4-10 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Все конические сечения из предыдущих разделов являются частными случаями кривых, задаваемых общим уравнением второго порядка

, (4-31)

где , , , , ,  - константы. Коническое сечение - это любая плоская кривая, удовлетворяющая уравнению (4-31). Уравнение интересно не только само по себе, но и для последующего обсуждения рациональных конических сечений и квадратичных поверхностей. Для простоты и полноты будем пользоваться методами линейной алгебры.

Конические сечения являются центральными - эллипс и гипербола (окружность это частный случай эллипса) или нецентральными - парабола. Кроме того, существует ряд вырожденных форм, которые все центральны. Необходимо определить для заданных значений констант, какое сечение задает уравнение (4- 31) - центральное или нецентральное. Также нужно выделить все вырожденные случаи.

Заметим, что уравнение (4-31) можно записать в матричной форме

или

.                  (4-32)

Отметим также, что  симметрична относительно главной диагонали.

Сначала приведем сечение к стандартному виду. Для центрального сечения (эллипс или гипербола) это значит, что центр находится в начале координат, а оси располагаются вдоль осей координат. Для нецентрального сечения (парабола) ось симметрии параболы совпадает с положительной осью , вершина находится в начале координат, и парабола раскрывается направо. Сечение приводится к стандартному виду переносом и вращением.

Для центральных сечений линейные члены уравнений (4-31) или (4-32) уничтожаются переносом центра сечения в начало координат. После этого уравнение (4-32) принимает вид

,              (4-33)

где матрица переноса  такова:

.

После конкатенации матриц переноса и коэффициентов уравнение принимает вид

,      (4-34)

где

                      (4-35)

и

.

Заметим, что  также симметрична.

Следовательно, уравнение (4-31) преобразуется к

.

Коэффициенты переноса и  для уничтожения линейных членов вычисляются из условия . Отсюда

,

или в матричном виде

,               (4-36)

что можно записать как .

Если  инвертируема, существует решение для , и сечение центрально, т.е. это эллипс или гипербола. Если  не инвертируема, т.е. сингулярна, то решения для  не существует, и сечение не центрально (парабола). Детерминант сингулярной матрицы равен нулю:

               (4-37)

или

.

Итак, уравнение (4-31) представляет параболу при  и центральное сечение при . Если сечение центрально и , уравнение представляет эллипс, а если  - гиперболу.

Независимо от инвертируемости  оси сечения можно поворотом сделать параллельными осям координат. Вернемся к уравнению (4-32). Используем матрицу плоского поворота

,    (4-38)

где для угла поворота  она такая:

.

Конкатенация матриц дает

,                 (4-39)

где

и

,

,

,

,

,

.

Опять заметим, что  симметрична. Если оси сечения параллельны осям координат, член  в уравнении (4-31) отсутствует. Поэтому нулевой коэффициент дает угол поворота:

или

.

Решим это уравнение относительно угла поворота :

.             (4-40)

Для этого угла  принимает вид

.

Уравнение (4-37) позволяет узнать, центрально ли сечение. Центральное сечение можно привести к стандартному виду комбинацией переноса и поворота:

.             (4-41)

Конкатенация внутренних матриц дает

, (4-42)

где

,                  (4-43a)

,                  (4-43b)

,                  (4-43c)

,                      (4-43d)

,                       (4-43e)

                      (4-43f)

и

,                (4-43g)

,                (4-43h)

.               (4-43i)

Заметим, что это диагональная матрица, т.е. все недиагональные элементы равны нулю. Поворот устраняет член , а перенос - линейные члены .

Угол вращения задается уравнением (4-40). Как и раньше, коэффициенты переноса можно получить, приравняв  и  к нулю, т.е. . Имеем

,

.

Отсюда получаем решение

,                     (4-44a)

.                      (4-44b)

Вспомним, что для центрального конического сечения . Запишем уравнение (4-41), используя (4-42):

,                     (4-45)

что является стандартным видом конического сечения. Остается систематически исследовать результат для различных значений  и .

Если  больше нуля, то  и  положительны, и сечение - эллипс. Если они имеют разные знаки и ни один из них не равен нулю, то сечение - гипербола.

Если  и  отрицательны, решения не существует.

Оба  и  одновременно не могут быть равны нулю, так как в этом случае уравнение (4-45) не содержит членов второго порядка. Однако один из коэффициентов  или  может быть нулевым. Пусть  (если , замена  на  дает ), тогда уравнение (4-45) принимает вид

.

Решением являются две параллельные линии  при . Если , то решения нет.

Если , есть две возможности:  и  имеют одинаковые или разные знаки. В обоих случаях решение вырожденное. Если знаки  и  одинаковы, уравнению (4-45) удовлетворяет только начало координат . Можно считать, что это предельный случай эллипса.

Если знаки  и  различны, уравнение (4-45) принимает вид

или

,

т.е. это пара прямых, пересекающихся в начале координат, - предельный случай гиперболы.

Наконец, если  (если , замена  на  дает ), то решение - ось  для всех значений.

Для нецентрального сечения, параболы, оба линейных члена устранить нельзя, однако можно убрать один линейный и один квадратичный член для  или . Применим оператор переноса к уравнению (4-39) - квадратному уравнению после поворота:

,                    (4-46)

где

,                    (4-47а)

,                   (4-47b)

,      (4-47с)

,                   (4-47d)

.   (4-47е)

Угол поворота задан уравнением (4-40). Здесь либо , либо  обратится в нуль. Один из линейных членов для  или  устраняется, если  или  приравнять к нулю. Пусть , тогда

.                  (4-48а)

Если , то

.                    (4-48b)

Заметим, что при  значение  не определено, следовательно, устраняются только линейные члены относительно . Если , не определено  и устраняются только члены с .

Предположим, что уничтожены линейный - член  и квадратичный - член  (если , замена  и  дает ). Тогда  принимает вид

.

Запишем уравнение конического сечения

.                     (4-49)

Чтобы привести параболу к стандартной ориентации с вершиной  в центре координат, перенесем ее по оси  на

.

Все вырожденные формы сечений центральны, т.е. парабола - это единственное нецентральное сечение. Результаты собраны в табл. 4-8.