3-15 ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Перспективное преобразование имеет место, когда не равен нулю любой из первых трех элементов четвертого столбца обобщенной -матрицы преобразования однородных координат. Как было упомянуто ранее (см. разд. 3-11), перспективное преобразование - это преобразование одного трехмерного пространства в другое. В отличие от обсуждавшихся ранее параллельных преобразований, в данном случае параллельные прямые сходятся, размер объекта уменьшается с увеличением расстояния до центра проекции, и происходит неоднородное искажение линий объекта, зависящее от ориентации и расстояния от объекта до центра проекции. Все это помогает нашему восприятию глубины, но не сохраняет форму объекта.

Одноточечное перспективное преобразование задается равенством

.   (3-45)

Здесь . Обычные координаты получаются делением на :

.      (3-46)

Перспективное проецирование на некоторую двумерную видовую плоскость можно получить, объединив ортографическую проекцию с перспективным преобразованием. Например, перспективное проецирование на плоскость  выполняется с помощью преобразований

      (3-47)

и

.   (3-48)

Обычные координаты равны

. (3-49)

Чтобы показать, что равенство (3-47) выполняет перспективное проецирование на плоскость , рассмотрим рис. 3-26 с геометрическими построениями для перспективной проекции трехмерной точки  на плоскость  в точку  и с центром проекции, лежащим в  на оси .

Рис. 3-26 Перспективная проекция точки.

Координаты точки проекции  можно получить, используя подобие треугольников. Из рис. 3-26 следует:

или

и

или

?

 равно, конечно, нулю.

Полагая , получим результаты, аналогичные полученным с помощью (3-47). Таким образом, уравнение (3-47) осуществляет перспективное проецирование на плоскость  с центром проекции в точке  на оси . Заметим, что при приближении  к бесконечности,  приближается к нулю и в результате получаем аксонометрическую проекцию на плоскость .

Рис. 3-27 Проекция прямой, параллельной оси .

Заметим далее, что на точки, лежащие в плоскости проекции, т.е. , перспективное преобразование не действует. Отметим также, что начало координат  остается неизменным. Следовательно, если плоскость проекции  проходит через объект, то эта часть объекта изображается с правильным размером и формой. Все другие части объекта искажаются.

Чтобы лучше понять действие перспективного преобразования, рассмотрим рис. 3-27. На нем показано перспективное проецирование на плоскость  отрезка , параллельного оси , в отрезок  на плоскости  с центром проекции, расположенным в точке  на оси . Преобразование можно разделить на два этапа (см. (3-47)). На первом этапе отрезок  отображается в отрезок  (см. рис. 3-27). Затем с помощью ортографического проецирования отрезок  в трехмерном пространстве отображается в отрезок  на плоскости . Центр проекции расположен в бесконечности.

Исследование рис. 3-27 показывает, что прямые  и  пересекают плоскость  в одной и той же точке. Прямая  также пересекает ось  в точке . Далее, перспективное преобразование (см. (3-45) и (3-46)) отображает расположенную в бесконечности точку пересечения параллельных прямых  и оси  в конечную точку  на оси . Эта точка называется точкой схода. Заметим, что точка схода лежит на том же расстоянии от плоскости проекции, что и центр проекции, только с противоположной стороны от плоскости, например, если  есть плоскость проекции, а центр проекции находится в , тогда точка схода находится в .

Чтобы подтвердить это наблюдение, рассмотрим перспективное преобразование точки, находящейся в бесконечности на оси , т.е.

.        (3-50)

Соответствующая ей точка  теперь является конечной точкой на положительной оси . Это означает, что все полубесконечное положительное пространство  отображается в ограниченную область . Далее, все прямые, параллельные оси , теперь проходят через точку  - точку схода.

Прежде чем перейти к примерам, для полноты изложения укажем одноточечные перспективные преобразования с центром проекции и точкой схода, расположенными на осях  и . Одноточечное перспективное преобразование

          (3-51)

с обычными координатами

    (3-52)

имеет центр проекции  и точку схода, расположенную на оси  в .

Одноточечное перспективное преобразование

           (3-53)

с обычными координатами

     (3-54)

имеет центр проекции  и точку схода, расположенную на оси  в .

Ниже приводится пример с простым кубом.

Рис. 3-28b не передает трехмерности куба. Как показано в следующем примере, более удовлетворительный результат можно получить центрированием куба.

Рис. 3-29 Одноточечная перспективная проекция центрированного единичного куба.

К сожалению, результирующее изображение все еще не дает адекватного восприятия трехмерной формы объекта. Поэтому мы обратимся к более сложным перспективным преобразованиям.

Если в четвертом столбце -матрицы преобразования два элемента из первых трех не равны нулю, то такое преобразование называется двуточечным перспективным преобразованием. Двуточечное перспективное преобразование

   (3-55)

с обычными координатами

     (3-56)

имеет два центра проекции: первый на оси  в точке  и второй на оси  в точке , и две точки схода: на оси  в точке  и на оси  в точке . Заметим, что заданное уравнением (3-55) двуточечное преобразование можно получить объединением двух одноточечных. Конкретнее,

,

где  задается уравнением (3-55),  - уравнением (3-53) и  - уравнением (3-51). Более подробно двуточечная перспективная проекция рассмотрена в следующем примере.

И снова полученное изображение не дает адекватного восприятия трехмерной формы объекта. Поэтому обратимся к трехточечным перспективным преобразованиям.

Трехточечная перспектива получается, если не равны нулю три первых элемента четвертого столбца -матрицы преобразования. Это трехточечное перспективное преобразование

    (3-57)

с обычными координатами

                    (3-58)

имеет три центра проекции: на оси  в точке , на оси  в  и на оси  в , а также три точки схода: на оси  в , на оси  в  и на оси  в .

Снова заметим, что трехточечное перспективное преобразование, заданное равенством (3-57), может быть получено конкатенацией трех одноточечных перспективных преобразований, по одному на каждую координатную ось. Создание трехточечной перспективы иллюстрируется на следующем примере.

И снова получившийся вид недостаточно информативен, хотя и математически корректен. Соответствующие методы генерации перспективных видов обсуждаются в разд. 3-16.