Главная > СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ (Л. Мишель, М. Шааф)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим две частицы с массами m1 и m2 и электрическими зарядами Ze и ( e ) ( Z — положительное целое число). Полный гамильтониан такой системы имеет вид
hполн =p122m1+p222m2Ze2r,

где r=|r|,r=r2r1.
Введем в качестве новых переменных вместо r1 и r2 координаты центра масс
r0=(m1r1+m2r2)(m1+m2)1

и r=r2r1; пусть p0 и p сопряженные им величины. Тогда
hполн =p022(m1+m2)+(p22mZe2r)=hcm+h,

где
m=m1m2(m1+m2)1

Движение центра масс описывается оператором hcm, а h соответствует внутренней энергии системы. Поэтому в квантовом случае для определения уровней энергии атома водорода необходимо найти спектр оператора
H=p22mZe2R.

Впервые с квантовой точки зрения атом водорода рассмотрел Паули в 1926 г. [52] еще до опубликования уравнения Шредингера. Паули изучил абстрактную алгебру, генерируемую операторами R, P, H и уравнениями (2.1), (2.2) и (2.15). Момент количества движения L=R×P является интегралом движения. Другим интегралом движения служит вектор Рунге Ленца
A=12(L×PP×L)+λRR с λ=mZe2.
Заметим, что имеет место тождество
12(L×PP×L)=(RP)PR(P2)iP==P(PR)(P2)R+iP,

с помощью которого можно проверить, что
[A,H]=0,[L,H]=0.

Напомним, что величина εijk равна знаку перестановки (1 2 3) или нулю, если какие-либо два индекса равны. Далее iik
мы воспользуемся условиями Эйнштейна для суммирования, т. е. будем подразумевать, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Находим
[Li,Lj]=iεijkLk,[Li,Aj]=iεijkAk,[Ai,Aj]=i2mHεijkLk,LA=AL=0A22mH(L2+2)=(Ze2m)2I.

Рассмотрим теперь связанные состояния атома водорода. Они соответствуют спектру оператора Misplaced &. Пусть P-проекционный оператор на эти состояния. Для произвольного оператора X введем обозначение X=XP. Из уравнений (2.19) следует, что когда X есть L(a) или A(b), то
PXP=XP=PX=X.

Кроме того, (-2 mH)является положительным оператором, имеющим обратный. Пусть (2mH)1/2 — положительный квадратный корень из оператора, обратного к оператору (2mH). Определим оператор Ki=Ai(2mH)1/2. Тогда уравнения (2.20) — (2.23) можно переписать в виде
[1Li,1Lj]=iεijkLk,[1Li,1Kj]=iεijkKk,[1Ki,1Kj]=iεijkLk,LK=KL=0,12K2+12L2=(Ze2m)2(2mH)1.
Наконец определим операторы
J(±)=12L()±12K(),

после чего предыдущие уравнения дают
[Ji(±),Jj(±)]=iεijkJk(±),[Ji(+),Jj()]=0,J(+)2=J()2=14((Ze2m)2(2mH)11).

Спектр оператора J(+)2 хорошо известен: j(j+1)=(n21)/4, где 2j+1=n положительное целое число. Таким образом, спектр энергий связанных состояний атома водорода имеет вид
εn=(Ze2)2m2n2=Z2n2(e2c)2mc22=12n2(Zα)2mc2,

где n-положительное целое число, а
α=e2c=1137,03

есть постоянная тонкой структуры, безразмерная фундаментальная физическая константа.
Некоторые физические комментарии
Отношение энергии связи электрона к энергии покоя есть (εn/mc2)=((Zα)2/2n2). Значение любой физической наблюдаемой мы можем вычислять как произведение числа на величину, имеющую ту же размерность, что и исходная величина, и построенную из постоянных e,,m,c. Например: длина /mc= =3,861011cм, энергия mc2=0,51106 эВ, время h/mc2= =1,281021 с. Безразмерное число является функцией величины α. А это есть значение наблюдаемой величины в системе единиц, где =m=c=1. Такой системой мы и будем в дальнейшем пользоваться; в этой системе α является значением величины e2. Например,
1R=Zαmc(12108 cm)1=(12 ангстрем )1.

