В теории электрона Дирака используется, как известно, волновая функция с четырьмя компонентами, две из которых, если рассматривается медленное движение, имеют величину, пренебрежимо малую по сравнению с двумя другими, удовлетворяющими в первом приближении уравнению Шредингера.

Аналогично частица с внутренним угловым моментом $s(h / 2 \pi)$ $\left(s=0,1 \frac{2}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots\right)$ описывается в квантовой механике совокупностью $2 s+1$ волновых функций, которые по отдельности удовлетворяют уравнению Шредингера. Такое представление, естественно, справедливо лишь постольку, поскольку мы пренебрегаем релятивистскими эффектами, а это возможно лишь для частицы, движущейся со скоростью, гораздо меньшей скорости света. Другой случай, в котором элементарная теория еще применима, – очевидно, случай, в котором скорость частицы, сравнимая с $c$, остается почти постоянной по величине и направлению, и потому можно вернуться к рассмотреңию медленного движения, выбрав подходящим образом систему отсчета.

Случай, когда скорость частицы, почти постоянная в достаточно обширной области пространственно-временно́го континуума, под действием слабого внешнего поля меняется при переходе из одной области в другую медленно, но в очень широких пределах, не может быть рассмотрен путем непосредственного применения нерелятивистского уравнения Шредингера.

Релятивистское обобщение упомянутой теории должно удовлетворять указанным ниже условиям, следующим в порядке возрастания степени точности теории.
1) Majorana E., Teoria relativistica di particelle con momento intriseco arbitrario, Nuovo Cimento, 9, 335 (1932).
a) Теория позволяет изучать частицу, имеющую скорость, почти постоянную по величине и направлению, давая результаты, эквивалентные нерелятивистской теории, однако без необходимости перехода в определенную систему отсчета.
б) Теория позволяет изучать процессы, в которых скорость частицы под действием слабого внешнего поля меняется медленно, но в произвольно широких пределах.
в) Теория справедлива в самом общем случае независимо от неопределенности в скорости частицы.

Возможно, что точная теория, удовлетворяющая требованию „в“, будет несовместима с сохранением теперешней квантовой схемы. Теория электрона Дирака, продемонстрировавшая свою плодотворность для изучения таких существенно релятивистских явлений, как рассеяние жестких $\gamma$-лучей, очевидно неудовлетворительна с точки зрения п. „в“, как показывает известная трудность с переходом к состояниям с отрицательной энергией. Однако весьма вероятно, что теория, удовлетворяющая требованию „б“ и лишь частично требованию „в“, не сталкивается с существенными трудностями, причем ее физическое содержание может быть оправдано, по существу, в той же мере, как для уравнения Шредингера. Замечательный пример такого релятивистского обобщения как раз и дает теория Дирака, но поскольку эта теория применима лишь к частице с внутренним угловым моментом $s=\frac{1}{2}$, я искал уравнения, аналогичные по форме уравнению Дирака, хотя и несколько более сложные, которые позволили бы рассматривать частицы с произвольным и, в частности, нулевым внутренним угловым моментом.

Волновое уравнение для материальной частицы в отсутствие поля, согласно Дираку, должно иметь вид
\[
\left[\frac{W}{c}+(\alpha, p)-\beta m c\right] \psi=0 .
\]

Уравнения этого типа представляют принципиальную трудность. Оператор $\beta^{-1}$ должен фактически преобразовываться как временна́я компонента некоторого 4-вектора, и потому оператор $\beta$ не может быть просто кратным единичной матрице, а должен иметь по меньшей мере два различных собственных значения, например $\beta_{1}$ и $\beta_{2}$. Но отсюда следует, что энергия покоя частицы, которую можно найти из уравнения (1), полагая $P=0$, должна иметь по меньшей мере два различных значения, т. е. $\beta_{1} m c^{2}$ и $\beta_{2} m c^{2}$. Согласно уравнению Дирака, возможные значения массы покоя, как известно, равны $+m$ и $-m$, откуда по релятивистской инвариантности следует, что энергия может иметь два значения, различающихся знаком, для одного значения $p: W= \pm \sqrt{m^{2} c^{4}+p^{2} c^{2}}$.

