Рассмотрим две частицы с массами и и электрическими зарядами и ( ) ( — положительное целое число). Полный гамильтониан такой системы имеет вид
где .
Введем в качестве новых переменных вместо и координаты центра масс
и ; пусть и сопряженные им величины. Тогда
где
Движение центра масс описывается оператором , а соответствует внутренней энергии системы. Поэтому в квантовом случае для определения уровней энергии атома водорода необходимо найти спектр оператора
Впервые с квантовой точки зрения атом водорода рассмотрел Паули в 1926 г. [52] еще до опубликования уравнения Шредингера. Паули изучил абстрактную алгебру, генерируемую операторами R, P, и уравнениями (2.1), (2.2) и (2.15). Момент количества движения является интегралом движения. Другим интегралом движения служит вектор Рунге Ленца
Заметим, что имеет место тождество
с помощью которого можно проверить, что
Напомним, что величина равна знаку перестановки (1 2 3) или нулю, если какие-либо два индекса равны. Далее
мы воспользуемся условиями Эйнштейна для суммирования, т. е. будем подразумевать, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Находим
Рассмотрим теперь связанные состояния атома водорода. Они соответствуют спектру оператора . Пусть -проекционный оператор на эти состояния. Для произвольного оператора введем обозначение . Из уравнений (2.19) следует, что когда есть или , то
Кроме того, (-2 является положительным оператором, имеющим обратный. Пусть — положительный квадратный корень из оператора, обратного к оператору . Определим оператор . Тогда уравнения — (2.23) можно переписать в виде
Наконец определим операторы
после чего предыдущие уравнения дают
Спектр оператора хорошо известен: , где положительное целое число. Таким образом, спектр энергий связанных состояний атома водорода имеет вид
где -положительное целое число, а
есть постоянная тонкой структуры, безразмерная фундаментальная физическая константа.
Некоторые физические комментарии
Отношение энергии связи электрона к энергии покоя есть . Значение любой физической наблюдаемой мы можем вычислять как произведение числа на величину, имеющую ту же размерность, что и исходная величина, и построенную из постоянных . Например: длина , энергия эВ, время с. Безразмерное число является функцией величины . А это есть значение наблюдаемой величины в системе единиц, где . Такой системой мы и будем в дальнейшем пользоваться; в этой системе является значением величины . Например,
Заметим, что наше рассмотрение относится не только к связанному состоянию атома водорода (ядро может быть также ядром дейтерия ), но и к позитронию , мюонию , -атому, -атому, ионизованному иону гелия и т. д.
Eще о групповых аспектах
Состояния с энергией являются собственными состояниями операторов и и образуют пространство группы , причем имеет размерность
Алгебра Ли физических вращений (L) является диагональю в алгебре Ли , так что представление группы вращений в пространстве НП , группы сводится к
T. e.
Заметим, что тривиальное представление для каждого появляется только один раз, а из теоремы взаимности Фробениуса мы знаем, что представление
является представлением группы , индуцированным тривиальным представлением группы . Иными словами, (функций на ), поскольку сфера является однородным пространством . (Этот факт был использован Фоком [53], см. также работу Хюльтена [54].) Из теории индуцированных представлений Макки следует, что равенство (2.31) характеризует также содержание представления группы (группы движений четырехмерного эвклидова пространства), индуцированного тривиальным представлением группы (группы преобразований, оставляющих неизменным произвольно выбранный отличный от нуля вектор пространства ). Это неприводимое представление группы . Мы можем также рассматривать как пространство НП группы , полученного деформацией рассмотренного выше НП группы . Однако физический смысл генераторов группы (представляющих элементы алгебры Ли) или группы не слишком понятен!
Спектром оператора на пространстве (пространстве положительных энергий) является полуось ( . Мы не можем говорить о собственных векторах оператора для положительной энергии. Эти векторы описывают несвязанные состояния протона и электрона, и они необходимы при изучении рассеяния. Однако поскольку оператор является положительным, можно определить оператор
. Операторы и генерируют алгебру Ли группы . Это свойство впервые заметил и использовал Баргман [55]. Таким образом, является прямым интегралом бесконечномерных унитарных НП группы ,
Фиг. 2.1. Состояния с наименьшей энергией на линейной энергетической шкале атома водорода.
Существует бесконечное число состояний, энергия которых лежнт в интервале . Это связано с медленным убыванием потенциала при . Собственные векторы абелевой алгебры, генерируемой операторами и L ( ), образуют ортогональны базис в гильбертовом пространстве связанных состояний. Полный набор индексов, определяющих такое состоянне, задается квантовыми числами , где -положительное целое, и -целые числа, такие, что . Собственные значения операторов соответственно равны .
