Неприводимые унитарные представления группы $\tilde{P}$, согласно Макки [9], строятся путем выполнения следующих действий.
I. Устанавливаем группу характеров абелевой инвариантной подгруппы $\check{\mathbf{R}}^{4}$. Имеем ${ }^{1}$ )
\[
\left(\mathbf{I}_{2}, a\right) \rightarrow \chi^{p}(a)=e^{i p a}, \quad p a \equiv-p^{0} a^{0}+\mathbf{p} \cdot \mathbf{a}, \quad p \in \mathbf{R}^{4} .
\]
1) В этой статье используется метрика $g_{\mu v}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$.
Таким образом, группой характеров является „импульсное пространство\” $\mathbf{R}^{4}$. Использование индефинитного скалярного произведения $p \cdot a$ не обязательно, однако это облегчает выполнение последующих шагов.
II. Устанавливаем орбиты группы $S L(2$, C) на группе характеров $\mathbf{R}^{4}$, т. е. классы в пространстве $\mathbf{R}^{4}$, задаваемые следующим соотношением эквивалентности: $p$ и $p^{\prime}$ принадлежат одной и той же орбите $\Omega(p)$, если существует такой элемент $A \in S L(2, \mathbf{C})$, что $\chi^{p^{\prime}}(a)=\chi^{p}\left(\Lambda(A)^{-1} a\right)$ для любого $a \in \mathbf{R}^{4}$. Согласно формуле (1.1.1), мы имеем $\chi^{p}\left(\Lambda(A)^{-1} a\right)=\chi^{\Lambda(A) p}(a)$ и потому $\Omega(p)=$ $=L_{+}^{\hat{p}} p$, т. е. орбитой вектора $p$ является „массовая оболочка“, на которой он лежит.
III. Разбиением пространства $\mathbf{R}^{4}$ на орбиты мы характеризуем выбором следующего множества $\Omega$, состоящего из представителей, т. е. „стандартных импульсов“ $\stackrel{\circ}{p}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{R}^{4}=\bigcup_{0 \in \Omega} \Omega(p), \quad \Omega=\Omega^{+} \cup \Omega^{-} \cup \Omega^{0} \cup \Omega_{0}^{+} \cup \Omega_{0}^{-} \cup \Omega_{0}^{0}, \\
\Omega^{ \pm} \equiv\left\{ \pm m e_{(0)}: m>0\right\}, \quad \Omega^{0} \equiv\left\{n e_{(3)}: n>0\right\}, \\
\Omega_{0}^{ \pm} \equiv\left\{ \pm e_{(0)}+e_{(3)}\right\}, \quad \Omega_{0}^{0} \equiv\{0\} .
\end{array}
\]

Здесь $\left\{e_{(\mu)}\right\}$ – „ортонормированный“ базис в пространстве $\mathbf{R}^{4}$ :
\[
e_{(\mu)} \cdot e_{(
u)}=g_{\mu
u}, \quad e_{(\mu)} e^{(\mu)}=\mathbf{I}_{4} .
\]
IV. Для каждого $\stackrel{\circ}{p} \in \Omega$ устанавливается малая группа $G(\stackrel{\circ}{p})$, т. е. подгруппа $S L(2, \mathbf{C})$, для которой $\chi^{\circ}\left(\Lambda(A)^{-1} a\right)=\chi^{p}(a)$ при любом $A \in G(\stackrel{p}{p})$ и $a \in \mathrm{R}^{4}$. Последнее условие, согласно формулам (1.1.1) и (1.2), эквивалентно следующему:
\[
A \in G(\stackrel{\circ}{p}) \Leftrightarrow A(\stackrel{\circ}{p} \cdot \sigma) A^{+}=\Lambda(A) \stackrel{\circ}{p} \cdot \sigma=\stackrel{\circ}{p} \cdot \sigma .
\]

В силу формулы (1.1.2) существуют только следующие четыре различные малые группы:
\[
\begin{array}{l}
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{+} \cup \Omega^{-}: G(\stackrel{\circ}{p})=S U(2) ; \\
A \in S U(2) \quad \Leftrightarrow A_{21}=-A_{12}^{*}, \quad A_{22}=A_{11}^{*} ; \\
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega^{0} \quad: G(\stackrel{\circ}{p})=S U(1,1) ; \\
A \in S U(1,1) \Leftrightarrow A_{21}=A_{12}^{*}, \quad A_{22}=A_{11}^{*} ; \\
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega_{0}^{+} \cup \Omega_{0}^{-}: G(\stackrel{\circ}{p})=E(2) ; \\
\stackrel{\circ}{p} \in \Omega_{0}^{0} \quad: G(\stackrel{\circ}{p})=S L(2, \mathbf{C}) .
\end{array}
\]
Группы $S U(2), \quad S U(1,1)$ и $E(2)$ являются подгруппами $S L(2, \mathbf{C})$, унитарными: первая – относительно дефинитной метрики $\sigma_{0}=\mathbf{I}_{2}$, вторая – относительно индефинитной метрики $\sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$ и третья – относительно вырожденной метрики $\sigma_{0}+\sigma_{3}=2\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ соответственно. Группа $E(2)$ – изоморфна дважды накрывающей группе для группы эвклидовых движений плоскости. В гл. 3 нам понадобится также малая группа, принадлежащая множеству представителей
\[
\Omega^{0^{\prime}} \equiv\left\{n e_{(2)}: n>0\right\} .
\]

