Согласно формулам (3.1), (3.4) и (1.1.16), представление $U^{1,2} \equiv U^{0, \rho_{1}} \otimes U^{p, \rho_{2}}$ имеет вид
\[
\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)(p)=e^{i p \cdot a} U_{S L(2, \mathrm{c})}^{\rho_{1}}(A) \otimes U_{G(p)}^{\rho_{2}}(R(p ; A)) \psi\left(\Lambda(A)^{-1} p\right) .
\]

Далее мы опишем построение, приводящее к редукции представления $U^{1,2}$. Однако задачи редукции для унитарных представлений малых групп, которые при этом появляются, не решены в явном виде. Известная нам литература по этому вопросу будет указана.
Пусть $\stackrel{\circ}{p}_{2}
eq 0$. Тогда унитарным преобразованием
\[
\psi \rightarrow \psi^{\prime}: \psi^{\prime}(p)=\left(U_{S L(2, \mathrm{C})}^{\rho_{1}}\left(A(p)^{-1}\right) \otimes \mathbf{I}_{\left.\tilde{\Phi}_{a(\rho)}^{\rho_{1}}\right)}\right) \psi(p)
\]

представление $U^{1,2}$ переводится в представление $U^{\prime 1,2}$, где $\left(U^{\prime 1,2}(A, a) \psi^{\prime}\right)(p) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)^{\prime}(p)=$
\[
=e^{i p \cdot a} U_{S L(2, \mathrm{c})}^{\rho_{1}}(R(p ; A)) \otimes U_{a(p)}^{\rho_{2}}(R(p ; A)) \psi^{\prime}\left(\Lambda(A)^{-1} p\right),
\]

которое имеет вид представления группы $\tilde{P}$, индуцированного шению проблемы редукции для представления $U^{1,2}$ приводит выполнение следующих этапов.
1. С помощью унитарного преобразования $\ddot{A}^{0_{1}}$ пространство $\mathfrak{F}_{S L(2, \text { с) }}^{\mathrm{O}_{1}}$ отображается на гильбертово пространство
\[
\ddot{A}^{\rho_{1}} \mathscr{S}_{S L(2, \mathrm{C})}^{\rho_{1}}=\otimes \int_{\widehat{G}(\rho)} \sqrt{d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho)} \mathfrak{F}_{\rho}^{\rho_{1}} \otimes \mathscr{F}_{G(\rho)}^{\rho},
\]

в котором сужение $U_{S L(\%, c)}^{\rho_{1}} \mid G(\stackrel{\circ}{p})$ разлагается в прямой интеграл от унитарных представлений группы $G(\stackrel{\circ}{p})$, входящих с кратностями, которые определяются размерностью пространства $\mathfrak{F}_{\rho}^{\rho_{1}}$.
\[
\ddot{A}^{\rho_{1}} U_{S L(2, C)}^{\rho_{1}} \mid G(\stackrel{\circ}{p})\left[\ddot{A}^{\rho_{1}}\right]^{-1}=\oplus \int_{\widehat{G}(\rho)} d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho)\left(\mathbf{I}_{\tilde{\varphi}_{\rho}^{\rho_{1}}} \otimes U_{G(\rho)}^{\rho}\right) .
\]

Мера $\tilde{\mu}_{\rho_{1}}$ на множестве $\hat{G}(\stackrel{\circ}{p})$ классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений группы $G(\stackrel{\circ}{p})$ единственна с точностью до преобразования эквивалентности. Далее гильбертово пространство
\[
\ddot{A}^{\rho_{1}} \mathfrak{F}_{S L(2, \mathrm{c})}^{\mathrm{O}_{1}} \otimes \mathfrak{F}_{G(\rho)}^{\rho_{2}}=\left[\oplus \int_{\widehat{G}(\rho)} \sqrt{d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho)}\left(\tilde{F}_{\rho}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{F}_{G(\rho)}^{0}\right)\right] \otimes \mathfrak{F}_{G(\rho)}^{\rho_{2}}
\]

