Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
3-10 ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Преобразования, заданные в
уравнениях (3-11)-(3-13), осуществляют отражение относительно координатных
плоскостей 
,
, 
соответственно.
Часто возникает необходимость отразить объект относительно произвольной
плоскости. И снова это можно сделать с помощью процедуры, объединяющей ранее
определенные простые преобразования. Один из возможных методов состоит в
следующем:
-
перенести
точку 
,
принадлежащую плоскости отражения, в начало системы координат;
-
повернуть
вектор нормали к плоскости отражения в начале координат до совпадения с осью 
(см. разд. 3-9,
уравнения (3-23) и (3-24)), теперь плоскость отражения будет совпадать с
координатной плоскостью ;
-
применяя уже
известные преобразования, отразить объект относительно координатной плоскости (см. (3-11));
-
чтобы
получить результаты, необходимо выполнить преобразования, обратные к описанным
в первых двух пунктах.
Тогда общее преобразование
описывается матрицей
,
где
матрицы 
, 
, 
задаются уравнениями
(3-22)-(3-24) соответственно, 
- матрица отражения относительно
плоскости ,
-
координаты точки на
плоскости отражения; а 
есть вектор нормали к плоскости
отражения.
Пример более подробно
проиллюстрирует данный метод.
|
Пример 3-11 Отражение
Снова рассмотрим куб с одним
отсеченным углом, как это показано на рис. 3-8а. Отразим куб относительно
плоскости, содержащей треугольник  .
Выбрав точку  для перемещения в начало
координат и вспомнив координатные векторы для куба, получим матрицу переноса
 .
Нормаль
к плоскости отражения получим, используя координатные векторы ,  ,  (см. [3-1]).
Конкретнее, взяв векторное произведение векторов  и  до переноса, получим
 .
Нормализация
дает
 .
Используя
уравнения (3-19) и (3-20), получим
и
 ,  . Матрицы поворотов
для совмещения нормали в точке с осью  имеют вид (см. (3-23) и (3-24))
 ,  .
Матрицы
 ,  и  можно получить
подстановкой  ,
 и  в (3-22)-(3-24).
Объединение
, и дает
 .
Преобразованные
промежуточные точки равны
 .
Этот
промежуточный результат изображен на рис. 3-9b. Заметим, что
точка находится
в начале системы координат, а ось направлена на нас.
Отражение относительно произвольной
плоскости теперь эквивалентно отражению относительно плоскости . Следовательно
(см. (3-11)),
 .
Рис. 3-9 Отражение относительно
произвольной плоскости.
Для
возврата преобразованного объекта в «исходное» положение в пространстве
требуется преобразование
 .
Результирующие
координатные векторы таковы:
 ,
где
 .
На
рис. 3-9 с показан преобразованный объект.
|
Как показано в этом и предыдущих
разделах, сложные преобразования можно легко построить с помощью простых
базовых преобразований. Такой подход даже предпочтительнее, так как он
уменьшает вероятность появления ошибок и более эффективен с вычислительной
точки зрения, нежели прямой математический подход.
