6-5 КУСОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В предыдущих разделах обсуждались создание и характеристики поверхностей, для которых существуют известные аналитические описания. Однако есть много поверхностей, для которых таких описаний сделать невозможно. Типичными примерами являются автомобильные кузова, фюзеляжи и крылья самолетов, корпуса кораблей, скульптуры, бутылки, башмаки и т.д. Эти поверхности представляются в кусочном виде, т. е. похожем на лоскутное одеяло. В рассуждениях используется векторное параметрическое представление, потому что оно не зависит от осей, устраняет бесконечные значения углов наклона относительно некоторой произвольной системы координат, устраняет неоднозначность представления многозначных поверхностей и пространственных функций, облегчает представление поверхностей в однородных координатах, и такое представление совместимо с использованием преобразований трехмерных однородных координат, обсуждающихся в гл. 3.

Остаток этой главы будет посвящен обсуждению способов и методов математического описания кусков поверхностей.

Наша цель заключается в том, чтобы для создания полной поверхности объединить вместе отдельные куски вдоль их границ. Для кусочного представления кривых мы будем придерживаться принятого в гл. 5 изложения. Мы начнем наше обсуждение с достаточно интересного элемента или куска аналитической поверхности, а именно сферы.

На примере сферической поверхности мы продемонстрируем некоторые свойства кривых, полезные при описании поверхности. Определенные кривые на поверхности задаются плоскостями, пересекающими сферу. В качестве примера рассмотрим пересечение единичной сферы и плоскости, определяемое уравнением поверхности  и показанное на рис. 6-20а. Получившаяся кривая является параллелью широты. Уравнение этой кривой получается путем решения системы двух уравнений поверхностей. Непараметрическое уравнение единичной сферы записывается в виде:

.

Таким образом,

определяет пересечение плоскости и сферы.

На рис. 6-20b плоскость  задается уравнением

или

.

Рис. 6-20 Пересечение плоскости и сферы. (а) Параллель широты; (b) меридиан долготы.

Рис. 6-21 Кусок сферической поверхности.

В результате пересечения этой плоскости и сферы получается меридиан долготы. Решение системы уравнений дает уравнение кривой пересечения; т. е.

.

Как показано на рис. 6-21, границы куска сферической поверхности на единичной сфере могут быть сформированы четырьмя плоскостями, двумя параллелями и двумя меридианами, пересекающими сферу. Векторное параметрическое уравнение для куска поверхности

,               ,                .                 (6-35)

Кусок поверхности - это все возможные положения точки в трехмерном пространстве, движущейся с двумя степенями свободы, управляемой двумя параметрическими переменными  и , т.е. это бипараметрическая функция.

Параметрическое представление единичной сферической поверхности (см. уравнение (6-27) с ) таково:

,

,

.

Показанный на рис. 6-21 кусок поверхности задан для диапазонов изменения параметров  и . Границы или ребра его задаются кривыми , ,  и . Для сферического куска на рис. 6-21 эти кривые являются дугами окружностей. Каждая кривая может быть задана двумя конечными точками и касательными векторами в концах. Следовательно, четыре граничных кривых куска задаются четырьмя координатными векторами в углах и восемью касательными векторами, по два в каждом углу. Для сферического куска на рис. 6-21 касательные вектора задаются параметрическими производными , т.е.

                      (6-36)

и

.                     (6-37)

Касательные векторы в каждом углу показаны на рис. 6-21.

Форма внутренней части поверхности около каждого угла управляется вектором кручения или смешанной производной в этом углу. Для куска сферической поверхности на рис. 6-21 смешанная производная или вектор кручения

.                     (6-38)

Подстановка значений параметров в углах куска поверхности дает векторы кручения в них. Внутренняя форма куска задается уравнением (6-35). Это уравнение можно считать сферической смешивающей функцией. Следовательно, четырехугольный кусок поверхности может быть полностью описан 4 координатными векторами в углах, 8 касательными векторами (по два в каждом углу), 4 векторами кручения в углах и смешивающей функцией, заданной в уравнении (6-35).

Нормаль в любой точке куска поверхности определяется векторным произведением производных по параметрам. Например, для сферической поверхности

.                     (6-39)

На куске поверхности изопараметрические линии, т.е. линии с постоянным значением параметра, ортогональны. Следовательно, скалярное произведение производных по параметрам равно нулю. Например, для сферической поверхности

.               (6-40)