Неопределенность в знаке энергии можно преодолеть, если использовать уравнения общего вида (1), но для волновой функции, имеющей бесконечно много компонент, которая не может быть разбита на конечные тензоры или спиноры.
1. Уравнение (1) можно вывести из вариационного принципа:
$\delta \int \tilde{\psi}\left[\frac{W}{c}+(\alpha, p)-\beta m c\right] \psi d V d t=0$.

Релятивистская инвариантность требует, в частности, чтобы форма $\tilde{\psi} \beta \psi$ была инвариантна.

Если потребовать теперь, чтобы энергия покоя всегда была положительной, то все собственные значения $\beta$ должны быть положительными, а форма $\tilde{\psi} \beta \psi$ – положительно определенной. Тогда можно посредством неунитарного преобразования $\psi \rightarrow \varphi$ привести эту форму к единичной:
$\tilde{\psi} \beta \psi=\tilde{\varphi} \varphi$.
Подставляя в (2) выражение для $\psi$ через $\varphi$, получаем
\[
\delta \int \tilde{\varphi}\left[\gamma_{0} \frac{W}{c}+(\gamma, p)-m c\right] \varphi d V d t=0,
\]

откуда следует уравнение, эквивалентное (1),
\[
\left[\gamma_{0} \frac{W}{c}+(\gamma, p)-m c\right] \varphi=0 .
\]

Теперь нам нужно найти закон преобразования $\varphi$ под действием лоренцевых поворотов и такой вид матриц $\gamma_{0}, \gamma_{x}, \gamma_{y}$, $\gamma_{z}$, чтобы соблюдалась релятивистская инвариантность вариационного принципа, и, следовательно, подынтегральная функция в (4) была инвариантна.

Приступая к установлению закона преобразования $\varphi$, заметим прежде всего, что инвариантность формы $\tilde{\varphi} \varphi$ означает, что мы должны рассматривать только унитарные преобразования. Кроме того, чтобы избежать лишних усложнений, рассмотрим закон преобразования только для бесконечно малых преобразований Лоренца, интегрированием которых можно получить любое конечное преобразование. Введем инфинитезимальные преобразования по переменным $c t, x, y, z$ :
(6)
и обозначим
\[
\begin{array}{l}
a_{x}=i S_{x}: a_{y}=i S_{y} ; \quad a_{z}=i S_{z} ; \\
b_{x}=-i T_{x} ; \quad b_{y}=-i T_{y} ; \quad b_{z}=-i T_{z} .
\end{array}
\]

Операторы $a$ и $b$ должны быть эрмитовыми в унитарном представлении (справедливо и обратное утверждение); кроме того, поскольку инфинитезимальные преобразования должны быть интегрируемыми, то эти операторы должны удовлетворять следующим перестановочным соотношениям, которые можно вывести из формул (6) и (7):
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{x}, a_{y}\right)=i a_{z} ; \quad\left(a_{x}, b_{x}\right)=0 ; \quad\left(a_{x}, b_{y}\right)=i b_{z} ; \\
\left(a_{x}, b_{z}\right)=-i b_{y} ; \quad\left(b_{x}, b_{y}\right)=-i b_{z} .
\end{array}
\]

Другие соотношения можно получить циклической перестановкой переменных $x, y, z$.