т. е. группы Лоренца. Это также пространство НП неоднородной группы , которую мы назовем группой Пуанкаре (наше НП описывает частицу со спином 0 и фиксированной массой ).
В атомах мы главным образом наблюдаем изучение или поглощение фотонов с частотой
Соответствующая длина волны
приблизительно равна величине , умноженной на „размеры“ атома.
Все достаточно большие частоты, определяемые уравнением (2.32), мы уже видели в спектре атомарного водорода. Фактически существует „тонкая структура“, связанная с относительным расщеплением состояний с порядка .
Теория предсказывает даже величину интенсивности спонтанного излучения фотонов. Так как длина волны света велика по сравнению с размерами атома, то свет представляет собой дипольное излучение ) и вероятность спонтанного излучения фотона при переходе из состояния в состояние равна
(Заметим, что есть среднее значение электрического диполя в состоянии . Қак мы увидим дальше, эта величина обращается в нуль.) Интенсивность излучения света атомами в состоянии равна
Из теоремы Вигнера — Эккарта (см. начало разд. 1.6) следует, что для всех векторных операторов матричные элементы между двумя данными собственными состояниями оператора коллинеарны.
Пример. Для собственных состояний оператора
1) Электромагнитные волны, предсказанные уравнениями Максвелла, были получены Герцем с помощью осциллирующего электрического дипұля. Примером такого диполя мог бы служить заряд ( ), врацающийся вокруг заряда с заданной частотой v. Согласно гипотезе Максвелла, свет представляет собой электромагнитные волны, а Селени искусными экспериментами доказал в 1913 г., что свет, испускаемый атомами, является дипольным излучением. [Высшие мультиполи соответствуют более сложному распределению заряда, для которого дипольный момент (см. работы Ми, Пуанкаре, Рэлея и т. д. о мультипольном разложении, представляющие прикладную теорию групп).] Неприятность заключалась в том, что классические атомы всегда должны излучать, быстро теряя свою энергию. Қвадрупольное излучение в атомах может наблюдаться в исключительных случаях (редкоземельные элементы, атомы в межзвездном вакууме). Интенсивное излучение фотонов может быть индуцировано и самим электромагнитным полем. Примером служит лазер.
Рассмотрим теперь собственные состояния оператора [с собственными значениями . Заметим, что
тогда как для общего векторного оператора
Однако надо учесть и операцию четности . Соответствующий оператор II удовлетворяет условиям
и поскольку оператор является аксиальным вектором,
Собственные векторы оператора имеют определенную четность (собственное значение оператора II). Рассмотрев реализацию этих векторов сферическими гармониками, находим
Таким образом, если состояния и имеют определенный момент количества движения, то
так что
а это и есть правило отбора Лапорта, о котором мы упоминали в разд. 2.1. Система уравнений (2.37) и (2.41) эквивалентна следующему утверждению: отсутствие электрических дипольных переходов равносильно выполнению условия .
Подтверждается ли теория экспериментом?
И да и нет. С одной стороны, очень хорошо подтверждается, с другой — очень плохо. Теоретические значения энергий связи полностью подтверждаются с точностью . Современная теория квантовой электродинамики дает поправку порядка [т. е. относительную поправку порядка ], так что энергии уровней с различными значениями и одним и тем же мало отличаются друг от друга ).
1) Расстояние между двумя уровнями с и , прєдсказываемое квантовой электродинамикой, имеет порядок , т. е. Гц, что совпадает с экспериментальным значением с точностью до ци, т. е. . Квантовая электродинамика не является точно сформулированным предметом для математиков Уточненные предсказания для позитрония, мюония и т. д. также очень хорошо согласуются с экспериментом.
Гораздо хуже обстоит дело с подсчетом числа уровней. В этом можно убедиться, помецая атом водорода в постоянное электромагнитное поле (F — электрическое поле, B — магнитное поле). В этом случае к гамильтониану нужно добавить оператор
Влияние электрического поля (эффект Штарка) легко учесть, чего нельзя сделать для магнитного поля В. В самом деле, уровни с одним и тем же значением должны расщепляться на уровней, разделенных расстоянием . Расщепление действительно происходит, но на четное число уровней! Это обусловлено спином электрона, который мы пока не учитывали (см. разд. 2.6). Следует учесть также спин протона; при этом эффект будет иметь порядок