2-4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧЕК

Рассмотрим результаты умножения матрицы , содержащей координаты точки , на матрицу общего преобразования размером :

.         (2-1)

Данная запись означает, что исходные координаты точки  и  преобразуются в  и , где ,  (приложение В). Представляют интерес значения ,  - координаты результирующей, преобразованной точки . Рассмотрим некоторые специальные случаи.

При  и  преобразование сведется к единичной матрице

,                    (2-2)

и координаты точки  останутся неизменными. Как и следовало ожидать, в линейной алгебре умножение на единичную матрицу эквивалентно умножению на 1 в обычной алгебре.

В случае ,

,      (2-3)

где  - результат масштабирования координаты . Эффект такого преобразования показан на рис. 2-1а. Рассмотрим теперь еще случай , т.е.

.    (2-4)

Рис. 2-1 Преобразование точек.

Данное преобразование вызывает изменение обеих координат  и  вектора  (рис. 2-1b). Если , то координаты масштабируются различным образом. При  происходит растяжение вектора  или масштабирование координат. Если , то имеет место сжатие.

Если значение  или  отрицательное, то вектор отражается относительно координатных осей или относительно плоскости. Чтобы убедиться в этом, возьмем ,  и , тогда

,    (2-5)

и в результате получаем симметричное отражение относительно оси  (рис. 2-1с). Если , , , то выполняется симметричное отражение относительно оси . Если , , то происходит отражение относительно начала координат, это показано на рис. 2-1d, где , . Заметим, что обе операции отражения и масштабирование зависят только от диагональных членов матрицы преобразования.

Рассмотрим теперь случай с недиагональными членами. Возьмем сначала значения , , тогда

.        (2-6)

Заметим, что координата  точки  осталась неизменной, тогда как координата  линейно зависит от исходных координат. Данное преобразование называется сдвигом (рис. 2-1е). Аналогично, в случае, когда , , преобразование приведет к сдвигу пропорционально координате  (рис. 2-1f). Таким образом, видно, что недиагональные члены матрицы преобразования создают эффект сдвига координат вектора точки .

Прежде чем закончить с преобразованием точек, разберем действие общего преобразования, заданного выражением (2-1), когда начальный вектор лежит в точке начала координат, т.е.

или, в случае начала координат,

.

Видно, что начало координат инвариантно относительно преобразования общего вида. Это ограничение устраняется при использовании однородных координат.