Обсудим некоторые геометрические свойства присоединенного представления группы $SU$ (3). Формулами (1.18), (1.19), (1.19a) мы уже определили $SU(3)$-инвариантное скалярное произведение $(x,y)$, произведение в алгебре Ли $x\wedge y$ и произведение в симметрической алгебре $x\vee y$ для любой пары элементов $x,y\in {\mathcal{E}}_{n^2-1}$ — вещественное векторное пространство присоединенного НП $SU(n)$. Ограничимся здесь рассмотрением случая $n=3$ и обозначим октетное пространство через ${\mathcal{E}}_8$. Его элементы могут быть представлены в виде эрмитовых матриц $3\times 3$ со следом, равным нулю. Они удовлетворяют уравнению
$$x^3-(x,x)x-I\text{ det }x=0$$
для коэффициентов которого должно выполняться ңеравенство
Мы находим, что
$$4(x,x{)}^3⩾27(\det x{)}^2\text{. }$$
$$\det x=\frac{2}{3}(x,x\vee x)\text{. }$$

Таким образом, (5.14) можно переписать в виде
$$(x,x{)}^3⩾3(x,x\vee x{)}^2.$$

Орбиты группы $SU(3)$ в пространстве ${\mathcal{E}}_8$ находятся во взаимно однозначном соответствии с парами вещественных чисел $(x,x)$, $(x,x\vee x$ ), удовлетворяющих неравенству (5.16). В случае когда называется регулярным элементом ${\mathcal{E}}_8$ и его группа изотропии $G_x$ есть $U(1)\times U(1)$. Ее алгебра Ли является подалгеброй Қартана и порождается элементами $x$ и $x\vee x$. Если же $(x,x{)}^3=3(x,x\vee x{)}^2$, то $x$ называется исключительным элементом, а его группой изотропии является $U$ (2). Такой элемент $x$ мы будем называть также $q$-вектором, или псевдокорнем. Далее мы будем пользоваться только нормироваңными векторами: $(x,x)=1$. Векторы $r$, удовлетворяющие соотношению $(r\vee r,r)=0$, являются корневыми векторами. Қаждый псевдокорень имеет вид
$$q=\pm \sqrt{3}r\vee r$$

и удовлетворяет уравнению
$$\sqrt{3}q\vee q=\mp q.$$

Назовем его положительным или отрицательным (нормированным) $q$-вектором. Обозначим через $f_x,d_x$ линейные отображения

Тогда
$$a\stackrel{f_x}{\to }x\wedge a,a\stackrel{d_x}{\to }x\vee a.$$
$$[f_a,f_b]=f_a\wedge b,[f_a,d_b]=d_a\wedge b;$$

таким образом, для $\mathrm{\forall }a,b$ из подалгебры Картана ${\mathcal{C}}_{x}f(a)$ в базисе $z_k$ комплексифицированного пространства ${\mathcal{E}}_8$ могут быть диагонализованы одновременно. Поскольку алгебра ${\mathcal{C}}_x$ остается стабильной при действии $f_a$ и $d_a$ слева, мы разложим

Тогда
$$f_a=f_a^{\prime \prime }\oplus f_a^{\perp },d_a=d_a^{\prime \prime }\oplus d_a^{\perp }\text{ на }{\mathcal{C}}_x\oplus {\mathcal{C}}_x^{\perp }.$$
$$\begin{array}{c}{f}_a^{\prime \prime }=0,f_a^{\perp }{z}_k=i(r_k,a)z_k,k=1,\dots ,6,\\ d_a^{\perp }{z}_k=(r_k\vee r_k,a)z_k=\frac{1}{\sqrt{3}}(q_k,a)z_k,k=1,\dots ,6,\end{array}$$
где $r_k$-это шесть единичных корней алгебры ${\mathcal{C}}_x$, а $q_k=$ $=\sqrt{3}{r}_k\vee r_k$-три положительных единичных псевдокорня алгебры ${\mathcal{C}}_x$.
Два собственных значеңия $d_a^{\prime \prime }$ равны $\pm 1/\sqrt{3}$.
Лемма. Қаждая двумерная плоскость пространства ${\mathcal{E}}_8$ содержит по крайней мере один корень. В самом деле, непрерывная нечетная функция $(x,x\vee x)$ от $x$ на единичной окружности $(x,x)=1$, расположенной в двумерной плоскости, проходит по крайней мере один раз через нуль. Существуют линейные многообразия корневых векторов.
Фиг. 5.1. Корни $\pm r_i$ и псевдокорни $q_i=$ $=\sqrt{3r_i}\vee r_i$ подалгебры Картана.
Группой Вейля группы $SU$ (3) является группа $S$ (3). Она переставляет между собой три $q_i$.
Пример. Пусть дан псевдокорень $q$. Используя одно и то же обозначение для подалгебры Ли группы $SU(3)$ и ее векторного пространства (подпространства ${\mathcal{E}}_8$ ), получаем
$${\mathcal{E}}_8=U_q(1)\oplus S{U}_q(2)\oplus U_2(q{)}^{\perp },$$

где трех-и четырехмерные пространства $S{U}_q(2)$ и $U_2(q{)}^{\perp }$, сосодержат только корневые векторы. Октет частиц образует
Фиг. 5.2. Корни октетов частиц и веса декуплета.
${\mathrm{\Sigma }}_0,{\mathrm{\Lambda }}^{\circ },{\pi }^{\circ },{\eta }^{\circ }$ соответствуют двум нулевым корням.

ортонормированный базис комплексифицированного пространства ${\mathcal{E}}_8$, в котором операторы $f_a$ диагонализованы для всех $a\in {\mathcal{C}}_{(y,q)}$, т. е. алгебре Картана, определенной направлениями гиперзаряда и электрического заряда, так как $Y$ и $Q$ являются генераторами группы $U_y(2)\subset SU$ (3). Соотношение Гелл-Манна Нишиджимы
$$Q=T_3+\frac{1}{2}Y$$
между генераторами $U(2)\subset SU(3)$ на языке геометрии октета имеет вид ( $y,-q$ — единичные положительные псевдокорни) $Q=-2/\sqrt{3}F(q),Y=2/\sqrt{3}F(y{)}^1),t_3$ — корень, $T_3=F\left(t_3\right)$. На фиг. 5.2 приведены соответствующие корни двух самых нижних октетов частиц, а также веса самого нижнего декуплета барионов.