Простейшее решение системы (8) в эрмитовых операторах дают следующие бесконечные матрицы, в которых элементы нумеруются двумя индексами: $j$ и $m$, причем следует различать две возможности: $j=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \ldots ; m=j, j-1, \ldots,-j$;

—————————————————————-
0011ru_fiz_kvan_book24_no_photo_page-0244.jpg.txt

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ЧАСТИЦЫ С УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ
243
или же $j=0,1,2, \ldots ; m=j, j-1, \ldots,-j$ :
\[
\begin{aligned}
\left(j, m\left|a_{x}-i a_{y}\right| j, m+1\right) & =\sqrt{(j+m+1)(j-m)} \\
\left(j, m\left|a_{x}+i a_{y}\right| j, m-1\right) & =\sqrt{(j+m)(j-m+1)}, \\
\left(j, m\left|a_{z}\right| j, m\right) & =m
\end{aligned}
\]
$\left(j, m\left|b_{x}-i b_{y}\right| j+1, m+1\right)=-\frac{1}{2} \sqrt{(j+m+1)(j+m+2)}$,
$\left(j, m\left|b_{x}-i b_{y}\right| j-1, m+1\right)=\frac{1}{2} \sqrt{(j-m)(j-m-1)}$,
$\left(j, m\left|b_{x}+i b_{y}\right| j+1, m-1\right)=\frac{1}{2} \sqrt{(j-m+1)(j-m+2)}$,
$\left(j, m\left|b_{x}+i b_{y}\right| j-1, m-1\right)=-\frac{1}{2} \sqrt{(j+m)(j+m+1)}$,
$\left(j, m\left|b_{z}\right| j+1, m\right)=\frac{1}{2} \sqrt{(j+m+1)(j-m+1)}$,
$\left(j, m\left|b_{z}\right| j-1, m\right)=\frac{1}{2} \sqrt{(j+m)(j-m)}$.
Принимая, что при инверсии относительно начала отсчета компонента $\varphi_{j, m}$ в зависимости от $j$ попеременно не меняется или меняет знак, приходим к выводу, что b есть полярный вектор, в то время как а – акснальный вектор.

Будем называть величину, на которую действуют операторы $a$ и $b$, бесконечным тензором или бесконечным спинором индекса нуль в соответствии с тем, принимает $j$ целые или полуцелые значения. Термин „индекса нуль“ означает, что инвариант
\[
Z=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}
\]

равен нулю.
Более общие бесконечные спиноры или тензоры могут быть определены для любой величины $Z$. Спиноры могут быть получены следующим простым образом. Рассматривается общее решение уравнения Дирака без внешнего поля и связанное с ним релятивистское преобразование
\[
\psi(q, t) \rightarrow \psi^{\prime}(q, t) .
\]

Тогда преобразование
\[
\psi(q, 0) \rightarrow \psi^{\prime}(q, 0)
\]

является унитарным, и если вместо произвольной функции $\psi(q, 0)$ мы будем рассматривать только функции, отвечающие определенному собственному значению $z_{0}$ оператора (10), который обладает непрерывным спектром, простирающимся от $-\infty$ до $+\infty$, то мы найдем функции, которые преобразуются по формуле (12) как бесконечные спиноры, каждый из которых входит ровно два раза.
Операторы $a_{x}$ и $b_{x}$ имеют в представлении (12) вид
\[
a_{x}=\frac{2 \pi}{h}\left(y p_{z}-z p_{y}\right)+\frac{1}{2} \sigma_{x}, \quad b_{x}=\frac{2 \pi}{h} x \frac{H}{c}+\frac{i}{2} \alpha_{x} ;
\]

аналогичные выражения можно записать для операторов $a_{y}$, $a_{z}, b_{y}, b_{z}$.
2. Теперь следует определить операторы $\gamma_{0}, \gamma_{x}, \gamma_{y}, \gamma_{z}$ так, чтобы форма (4) была инвариантной. Поскольку мы рассматриваем только унитарные преобразования, данные операторы преобразуются как эрмитовы формы, с которыми они связаны, и, следовательно, в силу инвариантности подынтегральной функции в уравнении (4) необходимо, чтобы они составляли ковариантный вектор $\left(\gamma_{0}, \gamma_{x} \gamma_{y}, \gamma_{z} \sim c t,-x,-y,-z\right)$.

