4-8 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ

Построим гиперболу с центром в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью . Ее непараметрическое представление в прямоугольных координатах:

.

При этом вершина находится в точке , оси асимптот . Вид параметрического представления:

,

,                (4-14)

где , дает искомую гиперболу. Смит [4-2] указывает, что для такого представления площадь вписанного многоугольника не максимальна. Однако она близка к максимальной, и с помощью формулы суммы углов можно получить эффективный алгоритм. Вспомним, что

и

.

Подставим в уравнения (4-14)

,

.

Используя уравнения (4-14) с , перепишем эти уравнения как

,

.                    (4-15)

Другое параметрическое представление гиперболы, дающее максимальную вписанную площадь:

,

.                  (4-16)

Гиперболические функции определяются как  и . При изменении от 0 до бесконечности проходится вся гипербола. Формула для суммы углов для и

,

.

Это позволяет записать уравнения (4-16) как

,

или

,

.                      (4-17)

Чтобы ограничить область гиперболы, необходимо установить минимальное и максимальное значения. Пусть ветвь гиперболы лежит в первом и четвертом квадранте и рассматривается часть при . Тогда

,

,            (4-18)

где обратный гиперболический косинус получен как

.                 (4-19)

Остальные границы определяются аналогично. Пример части гиперболы в первом квадранте, полученной этим методом, показан на рис. 4-13.