6-8 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ

Линейчатые поверхности часто используются в авиа- и кораблестроительной промышленности. Например, большинство авиационных крыльев являются цилиндрическими линейчатыми поверхностями. Линейчатая поверхность образуется при движении прямой линии вдоль направляющей с одной степенью свободы. Другой метод определения линейчатой поверхности состоит в следующем. Выберем произвольную точку на поверхности и будем вращать вокруг нормали плоскость, проходящую через нормаль к поверхности в этой точке (см. рис. 6-27). Если существует такая ориентация плоскости, при которой каждая точка на ребре плоскости контактируют с поверхностью, то поверхность линейчата в этом направлении. Если ребро вращающейся плоскости полностью соприкасается с поверхностью при более чем одной ориентации, то поверхность в этой точке многолинейчата.

Самой простой линейчатой поверхностью является плоскость. Для квадратичных поверхностей однолинейчаты конусы и цилиндры; однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид двулинейчаты.

В терминах отображения параметрического пространства  в объектное пространство линейчатая поверхность получается с помощью линейного интерполирования между двумя известными граничными кривыми, ассоциированными с противоположными сторонами единичного квадрата в параметрическом пространстве, скажем, между кривыми  и . Поверхность задается уравнениями:

            (6-43)

или

.

Заметим, что снова  и т.д., то есть концы специфированных кривых и углы поверхности совпадают. Кроме того, два края интерполированной поверхности совпадают с заданными кривыми, т.е.  и .

Теперь предположим, что известны кривые, соответствующие  и . Тогда линейчатая поверхность задается следующим образом:

            (6-44)

или

.

Рис. 6-27 Свойства линейчатой поверхности.

Рис. 6-28 Пример линейчатой поверхности.

В этом случае опять углы поверхности совпадают с концами заданных кривых, а соответствующие края интерполированной поверхности совпадают с заданными граничными кривыми. На рис. 6-28 приводится пример линейчатой поверхности. Изображенные на этом рисунке отстоящими на некотором расстоянии от поверхности граничные кривые являются В-сплайнами третьего порядка (см. разд. 5-9). Описанная методика иллюстрируется на примере.

Особый практический интерес представляет вопрос, является ли линейчатая поверхность развертывающейся? Не все линейчатые поверхности развертывающиеся, однако, все развертывающиеся поверхности являются линейчатыми.

Если поверхность развертывающаяся, то с помощью последовательности небольших поворотов вокруг образующей линии она может быть без растяжений и разрывов развернута или раскрыта в плоскость. Развертывающиеся поверхности особенно важны для листопрокатной промышленности и в меньшей степени для текстильной промышленности.

Ясно, что среди линейчатых квадратичных поверхностей развертывающимися являются конусы и цилиндры. Однако после небольшого размышления становится ясно, что ни однополостный гиперболоид (см. рис. 6-18d), ни гиперболический параболоид (см. рис. 6-26) не являются развертывающимися поверхностями, хотя они линейчатые.

Чтобы определить, будет ли развертывающейся поверхность или ее часть, необходимо рассмотреть кривизну параметрической поверхности.

Рис. 6-29 Кривизна бипараметрической поверхности.

В произвольной точке  на поверхности кривая пересечения поверхности и плоскости, содержащей нормаль к поверхности в точке , имеет кривизну  (см. рис. 6-29). При вращении этой плоскости вокруг нормали кривизна меняется. Великий швейцарский математик Эйлер показал, что существуют только два направления, для которых кривизна принимает минимальное и максимальное значения. Кривизны в этих направлениях называются главными кривизнами,  и . Кроме того, направления главных кривизн ортогональны. Два сочетания главных кривизн представляют особый интерес - средняя и гауссова кривизны:

,                 (6-45)

.                      (6-46)

Для развертывающейся поверхности гауссова кривизна  в любой точке равна нулю, т. е. . Дил [6-18] показал, что для бипараметрических поверхностей средняя и гауссова кривизны задаются выражением

,             (6-47)

,                    (6-48)

где

.

Таблица 6-2 Типы поверхностей

Как показано в табл. 6-2, знак гауссовой кривизны характеризует локальную форму поверхности: эллиптическую, гиперболическую, цилиндрическую или коническую. Так как гауссова кривизна развертывающейся поверхности должна быть нулевой, то поверхность должна быть скомпонована из цилиндрических, конических или плоских кусков. Приведенный ниже пример поможет проиллюстрировать эти рассуждения