Я думаю, уместно воспользоваться случаем и начать с того, что писал 38 лет назад Дирак во вступлении к той самой статье, в которой он предсказал существование «антиэлектрона», названного впоследствии позитроном ${ }^{2}$ ).
«Постоянный прогресс физики требует для теоретической формулировки ее законов все новых и новых разделов математики. Это понятно и даже закономерно. И все же ученые прошлого века не могли предвидеть того пути. по которому пойдет математика. Можно было ожидать, что математический аппарат, все время усложняясь, будет, однако, опираться на незыблемую основу аксиом и определений. На самом же деле современная физика требует все более абстрактной математики и развития ее основ. Так, неэвклидова геометрия и некоммутативная алгебра, считавшиеся одно время просто плодом воображения или увлечения логическими рассуждениями, теперь признаны весьма необходимыми для олисания общей картины физического мира. Вполне вероятно, что этот процесс абстрагирования будет продолжаться и впредь. и что развитие физики должно сопровождаться скорее постоянным совершенствованием и обобщением ақсиом, лежащих в основе математического аппарата, а не логическим развитием какой-либо одной математической схемы, опирающейся на неизменный фундамент.
В настоящее время в теоретической физике существуют кардинальные проблемы, ожндающие своего решения. Это, например, релятивистская формулировка квантовой механики и природа атомного ядра (за ними следуют более трудные, как, например, проблема жизни). Решение этих проблем, по всей видимости, потребует более решительного, чем когда-либо прежде, пересмотра основиих наших концепций. Вполне вероятно, что этот пересмотр
1) Institut des Hautes Études Scientifiques, 91, — Bures-Sur-Yvette France.
2) Из статьи
П. Дирака «Квантованные сингулярности в электромагнитном поле» [1].
приведет к столь большим изменениям, что попытки сформулировать экспериментальные данные непосредственно в математических терминах натолкнутся на необходимость таких новых идей, которые будут лежать за пределами понимания человеческого разума. Следовательно, теоретики будущего вынуждены будут использовать менее прямые методы. Наиболее действенный метод, который пока еще можно себе представить, заключается в использовании всех ресурсов чистой математики для совершенствования и обобщения формального математического аппарата, составляющего сейчас фундамент теоретической физики, причем каждый успех в этом направлении должен сопровождаться попыткой интерпретации новых математических особенностей в терминах физических категорий (с помощью процесса, подобного принципу идентификации Эддингтона). Небольшим шагом в этом направлении следует, по-видимому, считать недавнюю статью автора [2].
Математический формализм в то время встретился с серьезными трудностями, поскольку он предсказывал отрицательное значение кинетической энергии электрона. Преодолеть эту трудность было предложено с помощью принципа запрета Паули. Этот принцип разрешает находиться в каком-либо состоянии только одному электрону с оговоркой, что в физическом мире почти все состояния с отрицательной энергией уже заняты, так что наши обычные электроны с положительной энергией не могут перейти в эти состояния. Возникает необходимость физической интерпретации состояний с отрицательной энергией, которые с этой точки зрения реально существуют. Следует ожидать, что равномерно заполненное распределение состояний с отрицательной энергией полностью не наблюдаемо для нас. Но если вдруг одно из таких состояний в виде исключения окажется не занятым, то мы воспримем это как появление дырки. Показано, что такая дырка будет интерпретироваться нами как частица с положительной энергией и положительным зарядом. Было сделано предположение, что эта частица должна отождествляться с протоном. Последующие исследования, однако, показали, что она неизбежно должна иметь такую же массу, что и электрон [3], а также что при столкновении ее с электроном вероятность их аннигиляции значительно больше, чем этого требует общеизвестная стабильность материи [4-6].
дырок обазом, по-видимому, мы должны отказаться от отождествления Вслед мы зн за Оппенгеймером [7] можно предположить, что в том мире, который гией стиц заняты. Дырка, если бы таковая возникла, стала бы новым видом чамасы, неизвестным экспериментаторам и имеющим с электроном одинаковую ан и противоположный по знаку заряд. Такую частицу можно назвать тщ лектроном. Из-за большой скорости рекомбинации ее с электронами Нщетны были бы понытки встретить хотя бы одну из этих частиц в природе. Но если бы удалось воспроизвести ее экспериментально в высоком вакууме, она вела бы себя в нем как совсем стабильная и стала бы доступной для наблюдения. Столкновение двух жестких $\gamma$-лучей (с энергией по крайней мере в полмиллиона электронвольт) могло бы привести к одновременному возникновению электрона и антиэлектрона. Вероятность этого события должна иметь тот же порядок, что и вероятность столкновения двух $\gamma$-лучей, если предположить, что они являются сферами того же радиуса, что и классический электрон. При достижимых в настоящее время интенсивностях $\gamma$-лучей эта вероятность, однако, пренебрежимо мала.
С вышеизложенной точки зрения протоны никак не связаны с электронами. Вероятно, протоны должны иметь свои собственные состояния с отрицательной энергией. Все эти состояния обычно заняты, а незанятые состояния проявляются как антипротоны»,
Теперь напомним, что антипротоны впервые были обнаружены в 1955 г., т. е. 24 года спустя.
Уместно закончить это введение историей рождения предмета наших лекций. Менее чем через три года после первой статьи Гейзенберга [8] по квантовой механике появились две работы, посвященные применению теории групп в квантовой механике (статьи Вигнера и Хунда $[9,10]$ ).
В нашей области Вигнер, несомненно, наиболее цитируемый автор. Позвольте только напомнить, что вместе с Дж. фон Нейманом он применил теорию групп к исследованию спектра атомов [11] и в 1931 г. опубликовал книгу [12], целиком посвященную этому вопросу.
