+1}^{\chi ,l}(\lambda )=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+l+x/2-i\lambda )}{\sqrt{2\pi (2l+x+1)!}}{2}^{1+l+\alpha /2},K_l^{x,l}(\lambda )\equiv 0.\end{array}$$

Используя ортонормированный базис
$$\begin{array}{l}\{{\psi }_{\mu }^{\prime ,l_1,+}:{\psi }_{\mu }^{,\alpha ,l,+}(z)=\\ ={\left[\frac{(\mu +l+x)!}{(\mu -l-1)!}\right]}^{1/2}{z}^{\mu +x},\mu =l+1,l+2,\dots \}\end{array}$$
внутри единичного круга и имеющих нуль порядка $l+x+1$ или выше при $z=0$, со скалярным произведением

построим производящую функцию
$$w_{+,\lambda }^{\chi ,l}(z)\equiv \sum _{\mu =l+1}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_{\mu }^{\prime x,l,+}(z)K_{\mu }^{\alpha ,l}(\lambda {)}^{\ast }.$$

Как можно показать с помощью рекуррентного соотношения (А.2), эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$\begin{array}{c}(1-z{)}^2\frac{d}{dz}{w}_{+,\lambda }^{x,l}(z)=[(l+x+1)z^{-1}+(l+1)z+2i\lambda ]w_{+,\lambda }^{x,l}(z),\\ {z^{-l-x-1}{w}_{+,\lambda }^{x,l}(z)|}_{z=0}=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+l+x/2+i\lambda )}{\sqrt{2\pi }}{2}^{1+l+x/2}\end{array}$$
решение которого имеет вид
$$\begin{array}{l}{w}_{+,\lambda }^{x,l}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+l+x/2+i\lambda )}{\sqrt{2\pi }}{z}^{1+l+x}\times \\ \times {\left(\frac{1-z}{\sqrt{2}}\right)}^{-1-l-x/2-i\lambda }{\left(\frac{1+z}{\sqrt{2}}\right)}^{-1-l-x/2+i\lambda }.\end{array}$$

Интеграл
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}d\lambda w_{+,\lambda }^{x,l}\left(z^{\prime }\right)w_{+,\lambda }^{x,l}(z{)}^{\ast }$$

по существу представляет собой преобразование Меллина квадрата модуля гамма-функции и дает ядро, отвечающее единичному оператору в пространстве ${\mathcal{S}}_{SU(1,1)}^{\prime x,l,+}$ [см. формулу (1.3.52)]:
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}d\lambda w_{+,\lambda }^{\alpha ,l}\left(z^{\prime }\right)w_{+,\lambda }^{\alpha ,l}(z{)}^{\ast }& =K^{\chi ,l,+}(z^{\prime },z)=\\ & =\sum _{\mu =l+1}^{\mathrm{\infty }}{\psi }_{\mu }^{\prime x,l,+}\left(z^{\prime }\right){\psi }_{\mu }^{\prime \mu ,l,+}(z{)}^{\ast }\end{array}$$

Подставляя в левую часть формулу (А.5) и приравнивая коэффициенты разложения, получаем условия ортогональности и нормировки
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}d\lambda K_{{\mu }^{\prime }}^{\chi ,l}(\lambda {)}^{\ast }{K}_{\mu }^{\chi ,l}(\lambda )={\delta }_{{\mu }^{\prime }\mu }.$$

Чтобы доказать полноту системы функций $\{K_{\mu }^{x,l}:\mu =l+1$, $l+2,\dots \}$ в пространстве ${\mathcal{L}}^2(\mathbf{R})$, покажем, что функция, ортогональная всем функциям $K_{\mu }^{x,l}$, равна нулю. Первый параметр гипергеометрической функции в формуле (A.1) принимает целые отрицательные значения. Таким образом, гипергеометрическая функция сводится к полиному по переменной $\lambda$ степени $\mu -l-1$, который связан с полиномами Поллачека (см. работу [36]). Поэтому достаточно показать, что элемент пространства ${\mathcal{L}}^2(\mathbf{R})$, ортогональный всем функциям $f_n:f_n(\lambda )=\mathrm{\Gamma }(1+l+1/2x-i\lambda ){\lambda }^n$, $n=0,1,2,\dots$, равен нулю. Пусть функция $f$ ортогональна всем $f_n$. В силу асимптотического условия
$$|\mathrm{\Gamma }(1+l+x/2-i\lambda ){|}^2\approx |\lambda {|}^{2l+x+1}{e}^{-\pi |\lambda |},|\lambda |\to \mathrm{\infty },$$

