В 1936 г. Вигнер [65] изучил приближение, в котором пренебрегают не только изоспиновой, но также и спиновой зависимостью ядерных сил. В этом случае уравнения (3.7) и (3.8) можно заменить на
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}^{(1)} & =\mathscr{L}_{2}(\mathbf{x}, t) \otimes \mathscr{H}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\tau}, \\
O & =\mathcal{N} \otimes I \otimes I, \\
U(4) & =I \otimes U(4) .
\end{aligned}
\]

В этом приближении теория ядра инвариантна также относительно группы $U(4)$, действующей в четырехмерном пространстве $\mathscr{K}=\mathscr{K}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\tau}$. Уравнение (3.3) для гильбертова пространства состояний $A$ нуклонов можно тогда переписать в виде
\[
\mathscr{H}^{(A)}=\mathscr{H}_{[1]}^{(1)}=P_{[1]}{ }^{A]} \otimes_{\lambda}\left(\mathscr{L}_{2[\lambda]} \otimes \mathscr{K}_{[\lambda]^{c}}\right),
\]

Для наиболее стабильных состояний то свойство, что „остаточные\” двухчастичные силы являются силами притяжения (использованное в разд. 3.2), предполагает, что состояние $[\lambda]$ как можно более симметрично, а $[\lambda]^{c}$ соответственно антисимметрично, т. е. его схема Юнга имеет четыре строки почти одинаковой длины:
\[
\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \lambda_{3} \geqslant \lambda_{4} \geqslant 0\left(\text { c } \lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=A\right) .
\]

Для случая когда $A / 4$ есть целое число, это означает $\lambda_{1}=\lambda_{2}=$ $=\lambda_{3}=\lambda_{4}=A / 4$. Это НП группы $U(4)$ имеет размерность 1 . Ограничение этого представления группы $U(4)$ (действующего в пространстве $\mathscr{K}_{\sigma} \otimes \mathscr{K}_{\tau}$ ) на подгруппу $S U(2) \times S U(2)$ приводит к нулевому спину и нулевому изоспину для основного состояния. Как мы уже видели, равенство нулю спина справедливо для всех таких ядер, а равенство нулю изоспина – только для легких ядер $(Z<17)$, у которых кулоновское отталкивание протонов не слишком велико. Для ядер с $A=4 n+2$ представление $[\lambda]^{c}$ для самых нижних состояний есть $\lambda_{1}-1=\lambda_{2}-1=$ $=\lambda_{3}=\lambda_{4}=n$. Оно имеет размерность $\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)=6$. Его ограничение на подгруппу $S U(2) \times S U(2)$ разлагается непосредственно на сумму двух трехмерных представлений: одно со спином 1 и изоспином 0 и одно со спином 0 и изоспином 1. Этот способ дает правильные значения спина самого нижнего состояния $\mathrm{Li}^{6}$ (спин 1), Не $^{6}$ и $\mathrm{Be}^{6}$ (спин 0) (фиг. 3.3). Эти два последних уровня вместе с третьим уровнем $\mathrm{Li}^{6}$ (спин $0^{+}$) образуют изоспиновый триплет. Остальные уровни, спины которых отмечены на фиг. 3.3, относятся к другому эквивалентному представлению $U(4)$ с орбитальным моментом количества движения $l=2$. Таким образом полный момент количества движения может равняться $j=l=2$ для состояний со спином 0 и изоспином 1 и $l-s \leqslant j \leqslant l+s$, т. е. $j=3,2,1$ для состояний со спином 1 и изоспином 0 . Такие состояния $\mathrm{Li}^{6}$ не имеют соответствующих состояний в $\mathrm{He}^{6}$ и $\mathrm{Be}^{6}$.

Состояния, принадлежащие НП группы $U(4)$, называются в физической литературе супермультиплетами. Инвариантность
относительно преобразований Галилея в теории супермультиплетов исследуется совершенно так же, как это делалось в разд. 2.9 для атомной физики.

Следует рассомотреть накрытие $\bar{G}$ группы Галилея $G, \bar{G} \xrightarrow{\pi} G$ и гомоморфизм
\[
\bar{G} \xrightarrow{\phi} S U(2) \times 1 \subset U(2) \times U(2) \subset U(4) .
\]

Группа инвариантности теории есть прямое произведение $G \times U(4)$, а $\bar{G}$ есть подгруппа $\bar{G} \xrightarrow{i} G \times U(4)$ с $i(\bar{g})=(\pi(\bar{g}), \phi(\bar{g}))$.
Фиг. 3.3. Спектр уровней ядер с шестью нуклонами.
Приближение независимости ядерных сил от спина и изоспина, привчдящее к инвариантности относительно группы $U(4)$, является грубым, и нельзя было ожидать, что оно окажется полезным для ядер, у которых число нуклонов $A$ не очень мало. Однако благодаря гому, что сохранение изоспина является хорошим приближением, инвариантность относительно $U$ (4) можно с пользой применять к ядрам с $A \leqslant 100$, что следует из изучения статистического распределения энергий их основных состояний [66].