В разд. 3.1 мы видели, что ядра с $Z$ или $N=8,20,50,82$ и 126 оказываются более стабильными. Многие свойства ядер (например, энергия связи, приходящаяся на один нуклон, магнитный и квадрупольный моменты) для этих чисел являются выделенными. Изучение ядерных таблиц показывает, что для ядер с нечетным $A$ четность и спин основного состояния меняются регулярным способом, который очень сильно напоминает заполнение оболочек (как в атомной физике). Основное состояние, спин $j$ и четность $( \pm)$ зависят только от величины нечетного числа $Z$ или $N$. Таким образом, порядок расположения уровней с увеличением энергии остается одним и тем же как для протонов, так и для нейтронов. Этот же порядок можно получить и несколько модифицируя спектр трехмерного гармонического осциллятора $E_{n}=n \hbar \omega+E_{0}$ (где $\omega$ постоянна).
Фиг. 3.4. Спектр энергий гамильтониана, соответствующего уравнению (3.12) для одного нуклона.
\[
\omega^{\prime}=\omega^{\prime \prime}=0 \quad \omega^{\prime}=0
\]

Рассмотрим множество из девяти операторов $T_{i j}=P_{i} P_{j}+$ $+Q_{i} Q_{j}$. Здесь $P_{i}$ и $Q_{i}(i=1,2,3)$ удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям
\[
\left[P_{i}, Q_{j}\right]=-i \hbar \delta_{i j} .
\]
Использование этих соотношений для вычисления коммутаторов $\left[T_{i j}, T_{i^{\prime} j^{\prime}}\right]$ показывает, что величины $T_{i j}$ образуют представление (с точностью до множителя $i \hbar$ ) алгебры Ли группы $U$ (3). Центр этой алгебры
\[
H=\mathrm{Sp} T_{i j}=T_{11}+T_{22}+T_{33}
\]

есть гамильтониан гармонического осциллятора (в соответствующих единицах). Из условия $\left[H, T_{i_{j}}\right]=0$ следует, что инвариантность относительно группы $U(3)$ для трехмерного гармонического осциллятора аналогична инвариантности относительно группы SO (4) для атома водорода (см. разд. 2.4). Спектр оператора $H$ можно найти аналогичным способом.

Основное состояние $n=0$ имеет энергию $E_{0}$. Число состояний с энергией $E_{n}$ равно $1 \frac{1}{2}(n+1)(n+2)$. Их орбитальный момент количества движения $l$ удовлетворяет соотношению $(-1)^{l}=(-1)^{n}, \quad 0 \leqslant l \leqslant n$. Это соответствует первому столбцу фиг. 3.4. Второй столбец дает спектр гамильтониана
\[
\hbar^{-1} H^{1}=\omega H-\omega^{\prime} \mathbf{L}^{2}-2 \omega^{\prime \prime} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S},
\]

имеющего положительные константы $\omega, \omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}, \omega>\omega^{\prime}$ и $\omega>\omega^{\prime \prime}$. Используя уравнение (2.55) для $s=\frac{1}{2}$, при $l>0, j=l+\varepsilon^{\frac{1}{2}}$, $\varepsilon= \pm 1$, получаем энергетический спектр
\[
\begin{array}{c}
l>0, \quad E_{n, l, l}-E_{0,1 / 2,0}=n \omega-\omega^{\prime} l(l+1)-\varepsilon \omega^{\prime \prime}\left(l+\frac{1}{2}\right), \\
\varepsilon=\operatorname{sign}(j-l), \\
l=0, \quad E_{n, l, l}-E_{0,1 / 2,0}=n \omega .
\end{array}
\]

Гамильтониан $H^{\prime}$ – это гамильтониан одного нуклона в среднем потенциале, создаваемом всем ядром. Как и в разд. 2.7, мы можем теперь последовательно „заполнять“ оболочки для протонов и нейтронов. Такая оболочечная модель ящра была предложена в 1949 г. Гепперт-Майер и Иенсеном [67]. Она весьма успешно объясняет свойства низколежащих уровней ядер и их распады.

