Обсудим некоторые геометрические свойства присоединенного представления группы $S U$ (3). Формулами (1.18), (1.19), (1.19a) мы уже определили $S U(3)$-инвариантное скалярное произведение $(x, y)$, произведение в алгебре Ли $x \wedge y$ и произведение в симметрической алгебре $x \vee y$ для любой пары элементов $x, y \in \mathscr{E}_{n^{2}-1}$ – вещественное векторное пространство присоединенного НП $S U(n)$. Ограничимся здесь рассмотрением случая $n=3$ и обозначим октетное пространство через $\mathscr{E}_{8}$. Его элементы могут быть представлены в виде эрмитовых матриц $3 \times 3$ со следом, равным нулю. Они удовлетворяют уравнению
\[
x^{3}-(x, x) x-I \text { det } x=0
\]
для коэффициентов которого должно выполняться ңеравенство
Мы находим, что
\[
4(x, x)^{3} \geqslant 27(\operatorname{det} x)^{2} \text {. }
\]
\[
\operatorname{det} x=\frac{2}{3}(x, x \vee x) \text {. }
\]

Таким образом, (5.14) можно переписать в виде
\[
(x, x)^{3} \geqslant 3(x, x \vee x)^{2} .
\]

Орбиты группы $S U(3)$ в пространстве $\mathscr{E}_{8}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с парами вещественных чисел $(x, x)$, $(x, x \vee x$ ), удовлетворяющих неравенству (5.16). В случае когда $(x, x)^{3}>3(x, x \vee x)^{2}, x$ называется регулярным элементом $\mathscr{E}_{8}$ и его группа изотропии $G_{x}$ есть $U(1) \times U(1)$. Ее алгебра Ли является подалгеброй Қартана и порождается элементами $x$ и $x \vee x$. Если же $(x, x)^{3}=3(x, x \vee x)^{2}$, то $x$ называется исключительным элементом, а его группой изотропии является $U$ (2). Такой элемент $x$ мы будем называть также $q$-вектором, или псевдокорнем. Далее мы будем пользоваться только нормироваңными векторами: $(x, x)=1$. Векторы $r$, удовлетворяющие соотношению $(r \vee r, r)=0$, являются корневыми векторами. Қаждый псевдокорень имеет вид
\[
q= \pm \sqrt{3} r \vee r
\]

и удовлетворяет уравнению
\[
\sqrt{3} q \vee q=\mp q .
\]

Назовем его положительным или отрицательным (нормированным) $q$-вектором. Обозначим через $f_{x}, d_{x}$ линейные отображения

Тогда
\[
a \xrightarrow{f_{x}} x \wedge a, \quad a \xrightarrow{d_{x}} x \vee a .
\]
\[
\left[f_{a}, f_{b}\right]=f_{a} \wedge b, \quad\left[f_{a}, d_{b}\right]=d_{a} \wedge b ;
\]

таким образом, для $\forall a, b$ из подалгебры Картана $\mathscr{C}_{x} f(a)$ в базисе $z_{k}$ комплексифицированного пространства $\mathscr{E}_{8}$ могут быть диагонализованы одновременно. Поскольку алгебра $\mathscr{C}_{x}$ остается стабильной при действии $f_{a}$ и $d_{a}$ слева, мы разложим

Тогда
\[
f_{a}=f_{a}^{\prime \prime} \oplus f_{a}^{\perp}, \quad d_{a}=d_{a}^{\prime \prime} \oplus d_{a}^{\perp} \quad \text { на } \quad \mathscr{C}_{x} \oplus \mathscr{C}_{x}^{\perp} .
\]
\[
\begin{array}{c}
f_{a}^{\prime \prime}=0, \quad f_{a}^{\perp} z_{k}=i\left(r_{k}, a\right) z_{k}, \quad k=1, \ldots, 6, \\
d_{a}^{\perp} z_{k}=\left(r_{k} \vee r_{k}, a\right) z_{k}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(q_{k}, a\right) z_{k}, \quad k=1, \ldots, 6,
\end{array}
\]
где $r_{k}$-это шесть единичных корней алгебры $\mathscr{C}_{x}$, а $q_{k}=$ $=\sqrt{3} r_{k} \vee r_{k}$-три положительных единичных псевдокорня алгебры $\mathscr{C}_{x}$.
Два собственных значеңия $d_{a}^{\prime \prime}$ равны $\pm 1 / \sqrt{3}$.
Лемма. Қаждая двумерная плоскость пространства $\mathscr{E}_{8}$ содержит по крайней мере один корень. В самом деле, непрерывная нечетная функция $(x, x \vee x)$ от $x$ на единичной окружности $(x, x)=1$, расположенной в двумерной плоскости, проходит по крайней мере один раз через нуль. Существуют линейные многообразия корневых векторов.
Фиг. 5.1. Корни $\pm r_{i}$ и псевдокорни $q_{i}=$ $=\sqrt{3 r_{i}} \vee r_{i}$ подалгебры Картана.
Группой Вейля группы $S U$ (3) является группа $S$ (3). Она переставляет между собой три $q_{i}$.
Пример. Пусть дан псевдокорень $q$. Используя одно и то же обозначение для подалгебры Ли группы $S U(3)$ и ее векторного пространства (подпространства $\mathscr{E}_{8}$ ), получаем
\[
\mathscr{E}_{8}=U_{q}(1) \oplus S U_{q}(2) \oplus U_{2}(q)^{\perp},
\]

где трех-и четырехмерные пространства $S U_{q}(2)$ и $U_{2}(q)^{\perp}$, сосодержат только корневые векторы. Октет частиц образует
Фиг. 5.2. Корни октетов частиц и веса декуплета.
$\Sigma_{0}, \Lambda^{\circ}, \pi^{\circ}, \eta^{\circ}$ соответствуют двум нулевым корням.

ортонормированный базис комплексифицированного пространства $\mathscr{E}_{8}$, в котором операторы $f_{a}$ диагонализованы для всех $a \in \mathscr{C}_{(y, q)}$, т. е. алгебре Картана, определенной направлениями гиперзаряда и электрического заряда, так как $Y$ и $Q$ являются генераторами группы $U_{y}(2) \subset S U$ (3). Соотношение Гелл-Манна Нишиджимы
\[
Q=T_{3}+\frac{1}{2} Y
\]
между генераторами $U(2) \subset S U(3)$ на языке геометрии октета имеет вид ( $y,-q$ – единичные положительные псевдокорни) $\left.Q=-2 / \sqrt{3} F(q), \quad Y=2 / \sqrt{3} F(y)^{1}\right), \quad t_{3}$ – корень, $\quad T_{3}=F\left(t_{3}\right)$. На фиг. 5.2 приведены соответствующие корни двух самых нижних октетов частиц, а также веса самого нижнего декуплета барионов.