Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4-7 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАБОЛЫ
Рассмотрим параболу с вершиной в
центре координат, раскрыв вправо, т. е. с осью симметрии - положительной
полуосью 
.
На рис. 4-9 изображена верхняя ветвь такой параболы. В прямоугольных
координатах непараметрическое представление параболы:
.
Параметрическое
представление имеет вид
,
,
где 
.
Рис. 4-8 Эллипс после поворота и
переноса.
Хотя
оно обеспечивает достаточно хорошее изображение, Смит [4-2] указал, что
получаемая фигура не является фигурой с максимальной вписанной площадью и
поэтому это не оптимальный вариант. Другое параметрическое представление
действительно дает фигуру с наибольшей вписанной площадью:
,
, (4-9)
где
соответствует
всей верхней ветви параболы. В отличие от эллипса парабола не замкнутая кривая,
поэтому изображаемая часть должна быть ограничена минимальным и максимальным
значением параметра.
Рис. 4-9 Парабола.
Рис. 4-10 Параметрическая
сгенерированная парабола.
Это
можно сделать несколькими способами. Если диапазон изменения координаты ограничен, то
,
. (4-10)
Если ограничен диапазон изменения
, то
,
. (4-11)
Установив 
и/или 
, можно построить параболу в
первом квадранте. Параболы в других квадрантах, со смещенным центром и в других
ориентациях строятся с помощью отражения, поворота и переноса.
Параболу можно построить также,
пользуясь приращениями параметра. Пусть на параболе задано фиксированное
количество точек, т.е. приращение параметра 
постоянно. Для 
уравнение (4-9) принимает вид
,
.
Используя уравнение (4-9) с 
, перепишем формулы
,
. (4-12)
Расчет
очередной точки требует трех сложений и одного умножения во внутреннем цикле
алгоритма. На рис. 4-10 приведен пример параболы, сгенерированной по
рекурсивным формулам (4-12).
|
Пример 4-5 Параметрическое
представление параболы
Построить параболический сегмент в
первом квадранте при  для параболы
 , 
при
 .
Сначала найдем границы . В соответствии с
уравнением (4-10) и определяются так:
 ,
 .
Пусть на сегменте расположено 10
точек, тогда
 .
Начиная с  ,  , из уравнения (4-9)
получаем
 .
Из уравнения (4-12)
 ,
 .
Окончательный результат приведен в
табл. 4-5 и на рис. 4-11.
Таблица 4-5 Результаты для сегмента параболы
|
|
|
|
|
1
|
1.0
|
2.0
|
|
2
|
1.235
|
2.222
|
|
3
|
1.494
|
2.444
|
|
4
|
1.778
|
2.667
|
|
5
|
2.086
|
2.889
|
|
6
|
2.420
|
3.111
|
|
7
|
2.778
|
3.333
|
|
8
|
3.160
|
3.556
|
|
9
|
3.568
|
3.778
|
|
10
|
4.0
|
4.0
|
|
В некоторых случаях более удобны
другие параметрические представления, вид которых зависит от прикладной задачи
и имеющихся данных. Например, если надо нарисовать дугу параболы между двумя
точками и учитывать наклон, то предлагается следующее представление:
,
,
, (4-13)
где
- параметр,
а две конечные точки 
и 
. Точка 
это точка пересечения касательных в
конечных точках. Три вершины 
, 
, 
определяют параболу, как показано на
рис. 4-12. Более общий метод построения кривых с помощью вершин незамкнутого
многоугольника был разработан Безье и рассматривается в следующей главе.
Рис. 4-11 Сегмент параболы.
Рис. 4-12 Задание параметрической
параболы вершинами.
