Пусть $G$-данная группа. Если вам так больше нравится, можно сказать, что мы рассматриваем категорию, объектами которой являются векторные пространства $\mathscr{E}$ (над данным полем $K$ ) с линейным действием группы $G$ на $\mathscr{E}$ [т. е. $G
i x \rightarrow$ $\rightarrow g(x) \in \mathscr{L}(\mathscr{E})$, где $\mathscr{L}(\mathscr{E})$ – алгебра эндоморфизмов пространства $\mathscr{E}$, причем $x y \rightarrow g(x) g(y)=g(x y)$ ]. Морфизмами этой категории являются гомоморфизмы векторных пространств $\mathscr{E} \xrightarrow{f} \mathscr{E}^{\prime}$, совместимые с действием группы, т. е. для каждого $x \in G$ соответствующая диаграмма для гомоморфизмов векторных пространств является коммутативной. Мы назовем эти морфизмы $G$-гомоморфизмами $G$-векторных пространств.

Конечно, можно было бы сказать, что мы изучаем бимодули ( $G$ – и $K$-модули), или еще проще, что мы интересуемся линейными представлениями группы $G$. При этом $G$-гомоморфизмы называют также „сплетающими“ операторами. Заметим, что $G$-морфизмы из $\mathscr{E}_{1}$ в $\mathscr{E}_{2}$ образуют векторное пространство, которое мы обозначим через $\operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}\right)^{G}$. В самом деле, это пространство является подпространством инвариантных векторов пространства $\operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}\right)$, а инвариантные векторы являются „сплетающими“ операторами для представлений группы $G$, действующих в пространствах $\mathscr{E}_{1}$ и $\mathscr{E}_{2}$.
1) Этот небольшой раздел по групповой инвариантности носит чересчур эскизный характер. Значнтельно больше следовало бы сказать о симметрии физнческих законов (см., например, работу Вигнера [35]). Без этой симметрии не существовало бы рассматриваемой нами симметрии состояний. Қонечно, многие из этих вопросов еще будут рассмотрены в данных лекциях.
Пусть даны $G$-векторные пространства $\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}, \ldots$ Тогда все векторные пространства, которые могут быть образованы из них, также являются $G$-векторными пространствами, например: $\mathscr{E}_{1} \otimes \mathscr{E}_{2}, \operatorname{Hom}\left(\mathscr{E}_{1}, \mathscr{E}_{2}\right), \mathscr{L}(\mathscr{E})=\operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{E})$, векторное пространство тензорной алгебры на $\mathscr{E}: T(\mathscr{E})=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathscr{E}^{(n)}$, где $\mathscr{E}^{(0)}=K$, $\mathscr{E}^{(n)}=\mathscr{E} \otimes \mathscr{E} \otimes \ldots \otimes \mathscr{E}(n$ множителей $)$, и т. д.

Пусть дана физическая система, а $\mathscr{H}$ – гильбертово пространство ее векторов состояний. Предположим, что $\mathscr{H}$ есть $G$-векторное пространство. Тогда таким же является и $\mathscr{L}(\mathscr{C})$. Мы приходим к изучению объектов (категории $G$-векторных пространств) из рассмотренного выше пространства $\mathscr{L}(\mathscr{H})$. В физической литературе они называются „тензорными операторами на $\mathscr{C}$ “. (Заметное исключение в терминологии представляет книга У. Фано и Дж. Рака́ [36], посвященная этому вопросу.) По определению $\mathscr{E}_{i}$-тензорный оператор в физическом смысле слова есть $G$-морфизм (или сплетающий оператор) из $\mathscr{E}_{i}$ в $\mathscr{L}(\mathscr{C})$. Если представление группы $G$, действующее в пространстве $\mathscr{E}_{i}$, неприводимо, то соответствующий $G$-морфизм называется в физике „неприводимым тензорным оператором“. Если $G$ действует на $\mathscr{E}_{i}$ тривиально, то мы имеем „скалярный тензорный оператор“ ${ }^{1}$ ).

Настало время специализировать поле $K$. Вообще говоря, это, конечно, поле комплексных чисел, так как $\mathscr{H}$ – комплексное гильбертово пространство. Однако вещественность также встречается в физике. Так, например, часто $\mathscr{E}$ – это веществен$G$-го моморфизм $T$ из вещественного векторного пространства $\mathscr{E}$ в вещественное векторное пространство самосопряженных операторов на $\mathscr{H}$. Разумеется, всегда можно затем расширить поле от $\mathbf{R}$ до $\mathbf{C}$.