посредством преобразования унитарно отображается на гильбертово пространство
\[
\tilde{\mathcal{H}}^{1,2} \equiv \bigoplus \int_{\widehat{G}(\rho)} \sqrt{d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho)}\left(\mathfrak{F}_{\rho}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{S}_{G(\rho)}^{\rho} \otimes \mathcal{F}_{G(\rho)}^{\rho_{2}}\right)
\]
(см. в связи с этим книгу Диксмийе [30]). При этом представление $U^{1,2}$, заданное формулой (3.3.3), переходит в представление
\[
\begin{array}{l}
\left(\tilde{U}^{1,2}(A, a) \tilde{\psi}\right)(p) \equiv\left(U^{1,2}(A ; a) \psi\right)^{\sim}(p)= \\
=e^{i p \cdot a} \oplus \int_{\widehat{\sigma}(\rho)} d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho)\left[\mathbf{I}_{\mathfrak{\varsigma}_{\rho}^{\rho_{1}}} \otimes U_{G(p)}^{\mathrm{p}}(R(p ; A)) \otimes\right. \\
\left.\otimes U_{G(p)}^{\rho_{2}}(R(p ; A))\right] \tilde{\psi}\left(\Lambda(A)^{-1} p\right) .
\end{array}
\]
2. Посредством унитарного преобразования $\ddot{A}^{\rho \rho_{2}}$ произведение $\mathfrak{Y}_{G(p)}^{\rho} \otimes \mathfrak{F}_{G(\rho)}^{\rho_{l}}$ отображается на гильбертово пространство

в котором произведение представлений $U_{G(p)}^{\rho} \otimes U_{G(p)}^{\rho_{2}}$ разлагается в прямой интеграл неприводимых унитарных представлений $U_{G(\rho)}^{\rho^{\prime}}$ группы $G(\stackrel{\circ}{p})$, каждое из которых входит с кратностью, заданной размерностью пространства $\mathfrak{J}_{\rho^{\prime}}^{\rho \rho_{2}}$ :
\[
\oplus \int_{\widehat{G}(p)} d \tilde{\mu}_{\rho \rho_{2}}\left(\rho^{\prime}\right)\left(\mathbf{I}_{\mathfrak{\Phi}_{\rho^{\prime}}^{\rho \rho_{2}}} \otimes U_{G(p)}^{\rho^{\prime}}\right) .
\]

Мера $\tilde{\boldsymbol{\mu}}_{\rho \rho_{2}}$ на множестве $\widehat{G}(\stackrel{\circ}{p})$ вновь определена однозначно с точностью до эквивалентности. Поэтому с помощью преобразования
\[
\oplus \int_{G(\rho)} d \tilde{\mu}_{\rho_{i}}(\rho)\left(\mathbf{I}_{\mathfrak{s}_{\rho}} \rho_{i} \otimes \ddot{A}^{\rho \rho_{2}}\right)
\]

