В разд. 2.7 и 2.8 мы пользовались спином главным образом как новой степенью свободы для электрона. Эта новая степень свободы может принимать два дискретных значения (физики часто говорят, что спин направлен „вверх“ или „вниз“). Соответствующее гильбертово пространство $\mathscr{K}_{2}$ – пространство комплексных функций, определенных на множестве из двух элементов, 一 имеет размерность два. Гамильтоңиан атома (2.48) не зависит от этой спиновой степени свободы, т. е. имеет вид $H \otimes I$ и действует в пространстве $\oplus_{\lambda}\left(\mathscr{L}_{[]_{\lambda}}^{(n)} \otimes \mathscr{K}_{[]_{\lambda}^{c}}^{(n)}\right)$ [см. уравнение (2.50)]. Перестановки спинов $n$ электронов представляются операторами вида $I \otimes S(s)$, коммутирующими с оператором $H$. Поэтому собственные состояния оператора $H$ могут быть полностью определены схемой Юнга [ [ ] является атом гелия $(n=2)$. Множество состояний с [ ] $]_{\lambda}^{c}=$ $=[2]=\square$ называется парагелием, а с []$_{\lambda}^{c}=\left[1^{2}\right]=$ 日 – ортогелием. Поскольку $\operatorname{dim} \mathscr{K}_{\square}^{(2)}=3$, а $\operatorname{dim} \mathscr{K}_{\theta}^{(2)}=1$, состояния атома гелия [являющиеся тензорными произведениями $x \wedge y$ или $x \vee y$ различных $(x
eq y)$ состояний атома водорода] имеют статистический вес (например, в распределении Больцмана, описывающем термодинамическое равновесие), равный 3 для парагелия и 1 для ортогелия. Это объясняет, почему спектральные линии в первом случае в три раза интенсивнее, чем во втором. Используя результаты разд. 1.4 о соотношении между унитарными группами и группами перестановок, можно рассмотреть действие группы $U(2)$ на двумерном пространстве $\mathscr{K}_{2}^{(1)}$. С помощью факториального представления [ ] делить действие этой группы на пространстве $\mathscr{K}_{\mid{ }_{\lambda}^{c}}^{(n)}$. Ее действие на пространстве $\mathscr{G}^{(n)} \subset \mathscr{L}_{\mid]_{\lambda}^{(n)}} \otimes \mathscr{K}_{\mid \Gamma_{\lambda}^{c}}^{(n)}$ имеет вид $I \otimes \Theta D_{\mid \Gamma_{\lambda}^{c}}=$ $=I \otimes\left(\oplus D_{s}\right)$ и коммутирует с гамильтонианом $H \otimes I$.

Обе точки зрения формально эквивалентны и приводят к одинаковой классификации квантовых состояний, однако группа $S U(2) \subset U(2)$ имеет более глубокий смысл, который надо искать в эвклидовой или галилеевой инвариантности. Пусть $G$ – некая группа, а $\bar{G}$ – ее универсальная накрывающая, т. е. существует сюръективный гомоморфизм $\bar{Q} \xrightarrow{\pi} G$. (Қак мы видели в разд. 1.2, группа $\bar{G}$ является расширением группы относительности, которая действует как линейное представление на гильбертовом пространстве состояний.) Существует также сюръективный гомоморфизм $\bar{G} \xrightarrow{\varphi} S U(2)$. (В эвклидовом случае, например, $\bar{G}=R^{3} \square S U(2) ; \square$ равняется полупрямому произведению, а $S U(2)$ есть накрывающая группа группы вращений.) Это определяет действие группы $\vec{G}$ на пространстве $\mathscr{H}^{(1)}$, причем одночастичные состояния $\psi(\mathbf{x}, t ; \sigma) \in \mathscr{L}_{2}(\mathbf{x}, t) \otimes \mathscr{K}_{\sigma}$ преобразуются следующим образом:
\[
(U(\bar{g}) \psi)(\mathbf{x} t, \sigma)=\psi\left(\pi(\bar{g})^{-1} \cdot(x, t) ; \varphi(\bar{g})^{-1} \cdot \sigma\right) .
\]

Физики часто предпочитают записывать $\mathscr{H}^{(1)}$ в эквивалентной форме гильбертова пространства квадратично-интегрируемых функций $\psi_{\sigma}$ переменных ( $\mathbf{x}, t$ ) со значением в двумерном гильбертовом пространстве $\mathscr{K}_{\sigma}$. Уравнение (2.56) при этом принимает вид
\[
\left(U(\bar{g}) \psi_{\sigma}\right)(\mathbf{x}, t)=\sum_{\sigma^{\prime}=1,2} D_{1 / 2}(\varphi(\bar{g}))_{\sigma \sigma^{\prime}} \psi_{\sigma^{\prime}}\left(\pi(\bar{g})^{-1} \cdot(\mathbf{x}, t)\right) .
\]

Резюмируя, можно сказать, что спин связан с эвклидовой или галилеевой инвариантностью (по существу, с частью этой инвариантности, именно инвариантностью относительно вращений) и является внутренним моментом количества движения электрона. Значение $g=2$ для соответствующего внутреннего магнитного момента электрона обусловлено, однако, релятивистским эффектом.

Из сохранения момента количества движения следует только, что $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ (орбитальный момент + спин) является интегралом движения. В атомах величины $\mathbf{L}$ и $\mathbf{S}$ в хорошем приближении сохраняются по отдельности только потому, что гамильтониан $H$ не зависит от спинов [см. уравнение (2.48)].