Глава 6 Поверхности

6-1 ВВЕДЕНИЕ

Поверхности и их описание играют важную роль в конструировании и производстве. Очевидными примерами этого являются разработка и производство автомобильных кузовов, корабельных корпусов, авиационных фюзеляжей и крыльев; пропеллеров, турбин, компрессоров и лопастей вентиляторов; посуды, мебели и обуви. В этом случае сущность конструирования либо по функциональным, либо по эстетическим причинам составляет форма или геометрия поверхности. Описание поверхности также играет важную роль в представлении данных, полученных в медицине, геологии, физике и других естественных науках.

Традиционным способом представления поверхности является использование нескольких ортогональных проекций. По существу, поверхность задается сеткой ортогональных плоских кривых, лежащих на секущих плоскостях, и несколькими ортогональными проекциями определенных «характерных» пространственных линий (см. рис. 5-1). Эти кривые первоначально могут быть созданы на бумаге либо же взяты (оцифрованы) из трехмерной модели, например в автомобильной промышленности дизайнерами традиционно используется глиняная модель.

В машинной графике и автоматизированном проектировании выгодно разрабатывать «настоящую» трехмерную математическую модель поверхности. Такая модель позволяет на ранних стадиях и относительно легко провести анализ характеристик поверхности, например кривизны, или физических количественных характеристик, зависящих от поверхности, например объема, площади поверхности, момента инерции и т.д. Упрощается визуализация поверхности (см. [6-1]), применяемая для разработки или контроля за ходом разработки. Далее, по сравнению с традиционным методом, использующим сетку линий, также существенно упрощается генерация необходимой для изготовления поверхности информации, например управляющих программ для станка с числовым программным управлением. В ранних работах Безье [6-2], Сабина [6-3], Петерса [6-4] и других авторов продемонстрирована осуществимость этого подхода. Разработанные в последнее время методы описания поверхностей достигли такой стадии развития, что позволяют «почти» исключить традиционное описание поверхности с помощью сетки линий.

Существуют две основные идеи, лежащие в основе методов описания поверхностей. В первой, связанной в основном с именем Кунса, математическую поверхность стараются создать по заранее известным данным. Во второй, связанной в основном с именем Безье, математическую поверхность стараются создать ab initio (с самого начала). В первое время отрасли, связанные с числовыми параметрами, например, конструирование, тяготели к первому подходу, тогда как отрасли, учитывающие визуальные, осязательные или эстетические факторы, например дизайнеры и художники, тяготели ко второму. Последние работы Роджерса ([6-5] - [6-7]) об интерактивных системах разработки корпусов кораблей и Коэна ([6-8]) о разработке поверхностей показали, что эти два подхода совместимы.

В следующих разделах представлены основы математического описания параметрических поверхностей, используемых в машинной графике и автоматизированном проектировании.