Прямое произведение двух неприводимых унитарных представлений $U^{\stackrel{\rho_{1}}{ }, \rho_{1}}$ и $U^{\rho_{2}, \rho_{2}}$ группы $\tilde{P}$ определено как представление вида
\[
\begin{array}{c}
\left(\left(U^{\stackrel{\circ}{p_{1}, \rho_{1}}} \otimes U^{\left.\stackrel{\circ}{p_{2}, \rho_{2}}\right)}(A, a) \psi\right)\left(p_{1}, p_{2}\right) \equiv\left(U^{1,2}(A, a) \psi\right)\left(p_{1}, p_{2}\right)=\right. \\
=U_{\breve{a} \stackrel{\circ}{\left.\rho_{1}\right)}}^{\stackrel{\circ}{p_{1}}, \rho_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A\right), \Lambda\left(p_{1}\right)^{-1} a\right) \otimes \\
\otimes U_{\breve{Q}\left(\stackrel{\circ}{p}_{2}^{p_{2}}, \rho_{2}\right.}^{p_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A\right), \Lambda\left(p_{2}\right)^{-1} a\right) \psi\left(\Lambda^{-1} p_{1}, \Lambda^{-1} p_{2}\right)
\end{array}
\]
(здесь $\Lambda=\Lambda(A)$ ) в гильбертовом пространстве
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{F}^{1,2} \equiv \bigoplus_{\Omega\left(\rho_{1}\right) \times \Omega\left(p_{2}\right)} \sqrt{d \omega_{p_{1}}\left(p_{1}\right) d \omega_{p_{2}}\left(p_{2}\right)} \mathfrak{F}_{G\left(\rho_{1}\right)}^{\rho_{1}}\left(p_{1}\right) \otimes \mathfrak{F}_{G\left\langle\rho_{2}\right)}^{\rho_{2}}\left(p_{2}\right), \\
\mathfrak{F}_{G}^{\rho_{i}}{ }_{\left.\rho_{i}\right)}^{\rho_{i}}\left(p_{i}\right) \equiv \mathfrak{F}_{G_{i}}^{\rho_{i}}, \quad G_{i} \equiv G\left(\stackrel{\circ}{p}_{i}\right), \quad i=1,2, \\
\end{array}
\]

векторных функций $\psi: \Omega\left(\stackrel{\circ}{p_{1}}\right) \times \Omega\left(\stackrel{\circ}{p_{2}}\right) \rightarrow \mathfrak{F}_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{g}_{G_{2}}^{\rho_{2}}$ со скалярным произведением

Скобки $\langle 1\rangle^{\rho_{\mathrm{i}}, \rho_{2}}$ означают скалярное произведение в пространстве $\mathfrak{F}_{G_{1}}^{\rho_{1}} \otimes \mathfrak{F}_{G_{2}}^{\rho_{2}}$. Согласно формуле (1.1.15), имеем
\[
\begin{array}{l}
=e^{l\left(p_{1}+p_{2}\right) \cdot \dot{a}} U_{G_{2}}^{\rho_{1}}\left(R\left(p_{1} ; A\right)\right) \otimes U_{G_{2}}^{\rho_{2}}\left(R\left(p_{2} ; A\right)\right) . \\
\end{array}
\]

В разд. 3.1 для представления (3.1) при ненулевых импульcax $\stackrel{\circ}{p}_{1}
eq 0, \stackrel{\circ}{p}_{2}
eq 0$ мы построим унитарный оператор, преобразующий это представление в прямой интеграл неприводимых унитарных представлений группы $\tilde{P}$. Неприводимые унитарные представления, входящие в это разложение, их кратности, а также соответствующие коэффициенты Клебша-Гордана подробно описаны в разд. 3.2. Редукция прямого произведения, когда хотя бы один из множителей имеет нулевой импульс, кратко рассмотрена в разд. 3.3.