Заметим, что наше рассмотрение относится не только к связанному состоянию атома водорода p+e(mp=1836me) (ядро может быть также ядром дейтерия 2mp ), но и к позитронию e+e(m1=m2), мюонию μ+e(mμ=207me), μ-атому, π-атому, ионизованному иону гелия He+и т. д.
Eще о групповых аспектах
Состояния с энергией εn являются собственными состояниями операторов J(+)2 и J()2 и образуют пространство Hn,НП(j,j) группы SO(4), причем Hn имеет размерность
(2j+1)2=n2.

Алгебра Ли физических вращений (L) является диагональю в алгебре Ли SU(2)SU(2):=SO(4), так что представление группы вращений в пространстве Hn НП (j,j)=[(n1)/2, (n1)/2] группы SO(4) сводится к
(j,j)SO(3)=l=02fDl,
T. e.
l=0,1,,n1.

Заметим, что тривиальное представление для каждого n появляется только один раз, а из теоремы взаимности Фробениуса мы знаем, что представление
2j=0(j,j)=UD0

является представлением группы SO(4), индуцированным тривиальным представлением группы SO(3). Иными словами, P_H=L2 (функций на S3 ), поскольку сфера S3 является однородным пространством SO(4)/SO(3). (Этот факт был использован Фоком [53], см. также работу Хюльтена [54].) Из теории индуцированных представлений Макки следует, что равенство (2.31) характеризует также содержание представления группы R4◻SO(4)=E4 (группы движений четырехмерного эвклидова пространства), индуцированного тривиальным представлением группы R4◻SO(3) (группы преобразований, оставляющих неизменным произвольно выбранный отличный от нуля вектор пространства R4 ). Это неприводимое представление группы E4. Мы можем также рассматривать PH как пространство НП группы SO(4,1), полученного деформацией рассмотренного выше НП группы E4. Однако физический смысл генераторов группы E4 (представляющих элементы алгебры Ли) или группы SO(4,1) не слишком понятен!

Спектром оператора H на пространстве P+H (пространстве положительных энергий) является полуось ( +O,). Мы не можем говорить о собственных векторах оператора H для положительной энергии. Эти векторы описывают несвязанные состояния протона и электрона, и они необходимы при изучении рассеяния. Однако поскольку оператор HP+=P+H является положительным, можно определить оператор K+=AP+×
×(2mHP+)1/2. Операторы 1/LP+и 1/K+генерируют алгебру Ли группы SO(3,1). Это свойство впервые заметил и использовал Баргман [55]. Таким образом, P\VarangleH является прямым интегралом бесконечномерных унитарных НП группы SO(3,1),

Фиг. 2.1. Состояния с наименьшей энергией на линейной энергетической шкале атома водорода.

Существует бесконечное число состояний, энергия которых лежнт в интервале ε,0. Это связано с медленным убыванием потенциала r1 при r. Собственные векторы абелевой алгебры, генерируемой операторами H, L2 и L ( e3 ), образуют ортогональны базис в гильбертовом пространстве связанных состояний. Полный набор индексов, определяющих такое состоянне, задается квантовыми числами n,l,m, где n-положительное целое, l и m-целые числа, такие, что 0ln1,lml. Собственные значения операторов (mc2)1H,2L2,1L(e3) соответственно равны (Zα)2/2n2,l(l+1),m.
т. е. группы Лоренца. Это также пространство НП неоднородной группы SO(3.1), которую мы назовем группой Пуанкаре (наше НП описывает частицу со спином 0 и фиксированной массой Misplaced & ).

В атомах мы главным образом наблюдаем изучение или поглощение фотонов с частотой
v=12π(εn1εn2).

Соответствующая длина волны
cv=π(Zα)2(1n121n22)1
приблизительно равна величине (4/Zα)103, умноженной на „размеры“ атома.

Все достаточно большие частоты, определяемые уравнением (2.32), мы уже видели в спектре атомарного водорода. Фактически существует „тонкая структура“, связанная с относительным расщеплением состояний с leq0 порядка α21/2104.

Теория предсказывает даже величину интенсивности спонтанного излучения фотонов. Так как длина волны света велика по сравнению с размерами атома, то свет представляет собой дипольное излучение 1 ) и вероятность спонтанного излучения фотона при переходе из состояния |x в состояние Misplaced & равна
λxy=43(ExEy)3|x|eR|y|2.
(Заметим, что x|eR|x есть среднее значение электрического диполя в состоянии |x. Қак мы увидим дальше, эта величина обращается в нуль.) Интенсивность излучения света Nx атомами в состоянии |x равна
ixy=Nx43(ExEy)4e2kSp(PxRkPyRk).

