2-21 ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Для представления данных и выполнения преобразований с помощью умножения матриц используются различные соглашения. Наибольшее внимание нужно уделять формулировке задач и интерпретации результатов. Например, перед выполнением поворота необходимо получить ответы на следующие вопросы.

В правосторонней или левосторонней системе координат определяются поворачиваемые координатные векторы?

Вращается объект или система координат?

Как определяются положительный и отрицательный повороты?

Координаты записываются в виде строки или столбца матрицы?

Вокруг какой линии или оси осуществляется поворот?

В данном изложении используется правосторонняя система координат, объект вращается в неподвижной координатной системе, положительный поворот определяется правилом правой руки, т. е. поворот по часовой стрелке осуществляется вокруг оси при наблюдении от начала вдоль положительной оси, и координатные векторы представляются в виде строки матрицы.

Выражение (2-29) задает преобразование для положительного поворота вокруг начала координат или оси . Так как вектор задается строкой матрицы, то матрицу преобразования следует разместить после данных или матрицы координатных векторов. Это преобразование задается путем умножения справа. В случае однородных координат для положительного поворота объекта на угол  вокруг начала координат (оси ) использование умножения справа приводит к следующему результату:

,

.                    (2-59)

Если мы подставим координатные векторы, заданные в однородных координатах в виде столбца матрицы, то поворот можно выполнить следующим образом:

,

.       (2-60)

Выражение (2-60) называется преобразованием с умножением слева, так как матрица преобразования расположена перед столбцом координатного вектора или данных.

Заметим, что -матрица в выражении (2-60) есть транспозиция -матрицы из выражения (2-59). Это свидетельствует о независимости строк и столбцов матрицы.

Для того, чтобы повернуть систему координат и оставить неизмененными координатные векторы, необходимо в выражении (2-59) заменить  на . Вспомним, что , a .

Теперь выражение (2-59) будет иметь вид

.     (2-61)

Рис. 2-16 Эквивалентность преобразования координатных векторов и систем координат.

Заметим, что -матрица опять имеет обратную и также транспонируется в матрицу из (2-59).

Если вращается система координат и используется левосторонняя координатная система, то замену  на  надо производить дважды, а уравнение (2-59) снова оказывается справедливым при допущении, что применяется последующее умножение на строку матрицы данных.

Заметим, что, как показано на рис. 2-16, вращение против часовой стрелки векторов, задающих объект, идентично повороту в том же направлении координатных осей при неподвижном объекте. Опять нет необходимости в изменении содержимого матрицы преобразования , если нет других причин для ее редактирования. Эти несколько примеров показывают, насколько аккуратно необходимо выполнять матричные преобразования.