Элементами группы Пуанкаре $\tilde{P}$ являются па́ры $(A, a)$, где $A$ принадлежит группе $S L(2$, C) комплексных унимодулярных матриц $2 \times 2$, и $a$ принадлежит вещественному четырехмерному векторному пространству $\mathbf{R}^{4}$. Закон композиции для этой группы имеет вид
\[
(A, a)\left(A^{\prime}, a^{\prime}\right)=\left(A A^{\prime}, a+\Lambda(A) a^{\prime}\right) .
\]

Здесь оператор $\Lambda(A)$ определяется накрывающим гомоморфизмом $S L(2, \mathbf{C}) \rightarrow L_{+}^{\uparrow}$, где $L_{+}^{\uparrow}-$ собственная ортохронная группа Лоренца, реализуемая в пространстве $\mathbf{R}^{4}$ обычным образом. Явный вид матрицы $\Lambda(A)$ дается соотношением
\[
\begin{array}{c}
A \rightarrow \Lambda(A): \Lambda(A)_{v}^{\mu}=\frac{1}{2} \mathrm{Sp}\left(\tilde{\sigma}^{\mu} A \sigma_{v} A^{+}\right), \\
\left(\sigma_{\mu}\right) \equiv\left(\mathbf{I}_{2}, \boldsymbol{\sigma}\right), \quad \tilde{\sigma}_{\mu} \equiv\left(-\mathbf{I}_{2}, \boldsymbol{\sigma}\right),
\end{array}
\]

где $\mathbf{I}_{2}$ – единичная матрица $2 \times 2 ; \sigma^{1}, \sigma^{2}, \sigma^{3}$ – матрицы Паули:
\[
\sigma^{\mathrm{l}}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma^{2}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma^{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Как видно из формулы (1.1), $\tilde{P}$ является полупрямым произведением $S L(2, \mathbf{C})$ (s) $\mathbf{R}^{4}$ с заданием операции $\Lambda$ из группы $S L(2, \mathbf{C})$ в пространстве $\mathbf{R}^{4}$. Группа $\check{S} L(2, \mathbf{C})=(S L(2, \mathbf{C}), 0)$ является подгруппой группы $\tilde{P}$, а $\check{\mathbf{R}}^{4}=\left(\mathbf{I}_{2}, \mathbf{R}^{4}\right)$ – абелевой инвариантной подгруппой группы $\tilde{P}$.