Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
2-8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
Результатом
преобразования с помощью 
-матрицы пары пересекающихся прямых
линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем этот факт на
примере двух прямых, изображенных на рис. 2-3 штриховой линией и заданных
уравнениями
,
.
Рис. 2-3 Преобразование
пересекающихся прямых.
В
матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:
или
. (2-19)
Если
существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном
случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности,
. (2-20)
Матрица,
обратная 
,
имеет следующий вид:
, (2-21)
так как 
, где 
- единичная матрица.
Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:
,
, (2-22)
Если обе
линии преобразовать с помощью -матрицы общего преобразования вида
,
то их
уравнения будут иметь вид
,
.
Соответственно
можно показать, что
(2-23)
и
,
где 
. (2-24)
Точка
пересечения линий после преобразования отыскивается таким же образом, как и в
случае исходных линий:
.
Воспользовавшись
выражениями (2-23) и (2-24), получим
. (2-25)
Возвращаясь
теперь к точке пересечения 
исходных линий и применяя уже
полученную матрицу преобразования, имеем
. (2-26)
Сравнение
уравнений (2-25) и (2-26) показывает, что они одинаковы. Итак, точка
пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.
|
Пример 2-2 Пересекающиеся прямые
Рассмотрим две штриховые линии  и  на рис. 2-3,
конечные точки которых имеют координаты
 ,
и
 ,  .
Уравнение прямой имеет вид  , а прямая задается
уравнением  .
В матричном виде пучок прямых представляется в виде
 .
Используя матрицу обратного преобразования
(2-21), получим точку пересечения этих прямых
 .
Теперь преобразуем эти линии с помощью
матрицы
 .
Результирующие прямые  и  показаны на рис.
2-3. В матричном виде уравнения преобразованных линий имеют вид
с точкой пересечения  .
Преобразуя точку пересечения исходных
линий, получим
 ,
что тождественно точке пересечения
преобразованных линий.
|
Из
рис. 2-3 и примера 2-2 видно, что исходные штриховые прямые и не перпендикулярны друг
другу. Однако преобразованные прямые и , показанные сплошной линией, являются
перпендикулярными. Таким образом, преобразование 
переводит две пересекающиеся
неперпендикулярные прямые в две пересекающиеся перпендикулярные. Смысл
обратного преобразования 
состоит в переводе двух пересекающихся
перпендикулярных прямых в две пересекающиеся, но не перпендикулярные, что может
привести к неприятным геометрическим последствиям. Значительный интерес
представляет вопрос, при каком условии перпендикулярные прямые преобразуются в
перпендикулярные. Мы вернемся к этому вопросу в разд. 2-14, где разберем его
подробнее.
Дополнительное
изучение рис. 2-3 и примера 2-2 показывает, что преобразование включает в себя
поворот, отражение и масштабирование. Рассмотрим каждое из этих преобразований
отдельно.