функция
$$g_z:g_z(\lambda )=\mathrm{\Gamma }(1+l+x/2-i\lambda )e^{iz\lambda }$$
при всех $z$, лежащих в полосе , принадлежит пространству ${\mathcal{L}}^2(\mathbf{R})$. Тогда скалярное произведение
$$F(z)\equiv {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}d\lambda f(\lambda {)}^{\ast }\mathrm{\Gamma }(1+l+\chi /2-i\lambda )e^{iz\lambda }$$

существует для всех $z$ из этой полосы и является там голоморфной функцией. Из нашего предположения о виде функции f следует
$$\frac{d^n}{d{z}^n}F(0)=0,n=0,1,2,\dots$$

При этом $F\equiv 0$ и $f(\lambda )=0$ почти для всех $\lambda$.
Приложение Б. Знаковый множитель $\epsilon (\omega ,A)$
Рассмотрим знаковый множитель в формуле (2.5.53):
$$\epsilon (\omega ,A)\equiv {\omega }^{-1/2}{\zeta }_A(\omega )(\omega \overline{A}{)}^{1/2},{\zeta }_A(\omega )\equiv (\omega A_{12}+A_{22})/\mid \omega A_{12}+A_{22}!$$

Здесь $\omega \in \partial K,A\in SU(1,1)$. Знак квадратного кория определен так:

В силу равенства
$$\epsilon (\omega ,A{)}^2={\zeta }_A(\omega {)}^2\frac{\omega \overline{A}}{\omega }=1,$$

множитель $\epsilon (\omega ,A)$ принимает только значения $\pm 1$. Величина $\omega \overline{A}$, как и $\omega$, пробегает границу единичного круга, причем в том же направлении, и принимает значение -1 при
$$\omega ={\omega }_{-}\equiv -(A_{22}+A_{21})/(A_{11}+A_{12}),{\omega }_{-}A=-1.$$

Согласно формулам (Б.2) и (Б.3),
$$\begin{array}{l}\arg (\omega \overline{A})=\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega ))+\\ +\{\begin{array}{ccc}-2\pi & \text{ при }& \pi ⩽\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega )),\\ 0& \text{ при }& -\pi ⩽\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega ))& lt;\pi ,\\ 2\pi & \text{ при }& \arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega ))& lt;-\pi .\end{array}\end{array}$$  $\mathrm{\Phi }$
Так как $\arg (\omega \overline{A})⩾\arg \left({\omega }_{-}\overline{A}\right)=-\pi$ при $\arg \omega ⩾\arg {\omega }_{-}$, то из формулы (Б.5) следует
$$\begin{array}{l}\arg (\omega \overline{A})=\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega ))+\\ +\{\begin{array}{lll}-2\pi & \text{ при }& \pi ⩽\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega )),\\ 0& \text{ при }& -\pi ⩽\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega ))& lt;\pi .\end{array}\end{array}$$

Когда $\omega$ стремится к ${\omega }_{-}$из области , в обоих случаях
$$\arg \left({\omega }_{-}\right)-2\arg \left({\zeta }_A\left({\omega }_{-}\right)\right)=\{\begin{array}{l}+\pi ,\\ -\pi .\end{array}$$

Так как , то из этого вытекает альтернатива

Поэтому вместо равенства (Б.6) можно записать
$$\begin{array}{l}\arg (\omega \overline{A})=\arg (\omega )-2\arg ({\zeta }_A(\omega ))+\\ +\{\begin{array}{cccc}-2\pi & \text{ при }& -\pi ⩽\arg \left({\zeta }_A\left({\omega }_{-}\right)\right)& lt;0,\\ 0& \text{ при }& 0⩽\arg \left({\zeta }_A\left({\omega }_{-}\right)\right)& lt;\pi ,\end{array}\end{array}$$

если . Это и фиксирует знак множителя ${\mathit{\epsilon }}^{\prime }(\omega ,A)$, и, согласно определению (Б.1), мы имеем
$$\epsilon (\omega ,A)=\{\begin{array}{lll}+\mathrm{sign}\mathrm{Im}(A_{11}+A_{12})& \text{ при }& \omega \in \overline{-1,{\omega }_{-}},\\ -\mathrm{sign}\mathrm{Im}(A_{11}+A_{12})& \text{ при }& \omega \in \overline{{\omega }_{-},-1}.\end{array}$$

Так как
$$\begin{array}{c}{\omega }_{\pm }(\mathrm{\Gamma }A)=-{\omega }_{\pm }(A),(\mathrm{\Gamma }A{)}_{11}+(\mathrm{\Gamma }A{)}_{12}=i(A_{11}+A_{12}),\\ \mathrm{\Gamma }\equiv i{\sigma }_3=\left(\begin{array}{rr}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)\in SU(1,1),\end{array}$$

