6-12 В-СПЛАЙН ПОВЕРХНОСТИ

Естественным расширением понятия поверхности Безье является декартово произведение В-сплайн поверхности, определяемой выражением

,                   (6-70)

где  и  - базисные функции В-сплайна в бипараметрических направлениях  и  соответственно (см. уравнение 5-84). Для удобства повторим здесь определение базисных функций, данное ранее в разд. 5-9,

,                        (5-84а)

,                    (5-84b)

и

,                      (5-84а)

,                (5-84b)

где  и  являются элементами узловых векторов, как это обсуждалось в разд. 5-9.

Рис. 6-41 Гладкость Стыковки кусков поверхности Безье. (а) Линии сетки коллинеарны; (b) ребра ломаных компланарны.

Снова  являются вершинами задающей полигональной сетки. Для четырехугольных «кусков» поверхности задающая полигональная сетка должна быть топологически прямоугольной. Индексы  и  на единицу меньше числа вершин задающего многогранника соответственно в  и  параметрических направлениях.

Как и для В-сплайн кривых на форму и свойства В-сплайн поверхности существенно влияют узловые векторы  и , причем используются незамкнутые, периодические и неоднородные узловые векторы. Хотя обычно для обоих параметрических направлений применяют узловые векторы одного и того же типа, но это не обязательно. Например, можно использовать незамкнутый узловой вектор и его соответствующие В-сплайн базисные функции для одного параметрического направления и периодический узловой вектор и его соответствующие В-сплайн базисные функции для другого. Практическим примером служит цилиндрическая поверхность с переменным сечением.

Так как для описания граничных кривых и для интерполирования внутренней части поверхности используется В-сплайн базис, то сразу же можно перечислить некоторые свойства В-сплайн поверхности:

Максимальный порядок поверхности в каждом параметрическом направлении равен числу вершин задающего многогранника в этом направлении. Гладкость поверхности в каждом параметрическом направлении на две единицы меньше порядка поверхности в каждом направлении; т. е.  и  в  и  направлениях, соответственно.

Поверхность инвариантна относительно аффинного преобразования; т. е. поверхность преобразуется с помощью преобразования задающей полигональной сетки.

Свойство затухания изменений для В-сплайн поверхности в настоящее время неизвестно.

Влияние одной вершины полигональной сетки ограничивается ,  интервалами в каждом параметрическом направлении.

Если число вершин задающей полигональной сетки равно порядку в каждом параметрическом направлении и внутренних узловых величин нет, то В-сплайн поверхность превращается в поверхность Безье (см. рис. 6-39). При триангуляции задающая полигональная сетка образует плоскую аппроксимацию поверхности.

Поверхность лежит внутри выпуклой оболочки задающей полигональной сетки, образуемой объединением всех выпуклых оболочек ,  соседних вершин полигональной сетки.

Из предыдущего обсуждения свойств выпуклой оболочки В-сплайн кривых (см. разд. 5-9) сразу же следует, что В-сплайн поверхность может содержать плоские области и линии резкого нарушения гладкости. Это свойство очень полезно во многих ситуациях, возникающих при конструировании. На рис. 6-42а-d изображена серия незамкнутых В-сплайн поверхностей и их характеристических многогранников третьего порядка в каждом характеристическом направлении. Отметим, что каждая из линий задающей полигональной сетки в направлении  является прямой линией с четырьмя вершинами. Получающаяся поверхность линейчата в направлении .

Рис. 6-42 В-сплайн поверхности третьего порядка. (а) Гладкая линейчатая поверхность; (b) небольшая внутренняя плоская область, вызванная коллинеарностью трех вершин сетки в  направлении; (с) обширная внутренняя плоская область, вызванная коллинеарностью пяти вершин сетки в  направлении; (d) плоская область внутри скульптурной поверхности.

Изображенная на рис. 6-42a В-сплайн поверхность, заданная четырьмя вершинами полигональной сетки в направлении , плавно изогнута в этом направлении.