гильбертово пространство $\tilde{\mathscr{I}}^{1,2}$ в формуле (3.3.8) унитарно отображается на гильбертово пространство вида
\[
\widehat{J}^{1,2}=\otimes \int_{\hat{\sigma}(\rho)} \sqrt{d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho)} \oplus \int_{\hat{\sigma}(\rho)} d \hat{\mu}_{\rho \rho_{2}}\left(\rho^{\prime}\right)\left(\mathscr{F}_{\rho}^{\rho_{1}} \otimes \mathscr{F}_{\rho^{\prime}}^{\rho \rho_{2}} \otimes \mathscr{F}_{O(\rho)}^{\rho^{\prime}}\right) .
\]
Переводя представление $U^{1,2}$ в формуле (3.3.9) в пространство $\widehat{\mathcal{S}}^{1,2}$, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(\hat{U}^{1,2}(A, a) \hat{\psi}\right)(p) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)^{\Lambda}(p)= \\
=e^{i p \cdot a} \oplus \int_{\widehat{\sigma}(\stackrel{\circ}{\circ})} d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho) \oplus \int_{\widehat{\sigma}(\stackrel{\circ}{p})} d \tilde{\mu}_{\rho \rho_{\mathbf{s}}}\left(\rho^{\prime}\right) \times \\
\times\left[\mathbf{I}_{\mathfrak{F}_{\rho}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{\Phi}_{\rho^{\prime}}^{\rho \rho_{2}}} \otimes U_{G(\rho)}^{\rho^{\prime}}(R(p ; A))\right] \hat{\psi}\left(\Lambda(A)^{-1} p\right)= \\
=\oplus \int_{\widehat{\sigma}(\rho)} d \tilde{\mu}_{\rho_{1}}(\rho) \oplus \int_{a(\stackrel{\circ}{p})} d \tilde{\mu}_{\rho \rho_{2}}\left(\rho^{\prime}\right) \times \\
X\left[\left(\mathbf{I}_{\mathfrak{q}_{\rho} \rho_{1}} \otimes \mathfrak{F}_{\rho^{\prime}}^{\rho \rho_{2}} \otimes U^{\stackrel{\circ}{p} \rho^{\prime}}(A, a)\right) \hat{\psi}\right](p) . \\
\end{array}
\]

Иными словами, в пространстве $\widehat{ू}^{1,2}$ представление $U^{1,2}$ группы $\widetilde{P}$ разлагается в прямой интеграл от неприводимых унитарных представлений $U^{p, \rho^{\prime}}$ этой группы.

Указанные выше преобразования эквивалентности: $\ddot{A}^{\rho_{1}}$ для сужения унитарных представлений группы $S L(2, \mathbf{C})$ на подгруппу $G(\stackrel{\circ}{p})$ и $\ddot{A}^{\rho_{2}}$ для произведения представлений группы $G(p)$, частично можно найти в литературе. Для импульсов $\stackrel{\circ}{p} \in$ $\in\left\{ \pm m e_{(0)}: m>0\right\}$, таких, что $G(p)=S U(2)$, редукция сужения $U_{S U(2, \mathrm{c})}^{\rho_{1}} \mid S U(2)$ проделана в книге Наймарка [18], а редукция произведения представлений группы $S U(2)$ приводит к общеизвестным рядам Клебша – Гордана для этой группы (см., например, статью Баргмана [15]). Для случая $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{n e_{(3)}: n>0\right\}$, т. е. $G(p)=S U(1,1)$, редукция сужения $U_{S L(2, \mathrm{c})}^{\rho_{1}} \mid S U(1,1)$ произведена в работах Рюля [31], Шарино, Толлера [32] и Мукунда [33]. Коэффициенты Клебша – Гордана для группы $S U(1,1)$ вычислены в работе Хольмана и Биденхарна [34]. Для случая $\stackrel{\circ}{p} \in\left\{ \pm\left(e_{(0)}+e_{(3)}\right)\right\}$, т. е. $G(\stackrel{\circ}{p})=E(2)$, эта проблема решена Шаафом [37].
В случае $\stackrel{\circ}{p}=0$ представление (3.3.1) имеет вид
\[
U^{1,2}(A, a) \psi=U_{S L(2, \mathrm{c})}^{\rho_{1}}(A) \otimes U_{S L(2, \mathrm{c})}^{\rho_{2}}(A) \psi .
\]

Таким образом, задача сводится к редукции произведения представлений группы $S L(2, \mathbf{C})$. Решение этой задачи дано в серии статей Наймарка [35].
Приложение А. Ортонормированный базис в пространстве $\mathscr{L}^{2}(R)$

