2-18 ПРОЕЦИРОВАНИЕ - ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОДНОРОДНЫХ КООРДИНАТ

Матрицу преобразования размером  для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части

.          (2-54)

Напомним, что , ,  и  - коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы  и  задают перемещение. В двух предыдущих разделах коэффициенты имели значения  и . Установим величины  и  не равными 0. Какой эффект мы получим? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.

При  и однородные координаты преобразованных векторов всегда равны . Геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью .

Для иллюстрации эффекта преобразования при  и , отличных от нуля, рассмотрим следующее выражение:

.      (2-55)

Здесь ,  и . Преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как . Это преобразование показано на рис. 2-14, где отрезок , принадлежащий физической плоскости , преобразуется в  со значением , т. е. .

Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с , которые можно получить путем геометрического проецирования прямой  с плоскости  обратно на плоскость  с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 2-14, используя правило подобия треугольников, получим

или в однородных координатах

.

Рис. 2-14 Преобразование из физической плоскости  на плоскость  и проецирование обратно на физическую плоскость.

После этого, нормализуя выражение (2-55) делением однородных координат на величину , получаем

          (2-56)

или

,            (2-57а)

. (2-57b)

Детально действие преобразования рассмотрим на следующем примере.