Если $G$ – группа Ли, то мы рассматриваем, конечно, только непрерывные дифференцируемые представления, так что $G$-векторное пространство является также $\mathbf{g}$-модулем для алгебры Ли $\mathbf{g}$ группы $G$. Мы обозначим через $\mathscr{G}$ векторное пространство алгебры g. Среди $\mathscr{G}$-тензорных операторов на $\mathscr{L}(\mathscr{C})$ существует один особый оператор $F^{\prime}$, который можно рассматривать также как представление алгебры Ли $\mathrm{g}$ на $\mathscr{C}$. Если представление группы $G$ на $\mathscr{C}$ унитарно, то оператор, $F=i F^{\prime}$ имеет в качестве образа самосопряженные операторы удов-
1) Термин „скаляр“ часто используется физиками вместо термина „инвариант“.
\[
[F(a), F(b)]=(F(a) F(b)-F(b) F(a))=i F(a \wedge b) .
\]

Если $G$ является группой вращений, пространственных смещений, временных смещений и т. д., то $F$ соответственно определяет наблюдаемые: момент количества движения, импульс, энергию и т. д. Величины из разд. 1.1, которые мы назвали там наблюдаемыми, являются элементами образа $F$, т. е., например, компонентой момента количества движения или импульса в данном направлении. Я надеюсь, теперь ясно, что $G$-морфизмы на $\mathscr{L}(\mathscr{C})$ соответствуют физическим величинам тензорного характера относительно группы $G$ (другие примеры: скорость, магнитный момент, электрический квадрупольный момент, тензор энергии – импульса, тензор моментов инерции и т. д.).

Пусть $R$ и $U$ (унитарное) суть представления группы $G$ на $\mathscr{E}$ и $\mathscr{H}$ соответственно. По определению $\mathscr{E}$-тензорного оператора $T$,
\[
\forall x \in \mathscr{E}, \quad \forall g \in G, \quad U(g) T(x) U^{-1}(g)=T(R(g) x) .
\]

Если $D$ и $F^{\prime}=i F$ – соответствующие представления алгебры Ли
\[
D(a)=\left.\frac{d}{d \alpha} R\left(e^{\alpha a}\right)\right|_{\alpha=0}, \quad i F=\left.\frac{d}{d \alpha} U\left(e^{\alpha a}\right)\right|_{\alpha=0},
\]

то эквивалентное определение $\mathscr{E}$-тензорного оператора $T$ имеет вид
\[
\forall x \in \mathscr{E}, \quad \forall a \in \mathrm{g}, \quad[F(a), T(x)]=i T(D(a) x) .
\]

Короче говоря, чаще всего применение теории групп в квантовой физике сводится к изучению „тензорных операторов“ на $G$-векторном (гильбертовом.) пространстве $\mathscr{H}$ физической системы. Они образуют кольцо ${ }^{1}$ ) (и алгебру). Пусть $T_{1}$ и $T_{2}$ – соответственно $\mathscr{E}_{1}$ – и $\mathscr{E}_{2}$-тензорные операторы на $\mathscr{H}$, тогда $\mathscr{E}_{1} \oplus \mathscr{E}_{2}
i x \oplus y \rightarrow T_{1}(x)+T_{2}(y)$ определяет $\mathscr{E}_{1} \oplus \mathscr{E}_{2}$-тензорный оператор;
$\mathscr{E}_{1} \otimes \mathscr{E}_{2}
i x \otimes y \rightarrow T_{1}(x) T_{2}(y)$ определяет $\mathscr{E}_{1} \otimes \mathscr{E}_{2}$-тензорный оператор.

Эти операторы мы обозначим соответственно через $T_{1} \oplus T_{2}$ и $T_{1} \otimes T_{2}$. Последний, вообще говоря, приводим и может быть
1) В случае бесконечномерного $\mathscr{C}$ операторы $T(x)$ не ограничены, так что их произведение не всегда хорошо определено. Я не буду заострять здесь внимание на этой трудности, которая относится и ко всей квантовой механике. Этот вопрос рассмотрен в лекциях О’Рейферти [37].
разложен в прямую сумму неприводимых „тензорных операторов“.

Существует, наверное, много проблем, систематически еще не изученных физиками, хотя работе с этим кольцом (для фиксированных $G, \mathscr{H}$ и действия $G$ на $\mathscr{C}$ ) они и отдали очень много сил.