Покажем, что для заданных $x \in(0,1), l \in\{0,1,2, \ldots\}$ ортонормированный базис в пространстве $\mathscr{L}^{2}(\mathbf{R})$ определяется следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
K_{\mu}^{\alpha, l}(\lambda) \equiv \frac{\Gamma(1+l+x / 2-i \lambda)}{\sqrt{2 \pi}} 2^{1+l+x / 2}\left[\frac{(\mu+l+x) !}{(\mu-l-1) !}\right]^{1 / 2} \frac{1}{(2 l+x+1) !} \times \\
\times F(1+l-\mu, 1+l+x / 2+i \lambda ; 2 l+x+2 ; 2), \\
\mu=l+1, l+2, \ldots . \quad \text { (A.1) }
\end{array}
\]

В силу рекурсивных формул Гаусса для гипергеометрических функций (Бейтмен и Эрдейи [23], стр. 111) для функций $K_{\mu}^{\chi, l}$ выполняются следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
2 i \lambda K_{\mu}^{\chi, l}(\lambda)=\sqrt{(\mu-l-1)(\mu+l+x)} K_{\mu-1}^{\alpha, l}(\lambda)- \\
-\sqrt{(\mu-l)(\mu+l+x+1)} K_{\mu+1}^{x, l}(\lambda), \\
K_{l+1}^{\chi, l}(\lambda)=\frac{\Gamma(1+l+x / 2-i \lambda)}{\sqrt{2 \pi(2 l+x+1) !}} 2^{1+l+\alpha / 2}, \quad K_{l}^{x, l}(\lambda) \equiv 0 . \\
\end{array}
\]

Используя ортонормированный базис
\[
\begin{array}{l}
\left\{\psi_{\mu}^{\prime, l_{1},+}: \psi_{\mu}^{, \alpha, l,+}(z)=\right. \\
\left.\quad=\left[\frac{(\mu+l+x) !}{(\mu-l-1) !}\right]^{1 / 2} z^{\mu+x}, \quad \mu=l+1, l+2, \ldots\right\}
\end{array}
\]
внутри единичного круга и имеющих нуль порядка $l+x+1$ или выше при $z=0$, со скалярным произведением
\[
\langle\psi \mid \varphi\rangle^{\prime} \equiv \int_{|z|<1} \frac{d x d y}{\pi(2 l+x) !}\left(1+|z|^{2}\right)^{2 l+x}|z|^{-2 l-2 x-2} \psi(z)^{*} \varphi(z),
\]

построим производящую функцию
\[
w_{+, \lambda}^{\chi, l}(z) \equiv \sum_{\mu=l+1}^{\infty} \psi_{\mu}^{\prime x, l,+}(z) K_{\mu}^{\alpha, l}(\lambda)^{*} .
\]

Как можно показать с помощью рекуррентного соотношения (А.2), эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\begin{array}{c}
(1-z)^{2} \frac{d}{d z} w_{+, \lambda}^{x, l}(z)=\left[(l+x+1) z^{-1}+(l+1) z+2 i \lambda\right] w_{+, \lambda}^{x, l}(z), \\
\left.z^{-l-x-1} w_{+, \lambda}^{x, l}(z)\right|_{z=0}=\frac{\Gamma(1+l+x / 2+i \lambda)}{\sqrt{2 \pi}} 2^{1+l+x / 2}
\end{array}
\]
решение которого имеет вид
\[
\begin{array}{l}
w_{+, \lambda}^{x, l}(z)=\frac{\Gamma(1+l+x / 2+i \lambda)}{\sqrt{2 \pi}} z^{1+l+x} \times \\
\times\left(\frac{1-z}{\sqrt{2}}\right)^{-1-l-x / 2-i \lambda}\left(\frac{1+z}{\sqrt{2}}\right)^{-1-l-x / 2+i \lambda} .
\end{array}
\]

Интеграл
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} d \lambda w_{+, \lambda}^{x, l}\left(z^{\prime}\right) w_{+, \lambda}^{x, l}(z)^{*}
\]