Формы $\tilde{\varphi} \gamma_{0} \varphi$ и – $\tilde{\varphi} \varphi$, очевидно, интерпретируются как плотности заряда и тока. Операторы $\gamma$ должны удовлетворять перестановочным соотношениям:
\[
\begin{array}{ll}
\left(\gamma_{0}, a_{x}\right)=0, & \left(\gamma_{0}, b_{x}\right)=i \gamma_{x}, \\
\left(\gamma_{x}, a_{x}\right)=0, & \left(\gamma_{x}, a_{y}\right)=i \gamma_{z}, \\
\left(\gamma_{x}, a_{z}\right)=-i \gamma_{y}, & \left(\gamma_{x}, b_{x}\right)=i \gamma_{0} \\
\left(\gamma_{x}, b_{y}\right)=0, & \left(\gamma_{x}, b_{z}\right)=0,
\end{array}
\]

а также другим соотношениям, которые можно получить циклической перестановкой $x, y, z$. Қак легко показать, перестановочные соотношения (13) определяют матрицы $\gamma_{0}, \gamma_{x}, \gamma_{y}, \gamma_{z}$ с точностью до постоянного множителя. В результате получаем
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{0}=j+\frac{1}{2}, \\
\left(j, m\left|\gamma_{x}-i \gamma_{y}\right| j+1, m+1\right)=-\frac{i}{2} \sqrt{(j+m+1)(j+m+2)}, \\
\left(j, m\left|\gamma_{x}-i \gamma_{y}\right| j-1, m+1\right)=-\frac{i}{2} \sqrt{(j-m)(j-m-1)}, \\
\left(j, m\left|\gamma_{x}+i \gamma_{y}\right| j+1, m-1\right)=\frac{i}{2} \sqrt{(j-m+1)(j-m+2)}, \\
\left(j, m\left|\gamma_{x}+i \gamma_{y}\right| j-1, m-1\right)=\frac{i}{2} \sqrt{(j+m)(j+m-1)}, \\
\left(j, m\left|\gamma_{z}\right| j+1, m\right)=\frac{i}{2} \sqrt{(j+m+1)(j-m+1)}, \\
\left(j, m\left|\gamma_{z}\right| j-1, m\right)=-\frac{i}{2} \sqrt{(j+m)(j-m)} .
\end{array}
\]

Остальные компоненты матриц $\gamma_{x}, \gamma_{y}, \gamma_{z}$ равны нулю. Заметим, что эрмитова форма $ү \gamma_{0} \varphi$ является положительно определенной, как того и требует физическая интерпретация,
Теперь мы хотим перейти от уравнений, записанных в форме (15), к уравнениям вида (1). Для этого достаточно положить
\[
\varphi_{j, m}=\left(j+\frac{1}{2}\right)^{-1 / 2} \psi_{j, m},
\]

так как при этом форма, связанная с $\gamma_{0}$, приводится к единичной. Таким образом, мы получаем уравнения в желаемой форме:
\[
\left[\frac{W}{c}+(\alpha, p)-\beta m c\right] \psi=0,
\]

в которых $\beta=(j+1 / 2)^{-1}$, а отличные от нуля компоненты $\alpha_{x}$, $\alpha_{y}, \alpha_{z}$ определяются выражениями
\[
\begin{array}{l}
\left(j, m\left|\alpha_{x}-i \alpha_{y}\right| j+1, m+1\right)=-\frac{i}{2} \sqrt{\frac{(j+m+1)(j+m+2)}{(j+1 / 2)(j+3 / 2)}}, \\
\left(j, m\left|\alpha_{x}-i \alpha_{y}\right| j-1, m+1\right)=-\frac{i}{2} \sqrt{\frac{(j-m)(j-m-1)}{(j-1 / 2)(j+1 / 2)}} \\
\left(j, m\left|\alpha_{x}+i \alpha_{y}\right| j+1, m-1\right)=\frac{i}{2} \sqrt{\frac{(j-m+1)(j-m+2)}{(j+1 / 2)(j+3 / 2}}, \\
\left(j, m\left|\alpha_{x}+i \alpha_{y}\right| j-1, m-1\right)=\frac{i}{2} \sqrt{\frac{(j+m)(j+m-1)}{(j-1 / 2)(j+1 / 2)}}, \\
\left(j, m\left|\alpha_{z}\right| j+1, m\right)=\frac{i}{2} \sqrt{\frac{(j+m+1)(j-m+1)}{(j+1 / 2)(j+3 / 2)}} \\
\left(j, m\left|\alpha_{z}\right| j-1, m\right)=-\frac{i}{2} \sqrt{\frac{(j+m)(j-m)}{(j+1 / 2)(j+1 / 2)}}
\end{array}
\]

