Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
6-6 ОТОБРАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Методы параметрического описания
поверхностей наиболее удобно представляются в терминах отображения
двупараметрической плоской поверхности из параметрического пространства 
в трехмерное
объектное пространство 
. Ограничимся здесь обсуждением
отображения прямоугольной плоской поверхности в параметрическом пространстве,
показанной на рис. 6-22 и заданной уравнениями
,
,
,
.
Рис. 6-22 Прямоугольная
параметрическая плоская поверхность.
Поверхность в объектном
пространстве представляется функциями, отображающими эту параметрическую
поверхность в объектное пространство , т. е.
,
,
.
Простой двумерный пример послужит
в качестве иллюстрации этого метода.
|
Пример 6-7 Двумерное отображение
поверхности
Отобразить поверхность, описываемую в
параметрическом пространстве уравнениями
  ,
  ,
в
объектное пространство. Для начала заметим, что так как  , то поверхность в
объектном пространстве также является двумерной и лежит на плоскости .
Рис. 6-23 Двумерное отображение
поверхности. (а) Параметрическое пространство; (b) объектное
пространство.
Границы поверхности в объектном
пространстве определяются с помощью отображения в объектное пространство
границ прямоугольника в параметрическом пространстве. Таким образом, для
 ;  ,  и  ,
 ;  ,  и  ,
 ;  ,  и  ,
 ;  ,  и  .
Во всех случаях для получения
уравнения вида  из
соответствующего выражения исключался параметр ( или  ). Результаты представлены на рис.
6-23.
|
Как показано в примере, задание
постоянного значения одному из параметров порождает кривую на поверхности в
объектном пространстве. Такая кривая называется изопараметрической или
параметрической линией. Если задать один из параметров как функцию другого в параметрическом
пространстве, т. е. 
, то в результате также получится
кривая на поверхности в объектном пространстве.
Рис. 6-24 Трехмерное отображение
поверхности. (а) 
компонента;
(b) 
компонента; (с) 
компонента; (d) результат.
Например,
функции
, ,
,
представляют
диагонали единичного квадрата в параметрическом пространстве.
Специфицирование значений обоих
параметров задает точку на поверхности в объектном пространстве. Другим
способом задания точки (или точек) может служить пересечение двух кривых в
параметрическом пространстве, например, 
и 
. Пересечение в параметрическом
пространстве отображается или преобразуется в пересечение в объектном
пространстве.
В более сложном трехмерном
примере дополнительно иллюстрируется описываемая идея отображения.
|
Пример 6-8 Трехмерное отображение
поверхности
Отобразить описанную в параметрическом
пространстве поверхность
 , ,
 , ,
в
объектное пространство. Вычислить координаты в объектном пространстве точки
на поверхности с параметрами  .
Сначала
найдем граничные кривые
;  ,  , и  , ,
;  ,  ,  и  ,  ,
;  ,  , и  , ,
;  ,  ,  и ,  .
Граничные
кривые изображены на рис. 6-24d более толстыми линиями. Записав
параметрическую поверхность в виде векторной функции
получим
в
качестве координат точки , отмеченной на рис. 6-24d жирной
точкой. Заметим, что каждая из компонент поверхности в объектном пространстве
является также функцией параметров  . Каждая из этих отдельных компонент
показана на рис. 6-24а, b, с. Поверхность, изображенная на рис.
6-24d, является
композицией всех преобразованных компонент.
|
И наконец, представляют интерес
отображения вырожденных кусков, соответствующих точке и прямой. Для точки
отображение записывается
,
, 
.
Для
прямой отображение записывается в виде 
, , .