Изображенная на рис. 6-42b В-сплайн поверхность задана пятью вершинами полигональной сетки в направлении . Три центральные вершины коллинеарны. Заметим, что центр получившейся поверхности имеет плоскую форму. Аналогичным образом коллинеарны пять из семи вершин задающей полигональной сетки в направлении  для поверхности, изображенной на рис. 6-42с. И снова в центральной области, которая имеет большие размеры, чем на рис. 6-42b, поверхность плоская.

На рис. 6-42d показано, что эти очень сильные свойства выпуклой оболочки распространяются на оба параметрических направления. Таким образом, плоская область может быть встроена во внутреннюю часть скульптурной поверхности. При увеличении порядка поверхности плоская область становится меньше.

На рис. 6-43 иллюстрируется эффект, возникающий при совпадении линий сетки. На рис. 6-43a три совпадающие линии сетки используются для образования линии складки в центре В-сплайн поверхности четвертого порядка. На рис. 6-43b показан результат совмещения трех линий сетки в обоих параметрических направлениях. В этом случае В-сплайн поверхность четвертого порядка содержит два гребня, поднимающихся к точке в центре поверхности. Так же как и для В-сплайн кривых, линия складки возникает в том случае, когда совпадают  или  линий сетки. Кроме того, так как В-сплайн поверхность везде  гладка, то она гладка и на этой линии. Вдобавок данное свойство также гарантирует  гладкость перехода изогнутой поверхности в плоскую.

Превосходные свойства локального изменения В-сплайн кривых (см. разд. 5-9) переносятся на В-сплайн поверхности. Пример этого приведен на рис. 6-44, где незамкнутая бикубическая  В-сплайн поверхность определена полигональной сеткой  . Эта сетка, показанная как верхняя поверхность на рис. 6-44, плоская везде, за исключением центральной точки. Незамкнутый узловой вектор в обоих параметрических направлениях равен . Таким образом, у нас есть шесть промежутков параметров в каждом направлении, т.е. , , …, . Каждый параметрический четырехугольник, например , , образует подкусок В-сплайн поверхности. Средняя поверхность, изображенная на рис. 6-44, составлена из параметрических линий на концах каждого параметрического интервала, т.е. в . Каждый четырехугольник представляет подкусок поверхности. Отметим, что влияние смещенной точки ограничивается  интервалами или подкусками.

Рис. 6-43 В-сплайн поверхности четвертого порядка с несколькими совпадающими линиями сетки.

Рис. 6-44 Локальное изменение В-сплайн поверхностей.

Параметрические производные В-сплайн поверхности получаются с помощью формального дифференцирования уравнения (6-70):

,                  (6-71)

,                 (6-72)

,               (6-73)

,                (6-74)

,               (6-75)

где штрих обозначает дифференцирование относительно соответствующего параметра. Производные В-сплайн базисных функций задаются уравнениями (5-97)-(5-100).

Приведенный пример иллюстрирует метод вычисления В-сплайн поверхности.

Периодические В-сплайн поверхности легко генерируются с помощью периодических базисных функций в уравнении (6-70), для получения которых используются периодические узловые векторы. На рис. 6-45 показано несколько примеров периодических В-сплайн поверхностей, формируемых незамкнутыми задающими полигональными сетками.

Рис. 6-45 Периодические В-сплайн поверхности для незамкнутых характеристических многогранников. (a) Гладкая линейчатая поверхность третьего порядка; (b) большая внутренняя плоская область третьего порядка, вызванная коллинеарностью пяти вершин сетки в  направлении; (с) острый выступ на поверхности четвертого порядка, вызванный пересечением нескольких совпадающих линий сетки.

На рисунках 6-45а и b задающие полигональные сетки соответствуют сеткам рисунков 6-42а и с, а сетка рис. 6-45с соответствует сетке рис. 6-43b. Заметим, что во всех случаях, так же как и для периодических В-сплайн кривых, границы поверхности и многогранника не совпадают из-за уменьшения диапазона параметра, используемого для периодических В-сплайн базисных функций.