Подробнее о строении ядерных оболочек рассказывает книга де Шалита и Тальми [68].

Отметим, что состояние $Z$ (или $N$ ) частиц описывается антисимметричным тензором, имеющим меньшую степень разложимости, чем в случае атомов (см. разд. 2.8). Смешивание конфигураций здесь еще более ярко выражено, т. е. состояния ядер описываются тензорами, которые являются линейными комбинациями различных разложимых тензоров с одинаковыми квантовыми числами.

Расчеты в оболочечной модели требуют классификации состояний внутри „одной и той же оболочки“. Такие расчеты были проделаны в период с 1942 по 1949 г. Рака́, который ввел квантовое число „синьорити“ [69].

Часть проблемы заключается в том, чтобы однозначно охарактеризовать те НП $D_{j}$ группы $S U(2)$, которые появляются при разложении в прямую сумму НП степени данного НП $\stackrel{n}{\otimes} D_{j}$ (где $j$-обычно целое число для атомов и полуцелое – для ядер). Метод заключается в нахождении цепочки подгрупп
\[
H_{0}=U(2 j+1) \supset H_{1} \supset \ldots \supset H_{k} \supset S U(2) \text { или } \quad S O(3) \text {, }
\]

где $S U(2)$ ( $2 j$ – нечетное), или $S O_{3}(2 j$ – четное), есть подгруппа $U(2 j+1)$, образованная матрицами $D_{j}$. Цепочка обладает следующими свойствами.
Последовательные ограничения представления $U(2 j+1)$
[где $\oplus_{\lambda}$ обозначает суммирование по всем схемам Юнга с $n$ клетками, а $s_{\lambda}$ есть размерность соответствующего НП $S(n)$ ] на разные подгруппы $H_{i}(0 \leqslant i \leqslant k)$ должны в конце концов привести к прямой сумме НП $S U(2)$ с кратностью 1. Табл. 3.1 иллюстрирует простой пример $J=2, n=3$; НП группы $U(5)$ ш и 定, суженные на $S U(2)$, приводят только к кратности 1 .
ТАБЛИЦА 3.1
Разложение представления $\stackrel{3}{\otimes} D_{2}$ (3 частицы в $D$-оболочке)
Представление группы $U(5)$
Размерность

НП группы $U(5)$, сужение на $S O(5)$
\[
\begin{array}{l}
(\mathrm{D})^{3}=\square \oplus 2 \text { 由+目 } \\
5^{3}=35+(2 \times 40)+10
\end{array}
\]

Сужение на SO (3)
\[
\begin{array}{l}
\square=\text { одно НП } \\
=A \oplus B \\
\square=D_{6} \oplus D_{4} \oplus D_{3} \oplus D_{2} \oplus D_{0} \\
A=D_{5} \oplus D_{4} \oplus D_{3} \oplus D_{2} \oplus D_{1} \\
B=D_{2} \\
\theta=\text { одно нП } \\
\text { 日 }=D_{3} \oplus D_{1} \\
\end{array}
\]
Для НП Ф картина иная. Здесь необходима одна промежуточная группа $H_{1}=S O(5)$.

Если пренебречь кратностью $s_{\lambda}$, каждое неэквивалентное НIП группы $S O(3)$ или $S U(2)$ имеет разную генеалогию НП $H_{i}$. Согласно терминологии Рака́, они обладают различными квантовыми числами „синьорити“. Чтобы иметь возможность различать „синьорити“, Рака́ даже был вынужден ввести в число $H_{i}$ особую группу Ли $G_{2}$ (в случае $J=3, n=7$ )! Если $J$ – полуцелое число, то обычно $H_{1}=\mathrm{Sp}(2 J+1)$. Конечно, современные физики используют более совершенные модели ядер (см., например, [70]). В планы этих лекций не входит более детальное рассмотрение. Для общего обзора мы отсылаем интересующихся к статье Инглиса [71].