2. Ортогональные операторы.

В комплексном евклидовом пространстве важную роль играют унитарные операторы, введенные в § 7. Аналогом унитарных операторов в вещественном евклидовом пространстве являются ортогональные операторы.

Определение 1. Линейный оператор Р, действующий в вещественном евклидовом пространстве V, называется ортогональным, если для любых х и у из V выполняется равенство

Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение. Отсюда непосредственно следует, что если — ортонормированный базис евклидова пространства V, то также является отронормированным базисом. В дальнейшем условие (5.119) будем называть условием ортогональности оператора Р.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.36. Для того чтобы линейный оператор Р был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор и было выполнено равенство

где Р — оператор, сопряженный к — оператор, обратный к Р.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть Р — ортогональный оператор, т. е. выполняется условие (5.119). Применяя сопряженный оператор Р, это условие можно записать в виде

Таким образом, для любых х и выполняется равенство

Фиксируя в этом равенстве любой элемент х, считая у произвольным, получим, что линейный оператор действует по правилу

Следовательно, совершенно аналогично можно убедиться, что Таким образом, операторы Р и Р взаимно обратны, т. е. условие (5.120) выполнено.

2) Достаточность. Пусть выполнено условие (5.120). Тогда, очевидно,

Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим для любых х и у равенства

Мы видим, что условие (5.119) выполнено, следовательно, оператор Р ортогональный. Теорема доказана.

Введем теперь понятие ортогональной матрицы Р.

Определение 2. Матрица Р называется ортогональной, если

где Р — транспонированная матрица, единичная матрица.

Если — ортонормированный базис в евклидовом пространстве V, то оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда его матрица в базисе ортогональна.

Непосредственно из равенства (5.121) следует, что если матрица является ортогональной, то

В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица. Именно, матрица называется унитарной, если выполняется соотношение

в котором — эрмитово сопряженная матрица, т. е. где штрих означает транспонирование, а черта — комплексное сопряжение.

Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора является унитарной тогда и только тогда, когда оператор является унитарным.

В заключение рассмотрим для примера ортогональные преобразования в одномерном и двумерном пространствах.

В одномерном случае каждый вектор х имеет вид где а — вещественное число, и — вектор, порождающий данное пространство. Тогда и так как , то

Таким образом, в одномерном случае существуют два ортогональных преобразования:

В двумерном случае каждое ортогональное преобразование определяется в произвольном ортонормированном базисе ортогональной матрицей порядка 2, т. е. матрицей Из условия следует

Полагая а получаем, что каждая ортогональная матрица порядка 2 имеет вид

причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо знак либо знак

Отметим, что Ортогональная матрица называется собственной, а ортогональная матрица — несобственной.

Оператор с матрицей в ортонормированном базисе осуществляет поворот в плоскости на угол

Для того чтобы выяснить, как действует оператор с матрицей введем матрицу , совпадающую с при и заметим, что Матрице отвечает отражение плоскости относительно оси следовательно, действие оператотора заключается в повороте на угол и последующем отражении.

Заметим, что векторы образуют в силу ортогональности ортонормированный базис и в этом базисе матрица оператора Р. совпадает с , т. е. является диагональной.

В общем случае, когда ортогональный оператор Р действует в -мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный базис в котором матрица оператора Р имеет вид

В этой матрице все элементы, кроме выписанных, равны нулю.

Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.