Согласно формуле (1.1.4), группа $G(\stackrel{\circ}{p})$ в этом случае является вещественной подгруппой $S L(2, \mathbf{R})$ группы $S L(2, \mathbf{C})$; она изоморфна $S U(1,1)$;
\[
\stackrel{\circ}{p} \in \mathrm{Q}^{0^{\prime}}: G(\stackrel{\circ}{p})=S L(2, \mathbf{R}) ; \quad A \in S L(2, \mathbf{R}) \Leftrightarrow A=A^{*} .
\]
V. Левое фактор-пространство $S L(2, \mathbf{C}) / G(\stackrel{\circ}{p})$ гомеоморфно орбите $\Omega(\stackrel{\circ}{p})$. Из левого класса смежности, соответствующего $p \in \Omega(\stackrel{\circ}{p})$, который состоит из всех элементов $A \in S L(2, \mathbf{C})$, таких, что $\Lambda(A) \stackrel{\circ}{p}=p$, выберем представитель $A(p)$. Если мы параметризуем массовые оболочки, принадлежащие $\stackrel{\circ}{p}
eq 0$, следующим образом:
\[
p=\left\{\begin{array}{l}
\pm m\left(\operatorname{ch} \chi e_{(0)}+\operatorname{sh} \chi e(\theta, \varphi)\right), 0 \leqslant \chi<\infty \text { для } p \in \Omega\left( \pm m e_{(0)}\right) \\
n\left(\operatorname{sh} \chi e_{(0)}+\operatorname{ch} \chi e(\theta, \varphi)\right),-\infty<\chi<\infty \text { для } p \in \Omega\left(n e_{(3)}\right) \\
\pm e^{\chi}\left(e_{(0)}+e(\theta, \varphi)\right),-\infty<\chi<\infty \text { для } p \in \Omega\left( \pm\left(e_{(0)}+e_{(3)}\right)\right)
\end{array}\right.
\]
\[
e(\theta, \varphi) \equiv \sin \theta\left(\cos \varphi e_{(1)}+\sin \varphi e_{(2)}\right)+\cos \theta e_{(3)}, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi, 0 \leqslant \varphi<2 \pi \text {, }
\]

то в качестве соответствующих представителей можно выбрать
\[
\begin{array}{c}
A(p)=\hat{A}(\theta, \varphi) \hat{A}(\chi) \\
\hat{A}(\theta, \varphi) \equiv\left(\begin{array}{cc}
\cos \frac{1}{2} \theta & -e^{-i \varphi} \sin \frac{1}{2} \theta \\
e^{i \varphi} \sin \frac{1}{2} \theta & \cos \frac{1}{2} \theta
\end{array}\right), \\
\hat{A}(\chi) \equiv\left(\begin{array}{cc}
\exp \frac{1}{2} \chi & 0 \\
0 & \exp \left(-\frac{1}{2} \chi\right)
\end{array}\right) .
\end{array}
\]
Элемент $\hat{A}(\chi)$ выполняет чистое лоренцево преобразование в плоскости $(0,3)$ со скоростью th $\chi, \widehat{A}(\theta, \varphi)$ – кратчайший поворот, переводящий $e_{(3)}$ в направление p. Случай $\stackrel{\circ}{p}=0$ тривиален, так как фактор-пространство $S L(2, \mathbf{C}) / G(0)$ состоит только из одного элемента.
VI. Для каждой малой группы устанавливаем систему представителей классов эквивалентности всех неприводимых унитарных представлений $\left\{U_{G(p)}^{\rho}\right\}$. Индекс $\rho$ характеризует различные классы. Пусть $\mathfrak{F}_{G(p)}^{\rho}$ – гильбертово пространство, в котором действует представление $U_{G(p)}^{\rho}$. Явный вид системы $\left\{U_{G(p)}^{\rho}\right\}$ будет дан в пп. 1.2-1.5.
VII. Для подгруппы $\breve{G}(\stackrel{\circ}{p}) \equiv G(\stackrel{\circ}{p})$ (s) $R^{4} \subset \tilde{P}$ теперь можно построить в пространстве $\mathfrak{S}_{G(\rho)}^{\rho}$ представление
\[
\breve{G}(\stackrel{\circ}{p})
i(A, a) \rightarrow U_{\breve{G}(p)}^{\stackrel{\circ}{p}, \rho}(A, a) \leftrightharpoons \stackrel{\circ}{\chi^{p}}(a) U_{G(\stackrel{\rho}{p})}^{\rho}(A) .
\]
VIII. Для $\stackrel{\circ}{p}
eq 0$ определяется мера на множестве $\Omega(\stackrel{\circ}{p})$, инвариантная относительно группы $S L(2, \mathbf{C})$ :
\[
\int_{\Omega(\rho)} d \omega_{\stackrel{\circ}{ }}(p) \equiv \int_{\Omega(\rho)} \frac{d^{3} \mathrm{p}}{2|\stackrel{\circ}{p}|} .
\]