то из формулы (Б.10) следует
$$\mathit{\epsilon }(-\omega ,\mathrm{\Gamma }A)=\{\begin{array}{rll}\mathrm{sign}\mathrm{Re}(A_{11}+A_{12})& \text{ при }& \omega \in \overline{1,{\omega }_{-}},\\ -\mathrm{sign}\mathrm{Re}(A_{11}+A_{12})& \text{ при }& \omega \in \overline{{\omega }_{-},1}.\end{array}$$

Используя соотношение
$$2\mathrm{Re}(A_{11}\pm A_{12})\mathrm{Im}(A_{11}\pm A_{12})=\pm {|A_{11}+A_{12}|}^2\mathrm{Im}{\omega }_{\mp },$$

получаем окончательно
$$\epsilon (-\omega ,\mathrm{\Gamma }A)/\epsilon (\omega ,A)=\mathrm{sign}\mathrm{Im}\omega .$$
Это равенство можно записать в виде
$$\epsilon (-\omega ,\mathrm{\Gamma }A)/\epsilon (\omega ,A)={\tau }^{\prime }\text{ при }\omega \in \partial K_{{\tau }^{\prime }\tau }(A),$$

так как $\partial K_{{\tau }^{\prime }\tau }(A)\subset \overline{{\tau }^{\prime },-{\tau }^{\prime }}$. Кроме того, поскольку
$${\omega }_{\pm }\left(A{\mathrm{\Gamma }}^{-1}\right)={\omega }_{\mp }(A),{\left(A{\mathrm{\Gamma }}^{-1}\right)}_{11}+{\left(A{\mathrm{\Gamma }}^{-1}\right)}_{12}=-i(A_{11}-A_{12}),$$

то, используя формулу (Б.10), получаем
$$\epsilon (\omega ,A{\mathrm{\Gamma }}^{-1})=\{\begin{array}{rrr}-\mathrm{sign}\mathrm{Re}(A_{11}-A_{12})& \text{ при }& \omega \in \overline{-1,{\omega }_{+}},\\ \mathrm{sign}\mathrm{Re}(A_{11}-A_{12})& \text{ при }& \omega \in \overline{{\omega }_{+},-1.}\end{array}$$

С помощью формул
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Re}(A_{11}+A_{12})\mathrm{Re}(A_{11}-A_{12})& -\mathrm{Im}(A_{11}+A_{12})\mathrm{Im}(A_{11}-A_{12})=\\ & =\frac{1}{2}{|A_{11}^2-A_{12}^2|}^2\mathrm{Re}({\omega }_{+}-{\omega }_{-}),\end{array}$$
$$\mathrm{Re}(A_{11}+A_{12})\mathrm{Re}(A_{11}-A_{12})+\mathrm{Im}(A_{11}+A_{12})\mathrm{Im}(A_{11}-A_{12})=1\text{, }$$

а также формулы (Б.13) можно показать, что точка — 1 принадлежит дуге ${\omega }_{\tau },{\omega }_{-\tau }$, если sign $\mathrm{Re}(A_{11}-A_{12})=-\tau \mathrm{sign}\mathrm{Im}X$ $X(A_{11}+A_{12})$. Так как, кроме того, дугу $\overline{{\omega }_{\tau },{\omega }_{-\tau }}$, содержащую точку -1 , можно представить в виде
$$\overline{(-1,{\omega }_{+}}\cap \overline{-1,{\omega }_{-})}\cup \overline{({\omega }_{+},-1}\cap \overline{{\omega }_{-},-1)},$$

то из формул (Б.10) и (Б.17) следует
$$\epsilon (\omega ,A{\mathrm{\Gamma }}^{-1})/\epsilon (\omega ,A)=\tau \text{ при }\omega \in \overline{{\omega }_{\tau },{\omega }_{-\tau }},$$

или, поскольку $\partial K_{{\tau }^{\prime }\tau }(A)\subset \overline{{\omega }_{\tau },{\omega }_{-\tau }}$, получаем эквивалентную формулу
$$\epsilon (\omega ,A{\mathrm{\Gamma }}^{-1})/\epsilon (\omega ,A)=\tau \text{ при }\omega \in \partial K_{{\tau }^{\prime }\tau }(A).$$

Наконец, из формулы (Б.10) следует условие симметрии
$$\epsilon (1/\omega ,A^{\ast })=\epsilon (\omega ,A).$$