Ортонормированный базис в пространстве $\mathfrak{S}_{S U(2)}^{x, l}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{\psi_{\mu}^{\mu, l}:-l-x \leqslant \mu \leqslant l, \psi_{\mu}^{x, l}\left(z_{1}, z_{2}\right) \equiv\right. \\
\left.\equiv \frac{z_{1}^{l+x+\mu} z_{2}^{l-\mu}}{[(l+x+\mu) !(l-\mu) !]^{1 / 2}}\right\}, \\
\left\langle\psi_{\mu^{\prime}}^{x^{\prime} l} \mid \psi_{\mu}^{\chi, l}\right\rangle_{S U(2)}^{\chi, l}=\delta_{\mu^{\prime} \mu} .
\end{array}
\]

Из формул (1.2.2) и (1.2.3) получаем
\[
U_{S U(2)}^{\chi, l}(C(\varphi)) \psi_{\mu}^{\chi, l}=\chi^{\chi, \mu}(\varphi) \psi_{\mu}^{\chi, l},
\]
т. е. определение (2.2.1) дает базис, отвечающий группе $H_{1}$. Неприводимое унитарное представление $\chi^{\varkappa^{\prime}, \mu}$ группы $H_{1}$ содержится в представлении $U_{S U(2)}^{\chi, t}$ только один раз и притом при условии, что $x^{\prime}=x$ и $-l-x \leqslant \mu \leqslant l$.

Матричные элементы представления $U_{S U(2)}^{x, l}$ в указанном базисе получаются с помощью биномиального разложения из
формулы
\[
\begin{array}{l}
\left(U_{S U(2)}^{\chi, l}(A) \psi_{\mu}^{\chi,}\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)= \\
= \frac{\left(z_{1} A_{11}+z_{2} A_{21}\right)^{l+\varkappa+\mu}\left(z_{1} A_{12}+z_{2} A_{22}\right)^{l-\mu}}{[(l+\kappa+\mu) !(l-\mu) !]^{1 / 2}}= \\
= \sum_{\mu^{\prime}=-l-\chi}^{l} \psi_{\mu^{\prime}}^{\chi, l}\left(z_{1}, z_{2}\right) U_{S U(2)}^{\chi, l}(A)_{\mu^{\prime} \mu l} ; \\
U_{S U(2)}^{\chi, l}(A)_{\mu^{\prime} \mu} \equiv\left\langle\psi_{\mu^{\prime}}^{\chi, l} \mid U_{S U(2)}^{\chi, l}(A) \psi_{\mu}^{\chi, l}\right\rangle_{S U(2)}^{\chi, l} .
\end{array}
\]

В результате
\[
\begin{array}{l}
\tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{\prime, l}(x) \equiv \\
\equiv \sqrt{\frac{\Gamma\left(1+l+\mu^{\prime}+x\right) \Gamma(1+l-\mu)}{\Gamma(1+l+\mu+x) \Gamma\left(1+l-\mu^{\prime}\right)}} x^{\left(\mu^{\prime}-\mu\right) / 2}(1-x)^{\left(\mu^{\prime}+\mu+x\right) / 2} \times \\
\times \frac{1}{\Gamma\left(\mu^{\prime}-\mu+1\right)}{ }_{2} F_{1}\left(\mu^{\prime}-l, \mu^{\prime}+l+x+1 ; \mu^{\prime}-\mu+1 ; x\right), \\
0 \leqslant x \leqslant 1 \text {. } \\
\end{array}
\]

Здесь гипергеометрическая функция ${ }_{2} F_{1}$ сводится к полиному, так как $\mu^{\prime}-l$ – неположительное целое число. Имея в виду аналитическое продолжение матричных элементов $U_{S U(2)}^{\chi, l}(A)_{\mu^{\prime} \mu}$, которое обсуждается в разд. 2.6, перепишем формулу (2.2.4) в несколько измененном виде:
\[
U_{S U !(2)}^{\chi, l}(A)_{\mu^{\prime} \mu}=\left(A_{11} / A_{22}\right)^{\left(\mu^{\prime}+\mu+\varkappa\right) / 2}\left(A_{12} / A_{21}\right)^{\left\langle\mu^{\prime}-\mu\right) / 2} \tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi, l}\left(-A_{12} A_{21}\right),
\]

