3-14 КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции. Общая схема проекции изображена на рис. 3-20.

Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта. Однако истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, распложенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней. В самом деле, косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции, подвергаются искажению.

Особый интерес представляют две косоугольные проекции - кавалье и кабине. Проекция кавалье получается, когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет . В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» этого недостатка используется проекция кабине.

Проекцией кабине называется такая косоугольная проекция, у которой коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных плоскости проекции, равен 1/2. Как будет показано ниже, для проекции кабине угол между проекторами и плоскостью проекции составляет .

Рис. 3-20 Косоугольная проекция.

Рис. 3-21 Построение косоугольной проекции.

Чтобы построить матрицу преобразования для косоугольной проекции, рассмотрим единичный вектор  вдоль оси , показанный на рис. 3-21. Для ортографической или аксонометрической проекции на плоскость  вектор  задает направление проекции. При косоугольной проекции проекторы составляют угол с плоскостью проекции. На рис. 3-21 показаны типичные косоугольные проекторы  и . Проекторы  и  образуют угол  с плоскостью проекции . Заметим, что все возможные проекторы, проходящие через точку  или  и образующие угол  с плоскостью , лежат на поверхности конуса с вершиной в  или . Таким образом, для заданного угла  существует бесконечное количество косоугольных проекций.

Проектор  можно получить из  с помощью переноса на  точки  в точку . В двумерной плоскости, проходящей через  перпендикулярно оси , -матрица преобразования равна

.

В трехмерном пространстве это двумерное преобразование эквивалентно сдвигу вектора  в направлениях  и . Для этого необходимо преобразование

.

Проецирование на плоскость  дает

.

Из рис. 3-21 получаем, что

,

,

где  - длина спроецированного единичного вектора на оси , т.е. коэффициент искажения, а  - угол между горизонталью и спроецированной осью . Из рис. 3-21 также ясно, что  - угол между косыми проекторами и плоскостью проекции равен

.          (3-43)

Таким образом, преобразование для косоугольной проекции имеет вид:

 .            (3-44)

При ,  получаем ортографическую проекцию. Если , то не подвергаются искажению ребра, перпендикулярные плоскости проекции. А это является условием проекции кавалье. Из равенства (3-43) имеем:

.

Заметим, что в проекции кавалье  является все еще свободным параметром. На рис. 3-22 показаны проекции кавалье для некоторых значений . Наиболее часто используются значения , равные  и . Также применяется значение .

Проекцию кабине можно получить при коэффициенте искажения . Отсюда

.

В этом случае снова угол  является переменной величиной, как это показано на рис. 3.23. Наиболее часто встречаются значения  и , применяется также значение .

Рис. 3-22 Проекции кавалье. Сверху вниз угол  изменяется от  до  с интервалом , угол .

Рис. 3-23 Проекции кабине. Сверху вниз угол  изменяется от  до  с интервалом , коэффициент искажения .

Рис. 3-24 Косоугольные проекции. Слева направо  при .

Рис. 3-25 Искажение, возникающее в косоугольных проекциях, , . (а) Круглая грань параллельна плоскости проекции; (b) круглая грань перпендикулярна плоскости проекции; (с) длинная сторона перпендикулярна плоскости проекции; (d) длинная сторона параллельна плоскости проекции.

На рис. 3-24 изображены косоугольные проекции для коэффициентов искажения  с углом .

Поскольку изображается истинная форма одной грани, косоугольные проекции особенно подходят для иллюстрации объектов с круглыми или иными искривленными гранями. Такие грани должны быть параллельны плоскости проекции, чтобы избежать нежелательных искажений. Так же, как и в случае параллельных проекций, объекты с одним измерением, существенно превосходящим другие, подвергаются значительному искажению, если только это измерение не параллельно плоскости проекции. Такие эффекты показаны на рис. 3-25.

Ниже приводится подробный пример.