Замкнутые периодические В-сплайн поверхности демонстрируют свойства, аналогичные свойствам замкнутых периодических В-сплайн кривых. На рис. 6-46 показаны примеры трех поверхностей третьего порядка. Задающая полигональная сетка на рис. 6-46a образуется с помощью повторения через одинаковые промежутки вдоль оси  от точки  до  задающего многоугольника для замкнутой В-сплайн кривой на рис. 6-46b.

Рис. 6-46 Замкнутые периодические В-сплайн поверхности. (а) Прямая цилиндрическая поверхность; (b) возмущенная волнистая цилиндрическая поверхность; (с) эффект возмущения одной вершины сетки.

Рис. 6-47 Объединенные В-сплайн поверхности третьего порядка. (а) Незамкнутый характеристический многогранник; (b) замкнутый характеристический многогранник.

В результате получается цилиндрическая поверхность. Отметим, что поверхность не касается плоскостей первого и последнего задающих многоугольников. Характеристический многогранник для рис. 6-46b получен с помощью увеличения на единицу - и -размеров второго и четвертого задающих многоугольников на рис. 6-46а. В результате получается волнистый цилиндр. На рис. 6-46с показан локальный эффект возмущения одной вершины задающей сетки.

В уравнении (6-70) можно комбинировать незамкнутые и периодические В-сплайн базисные функции. Два примера этого представлены на рис. 6-47. Здесь в одном параметрическом направлении используются незамкнутый узловой вектор и базисная функция, а в другом направлении используются периодический узловой вектор и базисная функция. На рис. 6-47а показана комбинированная В-сплайн поверхность, заданная незамкнутой полигональной сеткой с рис. 6-42a. На рис. 6-47b показана комбинированная В-сплайн поверхность, заданная замкнутой полигональной сеткой с рис. 6-46b. Отметим, что поверхность совпадает с крайними линиями полигональной сетки в направлении . Это свойство бывает полезным в некоторых случаях.

Матричное выражение для периодических В-сплайн поверхностей имеет вид

,              (6-76)

где  и  являются репараметризованными параметрическими переменными в интервалах  и , заданными в уравнении (5-90).  и  задаются уравнением (5-91). Матрица  представляет скользящую сетку  вершин характеристического многогранника, задающего подкусок на поверхности. Для периодических В-сплайн поверхностей, заданных незамкнутыми полигональными сетками

,                     (6-77)

где

,         ,

,                                 (6-78)

и  представляет индивидуальные элементы задающей полигональной сетки.

Рис. 6-48 Замкнутая тороидальная бикубическая  В-сплайн поверхность. (а) Характеристический многогранник; (b) поверхность.

Для полигональных сеток, замкнутых вдоль , т. е. с совпадающими первой и последней сеточными линиями в направлении , скользящая сетка задается так

,

,

,

.     (6-79)

Аналогичным образом, для полигональных сеток, замкнутых вдоль , скользящая сетка задается в виде

,

,

,

.           (6-80)

И наконец, для полигональных сеток, замкнутых вдоль как , так и , скользящая сетка задается так:

,

,

,

.     (6-81)

В этом случае образуется полностью замкнутая поверхность. Пример изображен на рис. 6-48. Задающая полигональная сетка, изображенная на рис. 6-48а, формируется с помощью переноса вершин задающего многоугольника для периодической В-сплайн кривой на рис. 6-47 на  единицы по  и  единицы по  и затем вращения на  вокруг оси  с шагом . Замкнутая периодическая бикубическая  В-сплайн поверхность, изображенная на рис. 6-48b, имеет форму тора.

Матричное выражение для незамкнутых В-сплайн поверхностей имеет ту же форму, что и уравнение (6-76). Однако, так же как и для матричного выражения незамкнутых В-сплайн кривых, существование нескольких узловых значений на концах узлового вектора делает этот результат менее компактным и менее полезным, чем для периодических В-сплайн поверхностей. По этим причинам данный вопрос не рассматривается здесь более подробно.