Гамильтониан $H$ двухатомной молекулы можно разбить на четыре части:
\[
H=H_{\text {электрон }}+H_{\text {колеб }}+H_{\text {вращ }}+H^{\prime},
\]

где в хорошем приближении величиной $H^{\prime}$ можно пренебречь. Гамильтониан $H_{\text {ялектрон }}$ определяет электронные состояния молекулы. Расстояние $d$ между двумя ядрами в этом состоянии таково, что его энергия минимальна. Группа инвариантности молекулы есть $O(2)$ или, если оба ядра тождественны, $O(2) \times$ $\times Z_{2}$. Обычно энергия связи таких состояний составляет доли $\alpha^{2}$, т. е. несколько электронвольт. Гамильтониан $H_{\text {колеб }}$ является, по существу, гамильтонианом гармонического осциллятора для малых колебаний относительно положения равновесия, соответствующего расстоянию $d$. Расстояния между колебательными уровнями одинаковы и малы по сравнению с $\alpha^{2}$, и гамильтониан $H_{\text {вращ }}$ дает для каждого значения $d$ энергии вращения, пропорциональные $l(l+1)$, где $l$-целое неотрицательное число. Эти энергии малы по сравнению с энергиями колебаний (вращательные полосы в спектре). Пусть два ядра молекулы идентичны. Какова симметрия состояния молекулы относительно группы перестановки $S(2)$ этих двух ядер? Симметрия зависит только от спинового состояния ядер. Если каждое ядро имеет спин $j$, то спиновое состояние ядер определяется НП группы $S U(2)$ :
\[
\begin{aligned}
D_{s}, 0 \leqslant s \leqslant 2 j, & \text { 凹 } s=2 j, 2 j-2,2 j-4, \ldots \\
\text { 日 } s & =2 j-1,2 j-3, \ldots,
\end{aligned}
\]

и вращательным состоянием системы является состояние 凹 для четного $l$ и состояние В-для нечетного $l$.

Поскольку в очень хорошем приближении $H$ не зависит от ядерного спина, то характер симметрии спинового состояния ядер является интегралом движения (часто время жизни его исчисляется неделями). Для гелия он нашел отражение в названии – орто- и парагелий. Из-за наличия связи спина и „статистики“ характер симметрии вращательного состояния является также интегралом движения. Таким образом, вращательный спектр молекулы делится на два независимых множества переходов – переходы между состояниями с четными $l$ и между состояниями с нечетными $l$. В том и другом случаях переходы имеют квадрупольный характер $l+2 \rightarrow l$ с энергией фотонов (длиной волны в области радиоволн) порядка $(l+2)(l+3)-l(l+1)=4 l+6$.

Число ядерных спиновых состояний п равно $(2 j+1) \times$ $\times(2 j+2) / 2=(j+1)(2 j+1)$. Число ядерных спиновых состояний В равно $(2 j+1)(2 j) / 2=j(2 j+1)$. Таким образом, если для молекулы относительная интенсивность спектральных линий вращения равна ( $2 j$-целое неотрицательное число) $j /(j+1)$ для отношения переходов $l$ четное $/ l$ нечетное, где $j$-ядерный спин, то статистика ядер будет $\{\boxminus \times \square\} /\{\varpi \times \theta\}=B$, т. е. статистика Ферми. Если же относительная интенсивность равна статистика Бозе. Экспериментальное подтверждение нашли только статистика Ферми для полуцелых $j$ (например, для электрона) и статистика Бозе для целых $j$. Суммируем эти важные экспериментальные данные:
\[
\text { Статистика }=(-1)^{2 j} .
\]
Например, если существуют вращательные состояния только с четными $l$, то делаем вывод, что $j=0$ и имеет место статистика Бозе.

Исторически впервые Разетти [62] был измерен спин ядра $N_{14}$ (молекула азота $\mathrm{N}$ – N). Разетти обнаружил, что $j=1$ и что справедлива статистика Бозе. Но тогда еще считали, что Вселенная состоит из протонов $p^{+}$, электронов $e^{-}$и фотонов $\gamma$ (единственные частицы, известные в то время) и что ядро $\mathrm{N}_{14}$ с зарядом $7 e$ содержит 14 протонов и 7 электронов. Таким образом, ожидалось, что оно имеет полуцелый спин и статистику Ферми. Эти измерения послужили началом кризиса в физике.