2-14 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЖЕСТКИХ КОНСТРУКЦИЙ

Пришло время вернуться к поставленному в разд. 2-8 вопросу: когда перпендикулярные прямые преобразуются в перпендикулярные прямые? Рассмотрим сначала более общий вопрос: в каких случаях угол между пересекающимися прямыми сохраняется?

Напомним, что скалярное произведение двух векторов равно

,    (2-42)

а векторное произведение двух векторов, принадлежащих плоскости , определяется как

,       (2-43)

где индексы  и  относятся к компонентам  и  вектора,  - острый угол между векторами, а  - единичный вектор, перпендикулярный к плоскости .

Проведем преобразование  и , используя -матрицу общего преобразования

.      (2-44)

Векторным произведением векторов  и  будет

.   (2-45)

Аналогично, скалярное произведение будет равно

.         (2-46)

Требуется, чтобы значения векторов, как и угол между ними, оставались постоянными. Сравнивая уравнения (2-42), (2-46) и (2-43), (2-45), а также приравняв коэффициенты подобных членов, получим

,    (2-47а)

,    (2-47b)

,    (2-47с)

.  (2-48)

Выражения (2-47а, b, с) соответствуют условиям ортогональности матрицы, т. е.

или

.

Выражение (2-48) требует, чтобы определитель матрицы преобразования был равен +1.

Таким образом, при полном повороте углы между пересекающимися прямыми сохраняются. Данный результат распространяется также и на операцию отражения, ортогональная матрица которого имеет определитель, равный -1. В этом случае величины векторов сохраняются, но угол между преобразованными векторами в действительности равен . (Следовательно, в общем случае угол не сохраняется. Однако перпендикулярные прямые преобразуются в перпендикулярные прямые. Поскольку , , полные повороты и отражения называются преобразованиями жесткой конструкции. Кроме того, несколько минут анализа или экспериментирования приводят к выводу, что равномерное масштабирование также сохраняет неизменным угол между пересекающимися прямыми, но не величину преобразуемых векторов. Поскольку ортогональная матрица сохраняет угол между векторами и их величины, матрица однородного масштабирования не является ортогональной.)