Например, если группа $G$-простая, $T$ есть $\mathscr{G}$-тензорный оператор и $\forall x, y \in \mathscr{G},[T(x), T(y)]=0$, то, я думаю, отсюда следует, что $\left.\operatorname{dim} \operatorname{Hom}(\mathscr{G}, \mathscr{H})^{G}=\infty^{1}\right)$.

Конечно, подалгебра, порожденная одним элементом, хорошо известна: для данного $\mathscr{E}$-тензорного оператора $T$ существует функториальный $G$-морфизм $\widehat{T}$ из тензорной алгебры $\mathscr{T}(\mathscr{E})$ на $\mathscr{E}$ в $\mathscr{L}(\mathscr{H})$, который, кроме того, является гомоморфизмом алгебры. Если $i$ есть каноническое вложение $\mathscr{E}$ в $\mathscr{T}(\mathscr{E})(\operatorname{Im} i=$ $\left.=\mathscr{E}^{(1)}\right)$, то диаграмма 2 коммутативна
Диаграмма 2.
В частном случае, когда $T$ является представлением $F$ (с точностью до множителя $i$ [см. уравнение (1.6)]) алгебры $\mathbf{g}$ на $\mathscr{H}$, оно оказывается также представлением $\mathscr{U}(\mathscr{I})$ – представлением универсальной накрывающей алгебры $\mathbf{g}$.
Диаграмма 3.
На диаграмме $3 \hat{F}=\tilde{F} \cdot s$.
Замечательным „скалярным тензорным оператором“ является оператор Казимира.
1) Это было доказано К. Муром.
Пусть $G$ есть полупростая группа Ли, и пусть $a \rightarrow D(a)$ – присоединенное представление алгебры Ли $\mathbf{g}$, действующее в векторном пространстве $\mathscr{G}$ :
\[
D(a) b=a \wedge b, \quad[D(a), D(b)]=D(a \wedge b) .
\]

Симметричная билинейная форма Киллинга – Картана
\[
\beta(a, b)=\mathrm{Sp}[D(a), D(b)]
\]

невырожденна. Следовательно, она определяет $G$-изморфизм $i^{\prime}$ между $\mathscr{G}$ и дуальным пространством $\mathscr{G}^{\prime}$. Это также определяет изоморфизм $i^{\prime} \otimes I$ ( $I$ – тождественное преобразование)
\[
\mathscr{G} \otimes \mathscr{G} \stackrel{l^{\prime} \otimes I}{\longleftrightarrow} \mathscr{G}^{\prime} \otimes \mathscr{G} \stackrel{j}{\longleftrightarrow} \operatorname{Hom}(\mathscr{G}, \mathscr{G}) .
\]

Здесь хорошо известный канонический гомоморфизм $j$ является также $G$-гомоморфизмом. Тождественный оператор $I$ на $\mathscr{G}$ является инвариантным $G$-вектором $\in \operatorname{Hom}(\mathscr{G}, \mathscr{G})^{a}$. Так что
\[
c=\left(i^{\prime} \otimes I\right) \cdot j(1)
\]

есть инвариантный вектор в $\mathscr{E} \otimes \mathscr{E} \subset T(\mathscr{E})$ с фиксированной нормировкой, а $\widehat{F}(c)$ – оператор Казимира на $\mathscr{H}$.

Физики и некоторые математики (см,, например, Бурбаки [38]) иногда не используют эту каноническую нормировку для $c$. В физической литературе в настоящее время образы при отображении $\widetilde{F}$ множества алгебраически независимых элементов центра $\mathscr{U}(\mathrm{g})$ называются „операторами Казимира“.

Для того чтобы убедить физиков в том, что каноническая точка зрения, использованная здесь, является более предпочтительной, закончим этот раздел очень простой теоремой, подробно доказанной в физической литературе для частных случаев.

Теорема. Если $G$ не имеет никакого нетривиального одномерного представления и если $T$ – неинвариантный неприводимый $\mathscr{E}$-тензорный оператор в конечномерном пространстве $\mathscr{C}$, то $\forall a \in \mathscr{E}, \mathrm{Sp} T(a)=0$. В самом деле, поле (например, поле C) является тривиальным одномерным $G$-векторным пространством, а „след“ $€ \operatorname{Hom}(\mathscr{L}(\mathscr{H}), \mathbf{C})^{a}$, поскольку $T \in \operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathscr{L}(\mathscr{H}))^{a}$; следовательно (согласно нашей гипотезе),
\[
{ }^{2} \mathrm{Sp} T^{\star}={ }_{n} \mathrm{Sp} “ \cdot T \in \operatorname{Hom}(\mathscr{E}, \mathbf{C})^{G}=0 .
\]