Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
3-8 ПОВОРОТЫ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КООРДИНАТНОЙ ОСИ
Преобразования, заданные
равенствами (3-6)-(3-8), описывают вращение вокруг координатных осей 
, 
и 
. Однако часто бывает
необходимо вращать объект вокруг оси, не совпадающей с этими тремя. Мы
рассмотрим частный случай для оси, параллельной одной из координатных осей , или . На рис. 3-5 изображено тело
в локальной системе осей 
параллельных фиксированной глобальной системе
. Вращение
тела вокруг любой из локальных осей 
, 
или 
выполняется с помощью следующей
процедуры:
-
переместить
тело так, чтобы локальная ось совпала с координатной;
-
повернуть
вокруг указанной оси;
-
переместить
преобразованное тело в исходное положение.
Математически это можно записать
так:
,
где
-
преобразованное тело,
-
исходное тело,
-
матрица перемещения,
-
соответствующая матрица поворота,
-
матрица, обратная к матрице перемещения.
Ниже
приводится иллюстративный пример.
Рис. 3-5 Поворот вокруг оси,
параллельной одной из координатных осей.
|
Пример 3-8 Единственное относительное
вращение
Рассмотрим параллелепипед, изображенный
на рис. 3-5а, заданный координатными векторами
относительно
глобальной системы координат . Повернем параллелепипед на ? относительно
локальной оси ,
проходящей через центр параллелепипеда. Предполагается, что начало локальной
системы координат находится в центре параллелепипеда. Координаты этого центра
равны  .
Вращение осуществляется следующим образом:
 ,
где
 ,
и
 .
Первая
матрица сдвигает
параллелепипед параллельно плоскости  до тех пор, пока ось не совпадет с осью
. Вторая
матрица выполняет
требуемое вращение вокруг оси , третья матрица переносит ось , а следовательно,
и повернутый параллелепипед, обратно в исходное положение.
Объединив эти три матрицы, получим
 .
После
подстановки числовых значений преобразованные координаты примут вид:
 ,
 .
Результат изображен на рис. 3-5b.
|
В предыдущем примере требовалось
только вращение вокруг единственной оси, параллельной одной из координатных
осей. Таким образом, надо только было сделать так, чтобы ось вращения совпала с
соответствующей координатной осью. Для того чтобы совершить несколько поворотов
в локальной системе осей, параллельных осям глобальной системы координат, надо
совместить начала локальной и глобальной систем. Конкретнее, повороты могут
быть выполнены с помощью следующей процедуры:
-
переместить
локальную систему осей так, чтобы начала локальной и глобальной систем совпали;
-
выполнить
требуемые повороты;
-
переместить
локальную систему осей обратно в исходное положение. Ниже эта процедура
иллюстрируется на примере.
|
Пример 3-9 Несколько относительных
вращений
Рассмотрим снова параллелепипед,
изображенный на рис. 3-5а. Пусть его требуется повернуть сначала на угол  вокруг оси , а затем на угол вокруг оси . Для этого надо
совместить начала систем координат и , выполнить необходимые повороты, а результат
вернуть обратно в исходное положение.
Объединенное преобразование имеет вид:
 .
Конкретнее,
 ,
где
 и  обозначают углы
поворотов вокруг осей и , соответственно. Объединив эти
матрицы, получим
 . (3-17)
Тогда
преобразованные координатные векторы равны
 ,
 .
Результат
изображен на рис. 3-6.
|
