158. Нормальные операторы.

Укажем еще на один частный тип линейных операторов. Это так называемые нормальные операторы. Линейный оператор А называется нормальным, если он коммутирует со своим сопряженным оператором , т. е.

Частным случаем нормальных операторов являются самосопряженный и унитарный операторы. Если положить

то мы можем выразить А и через самосопряженные операторы

Из последних формул непосредственно следует, что для того чтобы оператор был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы самосопряженные операторы коммутировали. Если это так, то спектральные функции и этих операторов коммутируют для любых X и Определим семейство проекторов зависящее от комплексною переменного , полагая

Этот проектор g будет переменным лишь на некотором промежутке плоскости комплексного переменного а, и мы будем иметь для оператора А формулы, совершенно аналотчиые формулам для самосопряженного оператора:

Докажем, например, вторую из этих формул. Положим, что промежуток определяется неравенствами Мы имеем

В первом из написанных интегралов можно после образования суммы Римана—Стилтьеса просуммировать по так как подынтегральная функция

не зависит от и при этом надо принять во внимание, что Точно так же во втором интеграле можно просуммировать по X, причем и . Таким образом, получим

С другой стороны,

и, сравнивая, получаем вторую формулу (314). Дальнейшая общая теория нормальных операторов может быть развита по аналогии с теорией самосопряженных операторов.

Пусть в случае нормального оператора А самосопряженные операторы и имеют чисто точечный спектр. Мы можем взягь замкнутую ортогональную нормированную систему элементов являющихся собственными элементами , т. е.

При этом очевидно

и, таким образом, будут собственными элементами соответствующими собственным значениям

Рассмотрим еще тот случай, когда нормальный оператор А вполне непрерывен. Мы знаем, что при этом и оператор А вполне непрерывен и, в силу (311), операторы также вполне непрерывны. Нетрудно распространить на нормальные вполне непрерывные операторы и теорему из [136]. Пусть — собственные значения отличные от нуля, и — соответствующие собственные элементы, т. е.

Принимая во внимание, что коммутирует с получим, применяя к обеим частям

т. е. есть или нулевой элемент, или собственный элемент соответствующий тому же собственному значению. Положим, что есть собственное значение ранга h и . При этом, в силу сказанного выше, мы должны иметь

и

т. е. образуют конечную эрмитову матрицу. Совершая над унитарное преобразование, что несущественно, мы можем привести эту матрицу к диагональному виду и таким образом, сохраняя прежнее обозначение элементов, можем написать

где некоторые из чисел или даже все эти числа, могут быть равны нулю. Мы можем проделать эту операцию для всех собственных значений отличных от нуля. После этого мы можем и не получить всех собственных значений отличных от нуля. Если мы возьмем эти неполученные собственные значения отличные от нуля, и совершим операцию, аналогичную предыдущей, отправляясь от и переходя к то окончательно получим конечное или счетное множество элементов попарно ортогональных, нормированных и таких, что

причем из двух вещественных чисел 1 и по крайней мере одно отлично от нуля, а всякий собственный элемент соответствующий собственному значению, отличному от нуля, выражается линейно через конечное число и аналогично для Далее имеем, очевидно,

Положим, что

Мы имеем [136]:

и, таким образом, любой элемент который выражаегся в виде может быть разложен по элементам

Отметим, что если, например, то в разложении будет отсутствовать член, содержащий Выше мы видели что если оператор А есть функция самосопряженного оператора В, то и А есть функция от В, а потому А и коммутируют, т. е. А есть нормальный оператор. Таким образом, любая функция самосопряженного оператора есть нормальный оператор. Верно и обратное утверждение: всякий нормальный оператор есть функция некоторого самосопряженного оператора. Действительно, пусть имеется нормальный оператор Самосопряженные операторы коммутируют, а потому, как мы упоминали в они суть функции одного и того же самосопряженного оператора Строя функцию получим что мы и хотели показать.