по существу представляет собой преобразование Меллина квадрата модуля гамма-функции и дает ядро, отвечающее единичному оператору в пространстве $\mathscr{S}_{S U(1,1)}^{\prime x, l,+}$ [см. формулу (1.3.52)]:
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty} d \lambda w_{+, \lambda}^{\alpha, l}\left(z^{\prime}\right) w_{+, \lambda}^{\alpha, l}(z)^{*} & =K^{\chi, l,+}\left(z^{\prime}, z\right)= \\
& =\sum_{\mu=l+1}^{\infty} \psi_{\mu}^{\prime x, l,+}\left(z^{\prime}\right) \psi_{\mu}^{\prime \mu, l,+}(z)^{*}
\end{aligned}
\]

Подставляя в левую часть формулу (А.5) и приравнивая коэффициенты разложения, получаем условия ортогональности и нормировки
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} d \lambda K_{\mu^{\prime}}^{\chi, l}(\lambda)^{*} K_{\mu}^{\chi, l}(\lambda)=\delta_{\mu^{\prime} \mu} .
\]

Чтобы доказать полноту системы функций $\left\{K_{\mu}^{x, l}: \mu=l+1\right.$, $l+2, \ldots\}$ в пространстве $\mathscr{L}^{2}(\mathbf{R})$, покажем, что функция, ортогональная всем функциям $K_{\mu}^{x, l}$, равна нулю. Первый параметр гипергеометрической функции в формуле (A.1) принимает целые отрицательные значения. Таким образом, гипергеометрическая функция сводится к полиному по переменной $\lambda$ степени $\mu-l-1$, который связан с полиномами Поллачека (см. работу [36]). Поэтому достаточно показать, что элемент пространства $\mathscr{L}^{2}(\mathbf{R})$, ортогональный всем функциям $f_{n}: f_{n}(\lambda)=\Gamma(1+l+1 / 2 x-i \lambda) \lambda^{n}$, $n=0,1,2, \ldots$, равен нулю. Пусть функция $f$ ортогональна всем $f_{n}$. В силу асимптотического условия
\[
|\Gamma(1+l+x / 2-i \lambda)|^{2} \approx|\lambda|^{2 l+x+1} e^{-\pi|\lambda|}, \quad|\lambda| \rightarrow \infty,
\]

функция
\[
g_{z}: g_{z}(\lambda)=\Gamma(1+l+x / 2-i \lambda) e^{i z \lambda}
\]
при всех $z$, лежащих в полосе $|\operatorname{Im} z|<\frac{1}{2} \pi$, принадлежит пространству $\mathscr{L}^{2}(\mathbf{R})$. Тогда скалярное произведение
\[
F(z) \equiv \int_{-\infty}^{+\infty} d \lambda f(\lambda)^{*} \Gamma(1+l+\chi / 2-i \lambda) e^{i z \lambda}
\]

существует для всех $z$ из этой полосы и является там голоморфной функцией. Из нашего предположения о виде функции f следует
\[
\frac{d^{n}}{d z^{n}} F(0)=0, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

При этом $F \equiv 0$ и $f(\lambda)=0$ почти для всех $\lambda$.
Приложение Б. Знаковый множитель $\varepsilon(\omega, A)$
Рассмотрим знаковый множитель в формуле (2.5.53):
\[
\varepsilon(\omega, A) \equiv \omega^{-1 / 2} \zeta_{A}(\omega)(\omega \bar{A})^{1 / 2}, \zeta_{A}(\omega) \equiv\left(\omega A_{12}+A_{22}\right) / \mid \omega A_{12}+A_{22} !
\]

Здесь $\omega \in \partial K, A \in S U(1,1)$. Знак квадратного кория определен так:
\[
\omega^{1 / 2}=e^{i \arg \omega / 2}, \quad-\pi \leqslant \arg (\omega)<\pi .
\]

В силу равенства
\[
\varepsilon(\omega, A)^{2}=\zeta_{A}(\omega)^{2} \frac{\omega \bar{A}}{\omega}=1,
\]