С помощью этой меры определяется прямая интегральная сумма гильбертовых пространств $\mathfrak{S}_{G(p)}^{\rho}(p) \equiv \mathfrak{Y}_{G(p)}^{\rho}$ :
\[
\mathfrak{F}^{\circ, \rho} \equiv \bigoplus \int_{\Omega(\rho)} \sqrt{d \omega_{p}(p)} \mathfrak{F}_{G(p)}^{\rho}(p) .
\]

Пространство $\mathscr{F}^{p, \rho}$ состоит из векторных функций $\psi: \Omega(\stackrel{\circ}{p}) \rightarrow$ $\rightarrow \mathfrak{F}_{a(\rho)}^{\rho}$ со скалярным произведением
\[
\langle\psi \mid \varphi\rangle^{\circ} \equiv \int_{\Omega(\rho)} d \omega_{p}^{\circ}(p)\langle\psi(p) \mid \varphi(p)\rangle_{G(\stackrel{\circ}{p})}^{\rho},
\]

где скобками $\langle\mid\rangle_{G(p)}^{\rho}$ обозначено скалярное произведение в пространстве $\mathscr{F}_{a(p)}^{\rho}$. Для $\stackrel{\circ}{p}=0$ имеем $\mathfrak{S}^{0, \rho} \equiv \mathscr{L}_{G(0)}^{o} ;$ скалярное произведение
\[
\langle\psi \mid \varphi\rangle^{0, \rho} \equiv\langle\psi \mid \varphi\rangle_{G(0)}^{\rho}
\]
IX. Представление (1.1.10) подгруппы $\check{G}(\stackrel{\circ}{p})$ при $\stackrel{\circ}{p}
eq 0$ в пространстве $\mathfrak{g}^{p, \rho}$ индуцирует следующее представление группы Пуанкаре ${ }^{1}$ ):
\[
\begin{aligned}
\left(\stackrel{\circ}{U^{p, \rho}}(A, a) \psi\right)(p) & \equiv U_{\overleftrightarrow{G}(\stackrel{\rho}{p})}^{p, \rho}\left(R(p ; A), \Lambda(p)^{-1} a\right) \psi\left(\Lambda(A)^{-1} p\right)= \\
& =e^{i p \cdot a} U_{G(\rho)}^{\rho}(R(p ; A)) \psi\left(\Lambda(A)^{-1} p\right), \quad(1.1 .1 \\
\Lambda(p) \equiv \Lambda(A(p)), p & =\Lambda(p) \stackrel{\circ}{p}, R(p ; A) \equiv A(p)^{-1} A A\left(\Lambda(A)^{-1} p\right) .
\end{aligned}
\]

Для $\stackrel{\circ}{p}=0$ вместо (1.1.15) мы имеем представление
\[
U^{0, \rho}(A, a) \psi=U_{G(0)}^{\rho} \psi
\]

группы $\tilde{P}$ в пространстве $\mathfrak{g}_{G(0)}^{\rho}$. При этом представление трансляционной нормальной подгруппы $\breve{\mathbf{R}}^{4} \subset \widetilde{P}$ тривиально.
Общие результаты Макки гарантируют, что
a) каждое неприводимое унитарное представление группы $\tilde{P}$ эквивалентно одному из построенных выше представлений $U^{\stackrel{\circ}{p} \rho \text {; }}$
б) два представления $U^{\circ}, \rho$ и $U^{p^{\prime}, \rho^{\prime}}$, полученные указанным образом, эквивалеңтны в том и только в том случае, если $\stackrel{\circ}{p}=\stackrel{\circ}{p^{\prime}}, \rho=\rho^{\prime}$.

Таким образом, задача отыскания всех неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре $\widetilde{P}$ сводится к задаче построения всех ңеприводимых унитарных представлений малых групп.