Все решения уравнения (16), отвечающие плоской волне с положительной массой, могут быть найдены путем релятивистского преобразования из волны с нулевым импульсом. Для этой волны энергия равна
\[
W_{0}=\frac{m c^{2}}{j+1 / 2} .
\]

Таким образом, для полуцелых $j$ имеем состояния, отвечающие значениям массы $m, 1 / 2 m, 1 / 3 m, \ldots$, а для целых $j: 2 m$, $2 / 3 m, 2 / 5 m, \ldots$

Следует отметить, что частицы с различной массой имеют разные внутренние угловые моменты, причем внутренний угловой момент имеет определенное значение только в системе, в которой частица покоится.

Если принять, что совокупность состояний, отвечающих массе покоя $m /(s+1 / 2)$, реализуется в природе, причем все остальные состояния не имеют смысла, то получим инвариантную теорию частицы сугловым моментом $s$, которую можно считать удовлетворительной в отсутствие поля. Без труда можно проверить, что при медленном движении для частицы с внутренним моментом $s$ заметно отличается от нуля только функция $\psi_{s m}$, подчиняющаяся уравнению Шредингера с массой $M=m /(s+1 / 2)$, в то время как функции $\psi_{s+1, m}$ и $\Psi_{s-1, m}$ порядка $v / c$, функции $\psi_{s+2, m}$ и $\psi_{s-2, m}$ порядка $v^{2} / c^{2}$ и т. д.

Так мы получаем только два волновых уравнения, одно из которых пригодно для описания частицы с нецелым угловым моментом, а другое – для частицы с нулевым или целым моментом.

Кроме состояний, имеющих положительные значения массы, имеются и другие, в которых энергия связана с импульсом соотношением вида
\[
W= \pm \sqrt{c^{2} p^{2}-k^{2} c^{4}}
\]

и которые существуют не для всех положительных $k$, а только при $p \geqslant k c$. Эти состояния можно рассматривать как состояния с мнимой массой $i k$.

Функции „спина“, отвечающие плоской волне с $p
eq 0$, имеют особенно простой вид в случае частицы без внутреннего момента, если $p_{x}=p_{y}=0, p_{z}=p$. При этом находим с точностью до нормировочного множителя
\[
\left\{\begin{array}{l}
\psi_{j},_{0}=\sqrt{j+\frac{1}{2}}\left(i \frac{\eta-j}{\varepsilon}\right)^{j} \quad(j=0,1,2, \ldots), \\
\psi_{j}, m=0 \text { при } m
eq 0,
\end{array}\right.
\]

где
\[
\varepsilon=\frac{p}{M c}, \quad \eta=\frac{\sqrt{M^{2} c^{2}+p^{2}}}{M c}
\]

и $M=2 m$ – масса покоя.
3. Рассмотрим теперь кратко введение в уравнение электромагнитного поля.