где $\tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi,}$-однозначная аналитическая функция, заданная в комплексной плоскости $z$ с разрезом вдоль вещественной оси от 0 до $+\infty$ и вещественная на отрицательной полуоси:
\[
\tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{\chi l}(z) \equiv
\]
\[
\begin{array}{l}
\equiv \sqrt{\frac{\Gamma\left(1+l+\mu^{\prime}+x\right) \Gamma(1+l-\mu)}{\Gamma(1+l+\mu+x) \Gamma\left(1+l-\mu^{\prime}\right)}}(-z)^{\left(\mu^{\prime}-\mu\right) / 2}(1-z)^{\left(\mu^{\prime}+\mu+x\right) / 2} \times \\
\times \frac{1}{\Gamma\left(\mu^{\prime}-\mu+1\right)}{ }_{2} F_{1}\left(\mu^{\prime}-l, \mu^{\prime}+l+x+1 ; \mu^{\prime}-\mu+1 ; z\right) .
\end{array}
\]

Для функции
\[
\tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{\prime{ }^{\prime} l}(z) \equiv \exp \left\{i \pi \operatorname{sign}(\operatorname{Im} z)\left(\mu^{\prime}-\mu\right) / 2\right\} \tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{x, l}(z)
\]
очевидно, имеем равенство
\[
\tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{\prime x}(x \pm i 0)=\tilde{u}_{\mu^{\prime} \mu}^{x^{\prime} l}(x), 0 \leqslant x \leqslant 1,
\]

и потому формула (2.2.5) при $A_{21}=A_{12}^{*} e^{ \pm l \pi}$ совпадает с (2.2.4).
Чтобы вывести соотношения симметрии для матричных элемеңтов (2.2.5), рассмотрим линейный оператор $T_{x}$ и антилинейный оператор $K_{x}$ в пространстве $\mathfrak{S}_{S U(2)}^{x, l}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left(T_{x} f\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)=f\left(-z_{2}, z_{1}\right), \quad\left(K_{x} f\right)\left(z_{1}, z_{2}\right)=f\left(-z_{2}^{*}, z_{1}^{*}\right)^{*}, \\
T_{x} \psi_{\mu}^{\chi, l}=(-1)^{l+\mu+x} \psi_{-\mu-\chi}^{x, l}=K_{\varkappa} \psi_{\mu}^{\chi, l} .
\end{array}
\]

Они удовлетворяют соотношению
\[
T_{x}^{2}=(-1)^{x} \mathbf{I}_{\Phi_{S U(2)}^{x, l}}=K_{x}^{2} .
\]

Оператор $T_{\chi}$ связывает представление $U_{S U(2)}^{\chi, l}$ с представлением, ему контраградиентным, а оператор $K_{\varkappa}$ коммутирует с этим представлением:
\[
T_{\chi} U_{S U(2)}^{\chi, l}(A) T_{\chi}^{-1}=U_{S U(2)}^{\chi, l}\left(A^{-1 T}\right), \quad K_{\chi} U_{S U(2)}^{\chi, l}(A) K_{\chi}^{-1}=U_{S U(2)}^{\chi, l}(A) .
\]

Отсюда следуют соотношения симметрии для матричных элементов вида (2.2.5):
\[
\begin{array}{l}
U_{S U(2)}^{\chi, l}\left(A^{-1 T}\right)_{\mu^{\prime} \mu}= \\
=(-1)^{\mu^{\prime}-\mu} U_{S U(2)}^{\chi, l}(A)_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-\chi}=U_{S U(2)}^{\chi, l}\left(A^{+}\right)_{\mu \mu^{\prime}}, \\
\quad \tilde{u}_{\mu^{\prime}, \mu}^{\chi, l}(z)=\tilde{u}_{-\mu^{\prime}-x,-\mu-\chi}^{\chi, t}(z)=\tilde{u}_{\mu \mu^{\prime}}^{\chi, l}(z) .
\end{array}
\]

Разумеется, эти соотношения могут быть получены также из таблицы формул для гипергеометрических функций. Приведенный здесь вывод является примером допускающего богатые обобщения метода обратного подхода: вывода формул для специальных функций из теории представлений групп.