Интересно, что два знаменитых математика, Герман Вейль и Ван-дер-Варден, токе очень рано опубликовали книги, посвященные нашей проблеме $[3,13]$. Интересная, но более элементарная монография Бауэра [14] продолжает список книг, достигающий сегодня нескольких десятков.
Для интересующихся математиков я бы рекомендовал все же две первые книги, но в их втором, переработанном и расширенном издании (Вейль [3] и Вигнер [12]).
Для читателей-математиков
Физика будет вводиться в эти заметки по мере необходимости. Однако удобно сразу дать некоторую информацию о физических константах, поскольку она может понадобиться в любой момент.
Мы будем изучать квантовые, явления в атомной физике, ядерной физике и физике элементарных частиц. Қлючевым числом, пришедшим из макроскопической области, является число Авогадро
\[
A=6,023 \cdot 10^{23} \text {. }
\]
Оно равно числу атомов, которое содержит один грамм водорода. Атом водорода состоит из одного протона (масса $m_{p}$ ) и одного электрона (масса $m_{e}$ )
\[
\frac{m_{p}}{m_{e}}=1836,5 \text {. }
\]
Обе частицы электрически заряжены и несут заряды $+e$ и $-e$. Абсолютное значение этого заряда равно
\[
e=\frac{1 F}{A}=\frac{96600}{6,02 \cdot 10^{23}} \text { кулон. }
\]
Здесь $F$-число Фарадея. Мы будем пользоваться более удобной системой единиц:
\[
\hbar=\left(\text { постоянная Планка) } \times(2 \pi)^{-1}=1\right.
\]
и
\[
c=(\text { скорость света })=1 \text {. }
\]
В этой системе $e=(137,04)^{-1 / 2}$, т. е.
\[
\alpha=\frac{e^{2}}{\hbar c}=\frac{1}{137,04}
\]
и является безразмерным числом.
Чтобы завершить построение нашей системы единиц, мы должны выбрать еще одну единицу измерения. Для атомной физики наиболее подходит масса электрона $m_{e}$. Остальными единицами являются:
момент количества движения $m_{e} c$, энергия $m_{e} c^{2}$,
длина $\hbar / m_{e} c=3,86 \cdot 10^{-11} \mathrm{~cm}$,
время $\hbar / m_{e} c^{2}=1,28 \cdot 10^{-21} \mathrm{c}$.
Однако для практического измерения энергии частиц наиболее подходит электронвольт (эВ). Он равен энергии, которую получает частица с универсальным электрическим зарядом $e$, пересекая электрическое поле, создавамое разностью потенциалов 1 В.
Переход в прежнюю систему единиц осуществляется с помощью формул
Заметим, что $1=\hbar \sim\left(10^{-13} \mathrm{~cm}\right) \cdot(200 \mathrm{MэB})$.
До 1932 г. были известны только два вида взаимодействий: гравитационное и электромагнитное. В статическом приближении оба взаимодействия можно описать потенциалами, пропорциональными $k / r$, где $r$-расстояние между частицами. Таким образом, абсолютное отношение гравитационной энергии (энергии притяжения) к электростатической энергии (энергии отталкивания) взаимодействия двух протонов не зависит от расстояния между ними и равно
\[
\frac{G^{\prime} m_{p}^{2}}{e^{2}}=\frac{\alpha^{\prime}}{\alpha}=\frac{137}{175} \cdot 10^{-36}
\]
В этих лекциях мы вправе полностью пренебречь гравитацией ${ }^{1}$ ).
Энергия связи атомов, молекул, твердых тел и т. д. имеет электромагнитную природу. Эта энергия, реализованная в химической форме, будет иметь порядок величины
\[
A \times 1 \text { эВ }=23 \text { кал/моль, }
\]
что составляет около $10^{-9}-10^{-11}$ от энергии покоя. Если бы энергия, получаемая нами от Солнца, являлась результатом химических реакций, то Солнце давало бы нам ее менее чем $10^{5}$ лет!
Известны еще два других вида взаимодействия. Это ядерное взаимодействие (см. гл. 3 и 5), более сильное, чем электромагнитное, на расстоянии менее $10^{-13} \mathrm{~cm}$, и „слабое взаимодействие“, или взаимодействие Ферми (см. разд. 3.6 и гл. 5), действующее на очень малых расстояниях. Оба взаимодействия важны при изучении звезд и ядерных реакций, и связанные с ними энергии могут достигать $10^{-3}$ энергии покоя.
Для читателей-физиков
Все используемые здесь математические термины даются без определений. Безусловно, многие из них физикам известны (например, о понятии корневых векторов алгебры Ли см. лекции [15-18]). Некоторые термины (в основном использованные в гл. 1) заимствованы из словаря современной математики. Они не были абсолютно необходимы и использовались просто как синонимы других терминов, которые обычно применяют в физике. Физикам необходимо знать определенные математические термины.
Прекрасный и в то же время элементарный обзор современного математического языка дан в книге С. Мак-Лэйна и Дж. Биркхофа [19], особенно в гл. 1 (отметим также список обозначений), и книге Ленга [20].
1) Гравитационная энергия системы увеличивается, грубо говоря, пропорционально квадрату числа нуклонов $N$, в то время как в нейтральном веществе электростатическая энергия примерно пропорциональна $N$. Таким образом, гравитация становится важной только для таких больших масс, как астероиды, планеты (мы на Земле знаем это!) или звезды. Не случайно бо́льшая часть звезд имеет число нуклонов $\sim\left(\alpha^{\prime}\right)^{-8 / 2}=10^{57}$.
