5-10 КОНЕЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ В-СПЛАЙНОВ

Как было показано ранее, конец и начало периодического В-сплайна не совпадают с первой и последней вершинами определяющего многоугольника. Отсюда возникают два вопроса. Во-первых, где же именно начинается и заканчивается В-сплайн, и каковы его граничные условия, т.е. производные в этих точках? Во-вторых, что влияет на конечные точки и производные в них? В работе [5-24] изучается этот вопрос для частного случая кубических  В-сплайнов. Мы рассмотрим более общий случай.

Произвольный периодический В-сплайн начинается в точке  и оканчивается в точке . Для целых узловых значений, начинающихся с нуля,  и . Из уравнений (5-87) и (5-91), а также из того, что любая точка В-сплайна зависит от к ближайших вершин, следует, что для преобразованного параметра  начальная точка соответствует . Итак

.

Заметим, что  для всех

,    .             (5-101)

В конце интервала . Известно, что , поэтому конечная точка

,              .             (5-102)

Для квадратичного  периодического сплайна уравнения (5-101) и (5-102) принимают вид

,

.

Следовательно, квадратичный периодический В-сплайн начинается и кончается, соответственно, в середине первого и последнего ребер многоугольника.

Конечные точки кубического  периодического сплайна таковы:

,

.

Из уравнения (5-90) первая производная в начальной точке

,                       (5-103)

так как  для всех . Первая производная в конечной точке

,   (5-104)

где  - производная вектора параметра.

В случае квадратических  периодических В-сплайнов эти результаты сводятся к

,

,

т. е. векторам касательных (наклону) первого и последнего ребер.

Для кубических  кривых

,

.

Здесь касательные векторы (наклоны) зависят от касательных к трем первым и к трем последним сегментам кривой.

Вторые производные в конечных точках:

                      (5-105)

,             (5-106)

где  - вторая производная вектора параметра.

Для кубических  сплайнов уравнения (5-105) и (5-106) дают

,

.

Существует два метода регулирования положения первой и последней точек, а также конечных условий: кратные вершины и псевдовершины.

Кратные вершины на концах периодического В-сплайна притягивают концы сплайна к соответствующим вершинам. Если определена  совпадающая вершина, то конечные точки кривой совпадают с вершинами многоугольника и касательные (наклон) совпадают с направлением соседних ненулевых ребер.

Например, для  с двойными вершинами на концах, т. е.  и  из уравнений (5-101) и (5-102) следует

,

.

Для  с двойными вершинами на концах эти же уравнения дают

,

.

Отсюда начальная точка находится на расстоянии от одной шестой ребра, соединяющего точки  и , а конечная точка находится на расстоянии в пять шестых ребра от  до .

Если в концах располагаются по три кратные вершины, т.е.  и  для , то

,

.

Кривая начинается и кончается в первой и последней вершинах многоугольника. На рис. 5-52 изображено влияние кратных вершин.

С тремя кратными вершинами на концах первый и последний сегменты В-сплайна для  (см. уравнение 5-89) имеют вид:

,      

и

.

При этом первый и последний сегменты линейны. Первый сегмент на одну шестую длины ребра от  до  совпадает с этим ребром. Последний сегмент на одну шестую ребра от  до  совпадает с соответствующим ребром.

Несмотря на то, что участки можно сделать как угодно малыми, в некоторых прикладных областях это может быть неудобным. В таких случаях лучше пользоваться открытыми В-сплайнами.

Псевдовершины в концах периодического В-сплайна, в отличие от кратных вершин, позволяют управлять как положением конечных точек, так и граничными условиями. В общем случае псевдовершины не обозначаются, и пользователь не может контролировать их. Как показано на рис. 5-53,  и  - псевдовершины в начале и конце В-сплайна. В этих обозначениях уравнения (5-101) и (5-102) принимают вид

,                 (5-107)

и

,  .             (5-108)

Рис. 5-52 Совпадающие кратные вершины на концах определяющего многоугольника . (а) Кратных вершин нет; (b) две кратные вершины; (с) три кратные вершины и соответствующие открытые В-сплайны.

Рис. 5-53 Псевдовершины определяют начальную и конечную точки периодического В-сплайна.

При  и  эти уравнения имеют вид

,                      (5-109)

и

,                     ,  (5-110)

где  и .

Для  из уравнений (5-109) и (5-110) следует, что  и , т.е. двукратные вершины на концах!

Для  аналогично

и

.

Пример изображен на рис. 5-53.

Первая и вторая производные в концах выражены уравнениями (5-103) и (5-104) с соответствующими изменениями для учета псевдовершин. Например, используя приведенные результаты для , из уравнений (5-103) и (5-104) для  получаем

и

.

Итак, кривая касательна к первому и последнему ребрам многоугольника.

Аналогично, для  и точек  и  из уравнений (5-105) и (5-106) следует

,

,

т.е. «кривизна» в концах нулевая.

Переписав уравнения (5-103) и (5-104), можно определить псевдовершины, порождающие заданные граничные условия. В частности, из уравнения (5-103)

,  ,  (5-111)

а из уравнения (5-104)

,       .  (5-112)

Для  уравнения (5-111) и (5-112) сводятся к

,

.

Типичный пример изображен на рис. 5-54. Конечные точки кривой получены подстановкой этих значений в уравнения (5-107) и (5-108). Из рисунка видно, что первая и последняя точки кривой с заданными касательными на концах для многоугольника  не совпадают с соответствующими точками кривой для многоугольника  (отмечено крестиками).

Для управления второй производной или приблизительной кривизной в концах кривой перепишем уравнения (5-105) и (5-106) в виде

,           ,  (5-113)

и

,        .  (5-114)

Рис. 5-54 Управление касательным вектором для периодического В-сплайна, .

Для  из уравнений (5-113) и (5-114) следует

,

.

Чтобы получить конечные точки, надо подставить эти значения в уравнения (5-107) и (5-108). Касательные векторы получаются аналогично, с помощью уравнений (5-103) и (5-104), переписанных относительно  и .