множитель $\varepsilon(\omega, A)$ принимает только значения $\pm 1$. Величина $\omega \bar{A}$, как и $\omega$, пробегает границу единичного круга, причем в том же направлении, и принимает значение -1 при
\[
\omega=\omega_{-} \equiv-\left(A_{22}+A_{21}\right) /\left(A_{11}+A_{12}\right), \quad \omega_{-} A=-1 .
\]

Согласно формулам (Б.2) и (Б.3),
\[
\begin{array}{l}
\arg (\omega \bar{A})=\arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right)+ \\
\quad+\left\{\begin{array}{ccc}
-2 \pi & \text { при } & \pi \leqslant \arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right), \\
0 & \text { при } & -\pi \leqslant \arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right)<\pi, \\
2 \pi & \text { при } & \arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right)<-\pi .
\end{array}\right.
\end{array}
\]  $\Phi$
Так как $\arg (\omega \bar{A}) \geqslant \arg \left(\omega_{-} \bar{A}\right)=-\pi$ при $\arg \omega \geqslant \arg \omega_{-}$, то из формулы (Б.5) следует
\[
\begin{array}{l}
\arg (\omega \bar{A})=\arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right)+ \\
\quad+\left\{\begin{array}{lll}
-2 \pi & \text { при } & \pi \leqslant \arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right), \\
0 & \text { при } & -\pi \leqslant \arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right)<\pi .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Когда $\omega$ стремится к $\omega_{-}$из области $\pi>\arg \omega \geqslant \arg \omega_{-}$, в обоих случаях
\[
\arg \left(\omega_{-}\right)-2 \arg \left(\zeta_{A}\left(\omega_{-}\right)\right)=\left\{\begin{array}{l}
+\pi, \\
-\pi .
\end{array}\right.
\]

Так как $-\pi \leqslant \arg \omega_{-}<\pi$, то из этого вытекает альтернатива

Поэтому вместо равенства (Б.6) можно записать
\[
\begin{array}{l}
\arg (\omega \bar{A})=\arg (\omega)-2 \arg \left(\zeta_{A}(\omega)\right)+ \\
\quad+\left\{\begin{array}{ccc}
-2 \pi & \text { при } & -\pi \leqslant \arg \left(\zeta_{A}\left(\omega_{-}\right)\right)<0, \\
0 & \text { при } & 0 \leqslant \arg \left(\zeta_{A}\left(\omega_{-}\right)\right)<\pi,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

если $\arg \omega_{-} \leqslant \arg \omega<\pi$. Это и фиксирует знак множителя $\boldsymbol{\varepsilon}^{\prime}(\omega, A)$, и, согласно определению (Б.1), мы имеем
\[
\varepsilon(\omega, A)=\left\{\begin{array}{lll}
+\operatorname{sign} \operatorname{Im}\left(A_{11}+A_{12}\right) & \text { при } & \omega \in \overline{-1, \omega_{-}}, \\
-\operatorname{sign} \operatorname{Im}\left(A_{11}+A_{12}\right) & \text { при } & \omega \in \overline{\omega_{-},-1} .
\end{array}\right.
\]

Так как
\[
\begin{array}{c}
\omega_{ \pm}(\Gamma A)=-\omega_{ \pm}(A), \quad(\Gamma A)_{11}+(\Gamma A)_{12}=i\left(A_{11}+A_{12}\right), \\
\Gamma \equiv i \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right) \in S U(1,1),
\end{array}
\]

то из формулы (Б.10) следует
\[
\boldsymbol{\varepsilon}(-\omega, \Gamma A)=\left\{\begin{array}{rll}
\operatorname{sign} \operatorname{Re}\left(A_{11}+A_{12}\right) & \text { при } & \omega \in \overline{1, \omega_{-}}, \\
-\operatorname{sign} \operatorname{Re}\left(A_{11}+A_{12}\right) & \text { при } & \omega \in \overline{\omega_{-}, 1} .
\end{array}\right.
\]