Из теоремы Вигнера — Эккарта (см. начало разд. 1.6) следует, что для всех векторных операторов матричные элементы между двумя данными собственными состояниями |x,|y оператора L2 коллинеарны.
Пример. Для собственных состояний |x,|y оператора H
imx|P|y=x[H,R]y=(ExEy)x|R|y.
1) Электромагнитные волны, предсказанные уравнениями Максвелла, были получены Герцем с помощью осциллирующего электрического дипұля. Примером такого диполя мог бы служить заряд ( e ), врацающийся вокруг заряда (+e) с заданной частотой v. Согласно гипотезе Максвелла, свет представляет собой электромагнитные волны, а Селени искусными экспериментами доказал в 1913 г., что свет, испускаемый атомами, является дипольным излучением. [Высшие мультиполи соответствуют более сложному распределению заряда, для которого дипольный момент iriqi=0 (см. работы Ми, Пуанкаре, Рэлея и т. д. о мультипольном разложении, представляющие прикладную теорию групп).] Неприятность заключалась в том, что классические атомы всегда должны излучать, быстро теряя свою энергию. Қвадрупольное излучение в атомах может наблюдаться в исключительных случаях (редкоземельные элементы, атомы в межзвездном вакууме). Интенсивное излучение фотонов может быть индуцировано и самим электромагнитным полем. Примером служит лазер.
Рассмотрим теперь собственные состояния оператора L2 [с собственными значениями l(l+1)]. Заметим, что
x|L|y=0, если lxeqly,

тогда как для общего векторного оператора
Misplaced &

Однако надо учесть и операцию четности Π(r)=r. Соответствующий оператор II удовлетворяет условиям
II2=1,ΠRΠ=R,ΠPΠ=P,

и поскольку оператор L является аксиальным вектором,
ΠLII=L.

Собственные векторы оператора L2 имеют определенную четность (собственное значение оператора II). Рассмотрев реализацию этих векторов сферическими гармониками, находим
ΠL2=(1)tL2.

Таким образом, если состояния x и y имеют определенный момент количества движения, то
x|R|y=x,|ΠRII|,y=(1)lx+lyx|R|y,

так что
x|R|y=0, если lx+ly — четное число, 

а это и есть правило отбора Лапорта, о котором мы упоминали в разд. 2.1. Система уравнений (2.37) и (2.41) эквивалентна следующему утверждению: отсутствие электрических дипольных переходов x|R|y=0 равносильно выполнению условия |lxly|eq1.
Подтверждается ли теория экспериментом?
И да и нет. С одной стороны, очень хорошо подтверждается, с другой — очень плохо. Теоретические значения энергий связи полностью подтверждаются с точностью 104. Современная теория квантовой электродинамики дает поправку порядка (Zα)4/n3 [т. е. относительную поправку порядка (Zα)2/n104 ], так что энергии уровней с различными значениями l и одним и тем же n мало отличаются друг от друга 1 ).
1) Расстояние между двумя уровнями с n=2,l=1 и l=2, прєдсказываемое квантовой электродинамикой, имеет порядок Z4α523, т. е. 103M Гц, что совпадает с экспериментальным значением с точностью до 101M ци, т. е. 1015mc2/. Квантовая электродинамика не является точно сформулированным предметом для математиков Уточненные предсказания для позитрония, мюония и т. д. также очень хорошо согласуются с экспериментом.
Гораздо хуже обстоит дело с подсчетом числа уровней. В этом можно убедиться, помецая атом водорода в постоянное электромагнитное поле (F — электрическое поле, B — магнитное поле). В этом случае к гамильтониану H нужно добавить оператор
Hem=3e2KF+e2mcLB.

Влияние электрического поля F (эффект Штарка) легко учесть, чего нельзя сделать для магнитного поля В. В самом деле, уровни с одним и тем же значением l должны расщепляться на 2l+1 уровней, разделенных расстоянием eB/2mc. Расщепление действительно происходит, но на четное число уровней! Это обусловлено спином электрона, который мы пока не учитывали (см. разд. 2.6). Следует учесть также спин протона; при этом эффект будет иметь порядок
e2memp1R3α(Zα)3memp1.

1
Оглавление
email@scask.ru