Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
5-2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
Трехмерные кривые можно
представить параметрически или непараметрически. Явное непараметрическое
представление имеет вид
,
,
.
Неявное непараметрическое представление
кривой как пересечения двух поверхностей задается уравнениями:
,
.
|
Пример 5-1 Пространственная кривая
Найти линию пересечения двух
поверхностей второго порядка
 ,
 .
При условиях что
 ,
 ,  и  можно выразить относительно  и получить явный
вид линии пересечения
 ,
 .
Заметим, что при пересечении двух
поверхностей второго порядка получается кривая третьего порядка. Поверхности
и кривая пересечения показаны на рис. 5-2.
|
Рис. 5-2 Пересечение кривых
второго порядка.
Общий параметрический вид
пространственной кривой можно записать в виде:
,
,
,
где
параметр 
изменяется
в определенных пределах 
. В приведенном выше явном
непараметрическом представлении можно рассматривать как параметр, 
. Тогда эта же кривая
имеет параметрическую форму
,
,
.
Далее, пусть 
в неявном непараметрическом
представлении из примера 5-1, тогда
,
,
.
Некоторые полезные
параметрические трехмерные кривые имеют известное аналитическое решение.
Например, кривая шва на теннисном или бейсбольном мяче имеет вид:
,
,
,
где
,
,
параметр
и 
.
Рис. 5-3 Примеры параметрических
пространственных кривых, (а) Шов бейсбольного мяча; (b) круговая спираль.
Если
и 
, то кривая лежит на
сфере радиуса 
.
На рис. 5-3а приведен пример для 
, 
, 
, , где кривая лежит на сфере радиуса 2.
Другой пример параметрической
пространственной кривой - круговая спираль:
,
,
для
, 
.
Рис. 5-4 Физические отвесы и
сплайн.
Эта
кривая лежит на поверхности цилиндра радиуса 
. Уравнение отвечает за распространение
спирали по оси .
После каждого изменения параметра на 
переменные и возвращаются к своим
первоначальным значениям, a увеличивается или уменьшается на 
в зависимости от
знака 
. Эта
величина называется шагом спирали. Пример изображен на рис. 5-3b.
