4-4 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

В параметрическом виде каждая координата точки кривой представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром  координаты точки равны:

,

.

Тогда векторное представление точки на кривой:

.

Чтобы получить непараметрическую форму, нужно исключить  из двух уравнений и вывести одно в терминах  и .

Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т. е. касательный вектор, есть

,

где ' обозначает дифференцирование по параметру. Наклон кривой, , равен

.

Отметим, что при  наклон бесконечен. Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей, достаточно приравнять нулю одну компоненту касательного вектора.

Так как точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, эта форма не зависит от выбора системы координат. Конечные точки и длина кривой определяются диапазоном изменения параметра. Часто бывает удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой к . Осенезависимость параметрической кривой позволяет с легкостью проводить с ней аффинные преобразования, рассмотренные в гл. 2 и 3.

Самое простое параметрическое представление у прямой. Для двух векторов положения  и  параметрический вид отрезка прямой между ними такой:

, .

Так как  это вектор, у каждой его составляющей есть параметрическое представление  и  между  и :

, .

.

На рис. 4.3 сравниваются непараметрическое и параметрическое представления окружности в первом квадранте. Непараметрический вид

, ,        (4-1)

показан на рис. 4.3 а.

Рис. 4-3 Представление окружности для первого квадранта.

Рис. 4-4 Связь между параметрическими представлениями.

Точки на дуге соответствуют равным приращениям . При этом дуга состоит из отрезков разной длины, и получается весьма приблизительное графическое представление окружности. Кроме того, расчет квадратного корня - вычислительно дорогостоящая операция.

Стандартная параметрическая форма единичной окружности:

, ,

,

или

, ,           (4-2)

где параметр  - геометрический угол, отмеряемый против часовой стрелки от положительной полуоси . На рис. 3.4b изображена дуга, построенная по равным приращениям параметра в пределах . При этом точки располагаются на одинаковом расстоянии вдоль окружности, и окружность выглядит гораздо лучше. Недостаток такого представления - сложность вычисления тригонометрических функций. (Более простой метод рассматривается ниже в разд. 4.5.)

Параметрическое представление кривой не единственно, например,

,            (4-3)

также представляет дугу единичной окружности в первом квадранте (рис. 4.3с). Связь между параметрическим представлением (3.4) и стандартным параметрическим представлением (4.2) показана на рис. 4.4. Из него видно, что для единичной окружности

, , ,

, , .

Факт, что уравнение 4.3 представляет дугу единичной окружности, подтверждается следующим:

,

где  - единичный радиус.

На рис. 4-3с показан результат для равных приращений . Он лучше, чем у явного (4-1), но хуже, чем у стандартного параметрического представления (4-2). Однако уравнение (4-3) проще с вычислительной точки зрения, т.е. это компромиссное решение.

В случае более сложного параметрического представления бывает удобнее искать значение явной переменной итеративными методами.

Параметрическое представление конических сечений осенезависимо и дает более качественное изображение, чем непараметрическое; однако оба имеют свои достоинства и недостатки и часто применяются в машинной графике.