Переход от уравнений без поля к уравнениям с внешним полем производится наиболее простым образом путем замены $W$ и р на $W-e \varphi, \mathbf{p}-(e / c) \mathbf{A}$, где $e-$ заряд частицы, а $\varphi$ и $\mathbf{A}-$ скалярный и векторный потенциалы. Но имеется и другая возможность. Можно, например, добавить инвариантные члены, аналогичные тем, которые были введены Паули¹) в теории магнитного нейтрона, и пропорциональные напряженности поля вместо электромагнитных потенциалов, так чтобы не нарушить инвариантность уравнений, связанную с неопределенностью потенциалов.
1) См. Oppenheimer J. R., Phys. Rev., 41, 763 (1932).
Такой прием позволяет приписать частице с отличным от нуля угловым моментом любой магнитный момент. В случае электрона, например, посредством простой подстановки $W, \mathbf{p} \rightarrow \mathbb{W}-e \varphi$, $\mathbf{p}-(e / c) \mathbf{A}$ получается магнитный момент $+1 / 2 \mu_{0}$ вместо – $\mu_{0}$. Если захотеть привести нашу теорию к теории электронов, которая согласуется наилучшим образом с экспериментальными данными, следует изменить магнитный момент дополнительными членами. Но полученная таким образом теория электронов является бесполезным дублированием теории Дирака, которая остается более предпочтительной благодаря своей простоте и согласию с экспериментом. Преимуществом настоящей теории, напротив, является ее применимость к частицам с угловым моментом, отличным от $1 / 2$.

Уравнение с полем и добавочными членами. изменяющими внутренний магнитный момент, имеет вид
\[
\left[\left(\frac{W}{c}-\frac{e}{c} \varphi\right)+\left(\mathbf{a}, \mathbf{p}-\frac{e}{c} \mathbf{A}\right) \beta m c+\lambda\left(\mathbf{a}^{\prime}, \mathbf{H}\right)+\lambda\left(\mathbf{b}^{\prime}, \mathbf{E}\right)\right] \varphi=0,
\]

где $\mathbf{a}^{\prime}=\left(a_{x}^{\prime}, a_{y}^{\prime}, a_{z}^{\prime}\right), \quad \mathbf{b}^{\prime}=\left(\mathrm{b}_{x}^{\prime}, \mathrm{b}_{y}^{\prime}, \mathrm{b}_{z}^{\prime}\right)$, а $\mathbf{E} \quad$ и $\quad$ обозначают электрическое и магнитное поля.
Матрица $a_{x}^{\prime}$ получается из $a_{x}(9)$ с помощью правила
\[
\left(j, m\left|a_{x}^{\prime}\right| j^{\prime}, m^{\prime}\right)=\frac{1}{\sqrt{(j+1 / 2)\left(j^{\prime}+1 / 2\right)}}\left(j, m\left|a_{x}\right| j^{\prime}, m^{\prime}\right),
\]

и аналогично для $a_{y}^{\prime}, a_{z}^{\prime}, b_{x}^{\prime}, b_{y}^{\prime}, b_{z}^{\prime}$.
Для частицы с внутренним угловым моментом $s=1 / 2$ следует положить $\lambda=(2 / c) \mu$, где $\mu$ – магнитный момент, естественно возникающий при введении электромагнитных потенциалов в волновое уравнение. Эта величина в нашем случае, как и следует, равна – $1 / 2 e h / 4 \pi m c$. Для частицы без внутреннего углового момента естественно положить $\lambda=0$.

Что касается практического решения волнового уравнения, напомним, что при медленном движении только функции $\psi_{j, m}$ являются конечными и удовлетворяют уравнению Шредингера, где $j$ – внутренний угловой момент в единицах $h / 2 \pi$.

Для частицы без углового момента, например, единственной существенной компонентой является $\psi_{00}$, в то время как $\psi_{1 m}$ порядка $v / c$, где $v$ – скорость частицы, $\psi_{2 m}$ порядка $v^{2} / c^{2}$ ит.д. Так методом последовательных приближений можно исключить малые компоненты $\psi$-функции и, в частности, получить простое выражение для релятивистской поправки первого порядка.

Я весьма признателен проф. Э. Ферми за обсуждение настоящей теории.