Используя соотношение
\[
2 \operatorname{Re}\left(A_{11} \pm A_{12}\right) \operatorname{Im}\left(A_{11} \pm A_{12}\right)= \pm\left|A_{11}+A_{12}\right|^{2} \operatorname{Im} \omega_{\mp},
\]

получаем окончательно
\[
\varepsilon(-\omega, \Gamma A) / \varepsilon(\omega, A)=\operatorname{sign} \operatorname{Im} \omega .
\]
Это равенство можно записать в виде
\[
\varepsilon(-\omega, \Gamma A) / \varepsilon(\omega, A)=\tau^{\prime} \text { при } \omega \in \partial K_{\tau^{\prime} \tau}(A),
\]

так как $\partial K_{\tau^{\prime} \tau}(A) \subset \overline{\tau^{\prime},-\tau^{\prime}}$. Кроме того, поскольку
\[
\omega_{ \pm}\left(A \Gamma^{-1}\right)=\omega_{\mp}(A),\left(A \Gamma^{-1}\right)_{11}+\left(A \Gamma^{-1}\right)_{12}=-i\left(A_{11}-A_{12}\right),
\]

то, используя формулу (Б.10), получаем
\[
\varepsilon\left(\omega, A \Gamma^{-1}\right)=\left\{\begin{array}{rrr}
-\operatorname{sign} \operatorname{Re}\left(A_{11}-A_{12}\right) & \text { при } & \omega \in \overline{-1, \omega_{+}}, \\
\operatorname{sign} \operatorname{Re}\left(A_{11}-A_{12}\right) & \text { при } & \omega \in \overline{\omega_{+},-1 .}
\end{array}\right.
\]

С помощью формул
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Re}\left(A_{11}+A_{12}\right) \operatorname{Re}\left(A_{11}-A_{12}\right) & -\operatorname{Im}\left(A_{11}+A_{12}\right) \operatorname{Im}\left(A_{11}-A_{12}\right)= \\
& =\frac{1}{2}\left|A_{11}^{2}-A_{12}^{2}\right|^{2} \operatorname{Re}\left(\omega_{+}-\omega_{-}\right),
\end{aligned}
\]
\[
\operatorname{Re}\left(A_{11}+A_{12}\right) \operatorname{Re}\left(A_{11}-A_{12}\right)+\operatorname{Im}\left(A_{11}+A_{12}\right) \operatorname{Im}\left(A_{11}-A_{12}\right)=1 \text {, }
\]

а также формулы (Б.13) можно показать, что точка – 1 принадлежит дуге $\omega_{\tau}, \omega_{-\tau}$, если sign $\operatorname{Re}\left(A_{11}-A_{12}\right)=-\tau \operatorname{sign} \operatorname{Im} X$ $X\left(A_{11}+A_{12}\right)$. Так как, кроме того, дугу $\overline{\omega_{\tau}, \omega_{-\tau}}$, содержащую точку -1 , можно представить в виде
\[
\overline{\left(-1, \omega_{+}\right.} \cap \overline{\left.-1, \omega_{-}\right)} \cup \overline{\left(\omega_{+},-1\right.} \cap \overline{\left.\omega_{-},-1\right)},
\]

то из формул (Б.10) и (Б.17) следует
\[
\varepsilon\left(\omega, A \Gamma^{-1}\right) / \varepsilon(\omega, A)=\tau \text { при } \omega \in \overline{\omega_{\tau}, \omega_{-\tau}},
\]

или, поскольку $\partial K_{\tau^{\prime} \tau}(A) \subset \overline{\omega_{\tau}, \omega_{-\tau}}$, получаем эквивалентную формулу
\[
\varepsilon\left(\omega, A \Gamma^{-1}\right) / \varepsilon(\omega, A)=\tau \text { при } \omega \in \partial K_{\tau^{\prime} \tau}(A) .
\]

Наконец, из формулы (Б.10) следует условие симметрии
\[
\varepsilon\left(1 / \omega, A^{*}\right)=\varepsilon(\omega, A) .
\]