3-11 АФФИННАЯ И ПЕРСПЕКТИВНАЯ (НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ) ГЕОМЕТРИЯ

К настоящему времени разработана математическая теория как для перспективной (начертательной), так и для аффинной геометрии. Теоремы аффинной геометрии идентичны теоремам геометрии Евклида. И в той и в другой науках важным понятием является параллелизм. В перспективной геометрии прямые в общем случае не параллельны.

Аффинное преобразование есть комбинация линейных преобразований, например поворота и последующего переноса. Для аффинного преобразования последний столбец в обобщенной -матрице равен . В противном случае, как это показано далее в разделе 3-15, преобразованная однородная координата  не равна единице и нет взаимно однозначного соответствия между аффинным преобразованием и -матричным оператором. Аффинные преобразования образуют полезное подмножество билинейных преобразований, так как произведение двух аффинных преобразований также аффинно.

Рис. 3-10 Иерархия плоских геометрических проекций.

Это свойство позволяет скомбинировать общее преобразование множества точек относительно произвольной системы координат при сохранении значения единицы для однородной координаты .

Так как евклидова геометрия изучается в школах многие годы, то методы рисования и черчения, основывающиеся на евклидовой геометрии, стали стандартными методами графического сообщения. Хотя художниками и архитекторами часто используются перспективные виды для создания более реалистического изображения, в технической работе они используются редко из-за трудности их ручного конструирования. Однако при использовании для задания объекта однородных координат, аффинные и перспективные преобразования вычисляются одинаково легко.

И аффинные, и перспективные преобразования трехмерны, т. е. являются преобразованиями одного трехмерного пространства в другое. Однако для наблюдения результатов на двумерной поверхности требуется проецирование из трехмерного пространства в двумерное. Результат этого проецирования называется плоской геометрической проекцией. На рис. 3-10 изображена иерархия плоских геометрических проекций. Матрица проецирования из трехмерного пространства в двумерное всегда содержит столбец из нулей, следовательно, детерминант этого преобразования всегда равен нулю.

Плоские геометрические проекции объектов образуются пересечением прямых, называемых проекторами, с плоскостью, называемой плоскостью проекции. Проекторы - это прямые, проходящие через произвольную точку, называемую центром проекции, и каждую точку объекта. Если центр проекции расположен в конечной точке трехмерного пространства, получается перспективная проекция. Если центр расположен в бесконечности, то все проекторы параллельны и результат является параллельной проекцией. Плоские геометрические проекции представляют основу описательной геометрии.

Рис. 3-11 Плоские проекции, (а) Фиксирован центр проекции; (b) фиксирован объект.

Неплоские и негеометрические проекции также полезны; они широко используются в картографии.

Для разработки различных преобразований, представленных на рис. 3-10, можно использовать два разных подхода. В первом предполагается, что центр проекции или точка зрения фиксирована, а плоскость проекции перпендикулярна каждому проектору, как это показано на рис. 3-11а. Для получения требуемого вида манипулируют объектом. Во втором подходе предполагается, что объект фиксирован, центр проекции может как угодно перемещаться в трехмерном пространстве, а плоскость проекции не обязательно перпендикулярна направлению взгляда. На рис. 3-11b приведен пример этого. Оба подхода математически эквивалентны.

Первый подход напоминает действия наблюдателя, которого попросили описать небольшой объект, например, книгу. Он берет объект в руки, поворачивает и перемещает его для того, чтобы изучить все его стороны. В этом случае центр проекции фиксирован и манипулируют объектом. Второй подход напоминает действия наблюдателя, которого попросили описать большой объект, например автомобиль. Наблюдатель ходит вокруг объекта, чтобы осмотреть его с разных сторон, взбирается на лестницу для осмотра верха и опускается на колени для осмотра его нижней части. В этом случае объект фиксирован, а центр проекции и точка зрения перемещаются.

В процессе конструирования или изображения объекта на графическом дисплее компьютера местоположение глаза обычно фиксировано, а плоскость проекции, т. е. поверхность, обычно перпендикулярна направлению взгляда. Следовательно, в данном случае более подходит первый подход. Тем не менее, если графический дисплей используется для представления движения какого-нибудь транспортного средства или наблюдатель движется в сгенерированной компьютером модели, как в случае использования тренажера, или если наблюдатель прогуливается в архитектурной модели, тогда больше подходит второй подход.

В этой книге используются фиксированный центр проекции и движущийся объект. Метод с фиксированным объектом и движущимся центром проекции хорошо проработан Калбомом и Пейсиореком ([3-2]).

Мы начнем наше обсуждение плоских геометрических проекций (см. рис. 3-10) с рассмотрения параллельных проекций.